VÍ DỤ 1 . Cho lăng trụ đứng tam giỏc ABC.A’B’C’ cú đỏy là tam giỏc ABC cõn với AB = AC = a và
gúc BAC= 1200 , cạnh bờn BB’= a . Gọi I là trung điểm của CC’ . a) Chứng minh tam giỏc AB’I vuụng ở A.
b) Tớnh cosin của gúc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I) . c) Tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng AB’ và BC’.
Nhận xột : Từ giả thiết của bài toỏn , vỡ khụng cú ba đường thẳng nào cựng xuất phỏt từ một điểm và đụi
một vuụng gúc , nờn ta sẽ phải cố gắng tỡm một mối liờn kết thớch hợp , để từ đú cú thể chọn ra một hệ trục
tọa độ Oxyz sao cho cú thể xỏc định được tọa độ của tất cả
cỏc điểm liờn quan đến vấn đề mà ta cần giải quyết . Để
làm được điều này cần chỳ ý , lăng trụ đĩ cho là lăng trụ
đứng và tam giỏc đỏy là tam giỏc cõn . Từ đõy , nếu gọi O
, O’ lần lược là trung điểm của B’C’ và BC thỡ ta sẽ cú ngay
ba tia OO’, OB’ và OA’ đụi một vuụng gúc.
* Gọi O, O’ lần lượt là trung điểm của B’C’ và BC . Ta cú : OO’ OA’ , OO’B’C’ .
Tam giỏc A’B’O là một nửa tam giỏc đều cú cạnh A’B’ = a nờn A’O =
2 3
a
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hỡnh vẽ .
A A’ A’ B C’ C I z O www.MATHVN.com
Ta cú : ) 0 ; 0 ; 2 3 ( ' a B , ;0;0) 2 3 ( ' a C , ; ) 2 ; 0 ( a a A ) ; 0 ; 2 3 (a a B , ;0; ) 2 3 ( a a C , ) 2 ; 0 ; 2 3 ( a a I
* Từ đõy ta dễ dàng chứng minh được tam giỏc AB’I vuụng tại A và tớnh được cosin của gúc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I). Riờng đối với cõu c, nếu sử dụng phương phỏp tổng hợp để giải bài toỏn thỡ hồn tồn khụng dễ một chỳt nào. Cũn dựng phương phỏp tọa độ thỡ hồn tồn ngược lại.
VÍ DỤ 2 . Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại B , AB = a , BC = 2a ,
cạnh SA vuụng gúc với đỏy và SA = 2a . Gọi M là trung điểm SC . Chứng minh rằng tam giỏc AMB cõn tại M và tinh diện tớch tam giỏc AMB theo a .
Nhận xột : Với nhận xột tương tự bài toỏn trong VD1, ta cần tạo ra ba tia đụi một vuụng gúc . . . Dễ dàng
nhận thấy rằng , nếu từ B dựng tia Bz vuụng gúc với mp(ABC) thỡ ba tia BA,BC,Bz đụi một vuụng gúc , từ đõy ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hỡnh vẽ .
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hỡnh vẽ ( gốc tọa độ O trựng với B) . Ta cú A(a;0;0) , C(0;2a;0) , S(a;0;2a) , ; ; ) 2 (a a a M .
* Từ đõy, cụng việc cũn lại thực sự rất dễ dàng.
Khối đa diện- thể tích khối đa diện
------
1/ Tớnh chất của thể tớch:
* Hai khối đa diện bằng nhau thỡ cú thể tớch bằng nhau.
* Nếu một khối đa diện được phõn chia thành nhiều khối đa diện nhỏ thỡ thể tớch của nú bằng tổng thể của cỏc khối đa diện nhỏ đú.
* Khối lập phương cú cạnh bằng 1 thỡ cú thể tớch bằng 1.
2/ Cụng thức tớnh thể tớch của cỏc khối đa diện:
a/ Thể tớch khối lập phương: cho khối lập phương cạnh a. Lỳc đú: Lỳc đú:
b/ Thể tớch khối hộp chữ nhật: cho khối hộp chữ nhật cú kớch thước ba cạnh lần lược là a b c, , Lỳc đú: Lỳc đú:
c/ Thể tớch khối lăng trụ: cho khối lăng trụ cú diện tớch đỏy B và chiều cao h. Lỳc đú: Lỳc đú:
d/ Thể tớch khối chúp: cho khối chúp cú diện tớch đỏy B và chiều cao h. Lỳc đú: Lỳc đú: A S z M C B O x y 3 V a . . V a b c . V B h 1 . 3 V B h www.mathvn.com
e/ Thể tớch khối chúp cụt: cho khối chúp cụt cú diện tớch hai đỏy là B và B’ , chiều cao h.
Lỳc đú:
Bài tập
Baỡ 1: Tớnh thể tớch của : a,Khối tứ diện đều cú cạnh bằng a. b, khối 8 mặt đều cú cạnh bằng a.
c, Khối lập phương cú cỏc đỉnh là trọng tõm cỏc mặt của một khối tỏm mặt đều cạnh a.
Baỡ 2: Cho khối lăng trụ tứ giỏc đều
1 1 1 1
.
ABCD A B C D cú khoảng cỏch giữa hai đường thẳng AB và 1
A D
bằng 2 và độ dài đường chộo của mặt bờn bằng 5.
a,Hạ AK A D1 KA D1 . Chứng minh rằng AK 2. b,Tớnh thể tớch của khối lăng trụ ABCD A B C D. 1 1 1 1.
Baỡi 3: Cho khối chúp tứ giỏc đều S ABCD. cú cạnh đỏy bằng a. Tớnh thể tớch khối chúp, biết:
a. Gúc giữa mặt bờn và đỏy bằng . b, Gúc giữa cạnh bờn và đỏy bằng .
Baỡ 4: Tớnh thể tớch của khối chúp cụt tam giỏc đều cú cạnh đỏy lớn là 2a, đỏy nhỏ là a và gúc của mặt bờn và mặt đỏy bằng 600.
Baỡ 5: Cho khối lăng trụ tam giỏc ABC A B C. ' ' '. Tỡm tỉ số thể tớch của khối tứ diện C ABC' và khối lăng trụ đĩ cho.
Baỡ 6: Cho khối lăng trụ tam giỏc ABC A B C. ' ' '. Gọi M N, lần lược là trung điểm của hai cạnh AA' và BB'. Mặt phẳng C MN' chia khối lăng trụ đĩ cho thành hai phần. Tớnh tỉ số thể tớch hai phần đú.
Baỡ 7: Cho khối chúp tam giỏc S ABC. . Trờn cỏc đoạn SA SB SC, , lần lược lấy ba điểm A B', ', C' khỏc với
S. Chứng minh rằng: . ' ' ' . ' ' ' . . S A B C S ABC V SA SB SC V SA SB SC .
Baỡ 8: Cho khối chúp .S ABCD cú đỏy là hỡnh bỡnh hành. Gọi B D', ' lần lược là trung điểm của SB SD, . Mặt phẳng AB D' ' cắt SC tại C'. Tỡm tỉ số thể tớch của hai khối chúp S AB C D. ' ' ' và S ABCD. .
Baỡ 9: Đỏy của khối lăng trụ đứng ABC A B C. ' ' ' là tam giỏc đều. Mặt phẳng A BC' tạo với đỏy một gúc 300
và tam giỏc A BC' cú diện tớch bằng 8. Tớnh thể tớch khối lăng trụ.
Baỡ 10: Cho khối lăng trụ đứng ABCD A B C D. ' ' ' ' cú đỏy là hỡnh bỡnh hành và BAD 450
. Cỏc đường chộo AC' và DB' lần lược tạo với đỏy những gúc 450 và 600. Hĩy tớnh thể của khối lăng trụ, cho biết chiều cao của nú bằng 2.
Baỡ 11: Cho khối tứ diện SABC cú ba cạnh SA AB SC, , vuụng gúc với nhau từng đụi một, SA3,SBSC4.
a. Tớnh thể tớch khối tứ diện SABC. b, Tớnh khoảng cỏch từ S đến mặt phẳng ABC.
Baỡ 12: Cho khối chúp S ABC. cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại B, cạnh SA vuụng gúc với đỏy. Biết rằng
, ,
ABa BC b SAc. Tớnh khoảng cỏch từ A đến mặt phẳng SBC.
Baỡ 13: Cho hỡnh hộp chữ nhật ABCD A B C D. ' ' ' ' cú ABa BC, 2 , a AA'a. Lấy điểm M trờn cạnh AD sao cho MA3MD.
a. Tớnh thể tớch khối chúp M AB C. ' . b, Tớnh khoảng cỏch từ M đến mặt phẳng AB C' .
Baỡ 14: Cho khối hộp ABCD A B C D. ' ' ' ' cú đỏy là hỡnh chữ nhật với AB 3, AD 7. Hai mặt bờn
ABB A' ' và ADD A' ' lần lược tạo với đỏy những gúc 450 và 600. Hĩy tớnh thể tớch khối hộp nếu biết cạnh bờn bằng 1.
Baỡ 15: Hỡnh lăng trụ đứng ABC A B C. ' ' ' cú đỏy ABC là một tam giỏc vuụng tại A, AC b C, ˆ 600. Đường chộo BC' của mặt bờn BB C C' ' tạo với mặt phẳng AA C C' ' một gúc 300.
a. Tớnh độ dài đoạn AC'. b, Tớnh thể tớch của khối lăng trụ.
Baỡi 16: Cho lăng trụ tam giỏc ABC A B C. ' ' ' cú đỏy ABC là một tam giỏc đều cạnh a và điểm A' cỏch đều 0 1 ' ' . 3 V B B BB h www.MATHVN.com
a. Tớnh thể tớch của khối lăng trụ. b,Chứng minh mặt bờn BCC B' ' là một hỡnh chữ nhật.
c, Tớnh tổng diện tớch cỏc mặt bờn của khối lăng trụ
Baỡi 17: Cho khối lăng trụ ABC A B C. ' ' ', đỏy ABC là tam giỏc vuụng cõn đỉnh A. Mặt bờn ABB A' ' là hỡnh thoi cạnh a, nằm trong mặt phẳng vuụng gúc với đỏy. Mặt bờn ACC A' ' hợp với đỏy một gúc . Tớnh thể tớch của lăng trụ.
Baỡ 18: Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều .S ABCD.
a. Biết ABa và gúc giữa mặt bờn và mặt đỏy bằng . Tớnh thể tớch khối chúp.
b. Biết trung đoạn bằng d và gúc giữa cạnh bờn và đỏy bằng . Tớnh thể tớch khối chúp
Baỡ 19: Cho khối chúp S ABC. cú đỏy là tam giỏc vuụng tại B. Cạnh SA vuụng gúc với đỏy, gúc
0
60 ,
ABC BC a
và SAa 3. Gọi M là trung điểm của cạnh SB.
a. Chứng minh: SAB SBC. b, Tớnh thể tớch khối tứ diện MABC.
Baỡ 20: Cho khối chúp S ABCD. cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a, SAa và vuụng gúc với đỏy. Gọi Mlà trung điểm của SD.
a. Tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng AB và SC. b, Tớnh thể tớch khối tứ diện MACD.
Baỡ 21: Cho khối chúp tứ giỏc đều S ABCD. cú cạnh đỏy bằng a. Gọi G là trọng tõm của tam giỏc SAC và khoảng cỏch từ G đến mặt bờn SCD bằng 3
6
a . Tớnh khoảng cỏch từ tõm O đến mặt bờn SCD và thể tớch khối chúp S ABCD. .
Baỡ 22: Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S ABCD. cú cạnh đỏy bằng a, gúc giữa cạnh bờn và mặt đỏy bằng
0 0
0 90 . Tớnh tan của gúc giữa hai mặt phẳng SAB và ABCD theo . Tớnh thể tớch khối chúp .
S ABCD theo a và .
Baỡ 23: Cho khối chúp S ABC. cú đỏy ABC là tam giỏc đều cạnh a. Cạnh bờn SA vuụng gúc với đỏy và
62 2
a
SA . a, Tớnh khoảng cỏch từ điểm A đến mặt phẳng SBC.
b, Tớnh thể tớch khối chúp .S ABC và diện tớch tam giỏc SBC.
Baỡ 24: Cho tam giỏc vuụng cõn ABC cú cạnh huyền BC a. Trờn đường thẳng vuụng gúc với mặt phẳng
ABC tại A lấy điểm S sao cho gúc giữa hai mặt phẳng ABC và SBC bằng 600. Tớnh thể tớch khối chúp S ABC. .
Baỡ 25: Khối chúp S ABC. cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng cõn đỉnh C và SAABC, SC a. Hĩy tỡm gúc giữa hai mặt phẳng SCB và ABC để thể tớch khối chúp lớn nhất.
Baỡ 26: Cho lăng trụ ABC A B C. ' ' ' cú độ dài cạnh bờn bằng 2a, đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại A, ABa, 3
AC a và hỡnh chiếu vuụng gúc của đỉnh A’ trờn mặt phẳng ABC là trung điểm của cạnh BC. Tớnh theo a thể tớch khối chúp 'A ABC và tớnh cosin của gúc giữa hai đường thẳng AA B C', ' ' (KA – 2008)
Baỡ 27: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh 2a, SAa, SBa 3 và mặt phẳng
SAB vuụng gúc với mặt phẳng đỏy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AB, BC. Tớnh theo a thể tớch
của khối chúp S BMDN. và tớnh cosin của gúc giữa hai đường thẳng SM, DN. (KB – 2008)
Baỡ 28: Cho lăng trụ đứng ABC A B C. ' ' ', đỏy ABC là tam giỏc vuụng, ABBC a, cạnh bờn AA'a 2.
Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tớnh theo a thể tớch của khối lăng trụ ABC A B C. ' ' ' và khoảng cỏch
giữa hai đường thẳng AM, B’C
(KD – 2008)