Số trung nhân hay số trung bình hình học sử dụng để tính tốc độ phát triển trung bình nói riêng và dùng để tính số trung bình trong trường hợp các giá trị xi có mối liên hệ tích.
x= √n x1· · ·xn= n v u u t n Y i=1 xi
Ví dụ 3.19. Hãy tính tốc độ phát triển sản lượng hàng hóa tiêu thụ (1.000 tấn) của một công ty qua các năm như sau:
Năm 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007
Sản lượng hàng hóa (ngàn tấn) 240.0 259.2 282.5 299.5 323.4 355.8 387.8 Tốc độ phát triển liên hoàn (lần) 1.08 1.09 1.06 1.08 1.1 1.09 Giữa các tốc độ phát triển liên hoàn có mối quan hệ nhân, do đó ta áp dụng công thức trung bình nhân:
x= √6
x1. . . x6 =√6
1.6158 = 1.08
Như vậy, trung bình mỗi một năm sản lượng hàng hoá năm sau sẽ bằng 1,08 lần năm trước. 3.3.5. Số trung vị (Median)
Trong một số trường hợp đặc biệt, nếu dữ liệu có sự biến động lớn hay có sự chênh lệch bất thường thì số trung bình tỏ ra không đại diện cho tổng thể vì các giá trị quá nhỏ hay quá lớn sẽ làm lệch kết quả của số trung bình. Số trung vị là một giá trị bình quân có vẻ đại diện tốt hơn cho số trung bình trong trường hợp này, bởi vì nó sẽ chia tổng thể ra thành hai nhóm có số quan sát bằng nhau: một nhóm có giá trị nhỏ hơn, một nhóm có giá trị lớn hơn.
Định nghĩa 3.1. Số trung vị là lượng biến đứng ở vị trí giữa trong dãy số đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần hay giảm dần.
Phương pháp xác định số trung vị: Trước tiên ta sắp xếp lượng biến theo thứ tự tăng dần. a) Tài liệu phân tổ:
- Trường hợp n lẻ: số trung vị là lượng biến ở vị trí thứ n+12 M e=xn
2
- Trường hợp n chẵn: số trung vị rơi vào giữa hai lượng biến xn
2 và x(n+2) 2
Trường hợp này qui ước số trung vị là trung bình cộng của hai lượng biến đó.
Ví dụ 3.20. Thu nhập hàng hàng tháng của số công nhân sau: 500,520,530,550,560,570,590,600,610,670
b) Tài liệu phân tổ có khoảng cách tổ:
Trong trường hợp này ta tìm tổ chứa số trung vị. Trước hết ta tính P
fi
2 và đem so sánh với tần số tích lũy (SM e) của tổ (SM e ≥
P f
2 ). Giá trị P
fi
2 thuộc tổ nào thì tổ đó chứa số trung vị. M e=xM e(min)+kM e P fi 2 −SM e−1 fM e xM e(min): Giới hạn dưới của tổ chứa số trung vị
kM e: Trị số khoảng cách tổ chứa số trung vị fM e: Tần số của tổ chứa số trung vị
SM e−1: Tần số tích lũy trước tổ chứa số trung vị
Ví dụ 3.21. Sử dụng số liệu của ví dụ 3.17 ta tìm số trung vị. Ta có bảng: Thu nhập hàng tháng Số nhân viên Tần số tích lũy
500 - 520 8 8 520 - 540 12 20 540 - 560 20 40 =SM e−1 560 - 580 56 =fM e 96 580 - 600 18 114 600 - 620 16 130 Trên 620 10 140 Tổng 140
Như vậy số trung vị trơi vào tổ:560−580; xM e(min) = 560; fM e = 56 và SM e−1 = 40 Thay vào công thức, ta có:
M e= 560 + 20 140
2 −40
56 = 570.714 3.3.6. Mod(Mo)
Định nghĩa 3.2. Mod(Mo) là lượng biến có tần số xuất hiện lớn nhất trong tổng thể. Số Mo là giá trị thể hiện tính phổ biến của hiện tượng, tức là dữ liệu tập trung nhiều ở một khoảng giá trị nào đó. Trong thực tế người ta có thể sử dụng giá trị này trong sản xuất giày, quần áo may sẵn,. . .
Phương pháp xác định Mo: Ta phân biệt 2 trường hợp:
- Trường hợp tài liệu phân tổ không có khoảng cách tổ: (Phân tổ thuộc tính) thì đại lượng là Mo lượng biến có tần số lớn nhất.
- Trường hợp tài liệu phân tổ có khoảng cách tổ: trước hết ta xác định tổ chứa Mo, tổ chứa Mo là tổ có tần số lớn nhất, sau đó trị số gần đúng của Mốt được xác định theo công thức sau:
M o=xM o(min)+kM o fM o−fM o−1
xM o(min): Giới hạn dưới của tổ chứa Mo kM o: Trị số khoảng cách tổ chứa Mo fM o: Tần số của tổ chứa Mo
fM o−1: Tần số của tổ đúng trước tổ chứa Mo fM o+1: Tần số của tổ đúng sau tổ chứa Mo Trở lại Ví dụ 3.17 ta tính Mo về thu nhập:
M o= 560 + 20 56−20
(56−20) + (56−18) = 569.73
Chúng ta đã nghiên cứu các số đo tập trung biểu thị khuynh hướng tập trung của tổng thể, tức là nghiên cứu đại lượng mang tính chất đại diện cho tổng thể. Không có một số đo duy nhất nào có thể mô tả một cách đầy đủ cho một tổng thể. Tùy theo mục đích nghiên cứu ta cần xem xét để vận dụng các số đo cho phù hợp. Tuy nhiên, trong thực tế số trung bình được sử dụng rộng rãi vì dựa vào số trung bình người ta phát triển nhiều cơ sở suy luận để xây dựng các lý thuyết và tính các số đo khác.
3.3.7. Quan hệ giữa các số trung bình cộng, số trung vị và Mod
Dựa vào số trung bình, số trung vị và mốt người ta có thể biết được hình dáng phân phối của lượng biến trong tổng thể. Cụ thể là:
- Khix=M e=M o thì phân phối đối xứng (phân phối chuẩn);
- Khix > M e > M o thì phân phối lệch phải;
- Khix < M e < M o thì phân phối lệch trái .
3.4. SỐ ĐO ĐỘ PHÂN TÁN (Measure of dispersion)
Độ biến thiên của tiêu thức dùng để đánh giá mức độ đại diện của số bình quân đối với tổng thể được nghiên cứu. Trị số này tính ra càng lớn, độ biến thiên của tiêu thức càng lớn do đó mức độ đại diện của số bình quân đối với tổng thể càng thấp và ngược lại.
Quan sát độ biến thiên tiêu thức trong dãy số lượng biến sẽ thấy nhiều đặc trưng về phân phối, kết cấu, tính đồng đều của tổng thể.
Độ biến thiên của tiêu thức được sử dụng nhiều trong nghiên cứu thống kê như phân tích biến thiên cũng như mối liên hệ của hiện tượng, dự đoán thống kê, điều tra chọn mẫu,...
Khi nghiên cứu độ biến thiên của tiêu thức, thống kê thường dùng các chỉ tiêu như khoảng biến thiên, độ lệch tuyệt đối bình quân, phương sai, độ lệch tiêu chuẩn và hệ số biến thiên. Dưới đây là nội dung và phương pháp tính của các chỉ tiêu đó.
3.4.1. Khoảng biến thiên (Range)
Khoảng biến thiên (còn gọi là toàn cự) là chỉ tiêu được tính bằng hiệu số giữa lượng biến lớn nhất và lượng biến nhỏ nhất của một dãy số lượng biến. Khoảng biến thiên càng lớn, mức độ biến động của chỉ tiêu càng lớn. Ngược lại, khoảng biến thiên nhỏ, mức độ biến động của chỉ tiêu thấp, tức là mức độ đồng đều của chỉ tiêu cao.
Công thức tính:
R=xmax−xmin Trong dó:
R : Toàn cự;
xmax : Lượng biến có trị số lớn nhất; xmin : Lượng biến có trị số nhỏ nhất;
Ví dụ 3.22. Thu nhập của hộ gia đình như sau:
Hộ 1 2 3 4 5 6 7 8
Thu nhập (ngàn đồng) 6,000 7,000 85,000 86,000 9,000 9,100 9,500 10,000 Từ số liệu bảng, sử dụng công thức ở trên ta tính được khoảng biến thiên: R = 10,000−
6,000 = 4,000 (nghìn đồng)
Khoảng biến thiên phản ánh khoảng cách biến động của tiêu thức tuy tính toán đơn giản song phụ thuộc vào lượng biến lớn nhất và nhỏ nhất của tiêu thức, tức là không tính gì đến mức độ khác nhau của các lượng biến còn lại trong dãy số.
3.4.2. Độ lệch tuyệt đối trung bình (Mean Absolute Deviation)
Độ lệch tuyệt đối bình quân là số bình quân số học của các độ lệch tuyệt đối giữa các lượng biến với số bình quân số học của các lượng biến đó.
Công thức tính:
- Trường hợp tính giản đơn
d= n P i=1 |xi−x| n , - Trường hợp có quyền số d = n P i=1 |xi −x|fi n P i=1 fi , Trong dó:
d; Độ lệch tuyệt đối bình quân; xi : Các trị số của lượng biến;
x; Số trung bình số học;
fi; Quyền số của từng lượng biến xi; n; Tổng số lượng biếnn =Pki=1fi
Chỉ tiêu này biểu hiện độ biến thiên của tiêu thức nghiên cứu một cách đầy đủ hơn khoảng biến thiên. Qua đó phản ánh rõ nét hơn tính chất đồng đều của tổng thể: vì nó tính đến độ lệch của tất cả các lượng biến. Về cách tính cũng tương đối đơn giản, nhưng có đặc điểm là phải lấy giá trị tuyệt đối (giá trị dương) của chênh lệch.
STT Năng suất lao động (triệu đồng/người) Số công nhân (ngàn người) 1 10 10 2 15 20 3 20 50 4 25 10 5 35 10 Số bình quân: x= 10×10 + 15×20 + 20×50 + 25×10 + 35×10 10 + 20 + 50 + 10 + 10 = 20 Độ lệch tuyệt đối bình quân:
d= |10−20| ×10 +|15−20| ×20 +|20−20| ×50 +|25−20| ×10 +|35−20| ×10
10 + 20 + 50 + 10 + 10 = 4
3.4.3. Phương sai (Variance)
Phương sai là số bình quân số học của bình phương các độ lệch giữa các lượng biến với số bình quân số học của các lượng biến đó.
Phương sai là sai số trung bình bình phương giữa các lượng biến và số trung bình số học của các lượng biến đó. a. Phương sai tổng thể σ2x = N P i=1 (xi−µ)2 N Trong đó:
xi : Giá trị lượng biến thứ i µ: Trung bình tổng thể N : Số đơn vị tổng thể
b. Phương sai mẫu
Sx2 = n P i=1 (xi−x)2 n−1 = n P i=1 x2i −nx2 n−1 Nếu dãy số có tần số fi thì Sx2 = k P i=1 (xi−x)2fi k P i=1 fi−1
Trong công thức phương sai mẫu người ta gọi tử số là tổng độ lệch bình phương và mẫu số là bậc tự do.
Chú ý 3.2. Đối với công thức phương sai mẫu, theo toán học người ta chia ra thành 2 loại là phương sai mẫu và phương sai mẫu điều chỉnh. Tuy nhiên phương sai mẫu (bậc tự do là n) là ước lượng chệch của phương sai của tổng thể, còn phương sai mẫu là ước lượng không chệch. Chính vì vậy, để cho đơn giản chúng ta hiểu phương sai mẫu ở đây là phương sai mẫu đã điều chỉnh theo quan điểm của toán học.
3.4.4. Độ lệch chuẩn (Standard deviation)a. Độ lệch chuẩn của tổng thể: a. Độ lệch chuẩn của tổng thể: σx =pσ2 x = r P (xi−µ)2 N b. Độ lệch chuẩn của tổng thể: Sx = r P (xi−x)2 n−1 3.4.5. 5. Hệ số biến thiên (Coefficient of Variation)
Hệ số biến thiên là chỉ tiêu tương đối phản ánh mối quan hệ so sánh giữa độ lệch chuẩn với số bình quân số học. Công thức tính: V = σ x Trong dó: V; Hệ số biến thiên; σ Độ lệch chuẩn; x; Số trung bình số học;
Hệ số biến thiên cũng dùng để đánh giá độ biến thiên của tiêu thức và tính chất đồng đều của tổng thể. Hệ số này biểu hiện bằng số tương đối nên còn có thể được dùng để so sánh cả những chỉ tiêu cùng loại nhưng ở các quy mô khác nhau như so sánh độ đồng đều về thu nhập bình quân của hộ gia đình ở khu vực nông thôn (có thu nhập thấp và số hộ ít hơn) với thu nhập bình quân của hộ gia đình ở thành thị (có mức thu nhập cao hơn và số hộ nhiều hơn), đặc biệt để so sánh được những chỉ tiêu của các hiện tượng khác nhau và có đơn vị đo lường khác nhau như so sánh hệ số biến thiên về bậc thợ với hệ số biến thiên về tiền lương bình quân, hệ số biến thiên về năng suất lao động bình quân, so sánh hệ số biến thiên về chỉ tiêu thu nhập của hộ gia đình với hệ số biến thiên về chi tiêu của hộ gia đình,...
Hệ số biến thiên còn có thể tính theo độ lệch tuyệt đối bình quân, nhưng hệ số biến thiên tính theo độ lệch chuẩn thường được sử dụng rộng rãi hơn, tuy phần tính toán có phức tạp hơn phải sử dụng độ lệch tuyệt đối trung bình.
Hệ số biến thiên tính theo độ lệch tuyệt đối bình quân có công thức tính: V = d
x Trong dó:
Bài tập 3.1. Một xí nghiệp có kế hoạch tăng sản lượng kỳ nghiên cứu so với kỳ gốc 10%. Trên thực tế sản lượng kỳ nghiên cứu so với kỳ gốc tăng 15%. Tính tỷ lệ hoàn thành kế hoạch về sản lượng của xí nghiệp.
Bài tập 3.2. Một xí nghiệp có kế hoạch giá thành kỳ nghiên cứu so với kì gốc giảm 5%. Trên thực tế, giá thành kỳ nghiên cứu so với kì gốc giảm 3%. Tính tỉ lệ hoàn thành kế hoạch giá thành và cho biết xí nghiệp có hoàn thành kế hoạch hay không? .
Bài tập 3.3. Giá trị tăng thêm của doanh nghiệp X trong năm gốc là 4,200 triệu đồng. Mục tiêu năm báo cáo phấn đấu tăng 15% so với năm gốc. Giá trị tăng thêm thực hiện được ở năm báo cáo là 4,900 triệu đồng.
1. Tính tỷ lệ % hoàn thành giá trị gia tăng năm báo cáo;
2. Tính số tương đối động thái (tốc độ phát triển) năm báo cáo so với năm gốc về giá trị tăng thêm.
Bài tập 3.4. Nhà máy B chuyên sản xuất loại sản phẩm X. Năm 2011, nhà máy phấn đấu hạ giá thành sản phẩm 2.5% và nâng cao sản lượng lên 10% so với năm 2010. Kết thúc năm 2011, nhà máy hoàn thành vượt mức kế hoạch hạ giá thành 2% và vượt mức kế hoạch sản lượng 6%. Xác định biến động giá thành và biến động sản lượng năm 2011 so với 2010.
Bài tập 3.5. Có số liệu về giá thành một loại sản phẩm A như sau: - Giá thành một đơn vị sản phẩm A ở kỳ gốc là 500,000 đồng.
- Giá thành một đơn vị sản phẩm A ở kỳ báo cáo so với kỳ gốc giảm được 5%.
- Kết quả thực hiện kế hoạch giá thành đơn vị sản phẩm A giảm được chi phí là 15,000 đồng.
1. Xác định nhiệm vụ kế hoạch đề ra phấn đấu giảm giá thành đơn vị sản phẩm A bao nhiêu theo số tương đối và số tuyệt đối.
2. Tính tỷ lệ % thực hiện kế hoạch giảm giá thành đơn vị sản phẩm A.
Bài tập 3.6. Có số liệu thống kê về tài sản cố định (TSCĐ) dùng sản xuất trong toàn bộ TSCĐ của doanh nghiệp X năm 2012 là 80%. Số tương đối động thái năm 2013 so với năm 2012 của TSCĐ dùng trong sản xuất là 108%, TSCĐ không dùng trong sản xuất là 115% và của toàn bộ TSCĐ là 110%. Hãy tính tỷ lệ kết cấu TSCĐ trong năm 2013.
Bài tập 3.7. Ta có số liệu thống kê về tình hình hoạt động của các cửa hàng trong một doanh nghiệp cho bởi bảng sau:
Tên cửa hàng Doanh số bán (triệu đồng)
Thực hiện 2012 Kế hoạch 2013 Thực hiện 2013
A 1,000 1,500 1,700
B 2,000 2,500 2,800
C 3,000 3,500 3,000
D 4,000 5,000 5,200
1. Tính số tương đối nhiệm vụ kế hoạch và hoàn thành kế hoạch năm 2013 của mỗi cửa hàng và doanh nghiệp;
2. Tốc độ phát triển của mỗi cửa hàng và doanh nghiệp;
3. Tính tỷ trọng doanh số bán của mỗi cửa hàng theo mức thực hiện năm 2012 và năm 2013. 4. Nếu cửa hàng C hoàn thành đúng kế hoạch thì tỷ lệ (%) hoàn thành kế hoạch của doanh
nghiệp là bao nhiêu?
Bài tập 3.8. Ta có số liệu thống kê về tình hình sản xuất của doanh nghiệp Y trong năm 2014 cho bởi bảng sau:
Nhà máy Số công nhân Mức lương tháng Năng suất lao động
Giá thành đơn vị sản phẩm
(người) (triệu đồng) (tấn/người) (tr.đ/tấn)
A 150 600 25 185
B 200 650 30 180
C 250 700 35 175
1. Tính năng suất lao động bình quân năm của công nhân; 2. Tính mức lương tháng bình quân của công nhân;
3. Giá thành bình quân của 1 tấn sản phẩm.
Bài tập 3.9. Tài liệu tổng hợp về doanh số bán hàng của 50 công ty dệt may trong tháng 12