Lược đồ Hoocne là thuật toán tìm thương Q(x) va số dư r trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức bậc nhất x – a
f(x) = 3x4 – 2x3 + x – 5 cho x + 2 Giải : Sơ đồ Hoone : 3 - 2 0 1 - 5 - 2 3 (3=3) - 8 [(-8=-2.3+(-2)] 16 [16=-2.(-8)+0] - 31 [-31=-2.16+1] 57 [57=-2.(-31+(-5)] Vậy thương Q(x) = 3x3 – 8x2 + 16x – 31 Số dư là 57 Vd2 : Tính giá trị đa thức f(x) = x7 – 4x6 + 3x2 + 2x – 4 tại x = 2 Giải : Sơ đồ Hoone : 1 - 4 0 0 0 3 2 - 4 2 1 - 2 - 4 - 8 - 16 - 29 - 56 - 116 Vậy f(2) = - 116.
* Chú ý : Vận dụng sơ đồ Hoocne cho các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử.
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử P(x) = x3 – x2 – 8x + 12
Bài 2: Không làm phép chia đa thức, hãy tìm số dư trong phép chia đa thức f(x) cho đa thức g(x) trong trường hợp sau:
f(x) = x21 + x20 + x19 + 101 g(x) = x + 1
Dặn dò: (3’)
- HS cần nắm vững định lý Bơzu và hệ quả. Sơ đồ Hoocne. - Xem lại kiến thức đã sử dụng
- Bài 1:(Bà i 93c/27-btnc&mscdt8)
Phân tích đa thức thành nhân tử P(x) = 2x4 + x3 – 22x2 + 15x – 36 - Bài 2:(Bà i 91b/27-btnc&mscdt8)
Không làm phép chia đa thức, hãy tìm số dư trong phép chia đa thức f(x) cho đa thức g(x) trong trường hợp sau:
f(x) = x4 - 5x3 + 2x – 10 g(x) = x – 5
BÀI TẬP NGHIỆM ĐA THỨC I. Mục tiêu: I. Mục tiêu:
- Hs nắm được định lý Bơzu, lược đồ Hoocne.
- Hs vận dụng được định lý Bơzu, lược đồ Hoocne vào các bài toán.
- Rèn luyện kỹ năng chia đa thức cho đa thức, tìm số dư trong phép chia, phân tích đa thức thành nhân tử.
- Rèn luyện tính cẩn thận trong các bài toán chia đa thức cho đa thức, tìm số dư trong phép chia, phân tích đa thức thành nhân tử.
* Kiến thức sử dụng :
Nếu tại x = a đa thức f(x) có giá trị bằng 0 thì ta nói a là một nghiệm của đa thức đó. Bài 1 : Tìm nghiệm của đa thức sau :
a. f(x) = x4 + 3x3 + 3x2 – x – 6 Giải :
Xét x4 + 3x3 + 3x2 – x – 6 = 0
Ta thấy x = 1 là một nghiệm của f(x), dùng sơ đồ Hoocne ta có : f(x) = (x – 1)(x3 + 4x2 + 7x + 6) = 0
Ta thấy x = - 2 là một nghiệm của f(x), dùng sơ đồ Hoocne ta có : f(x) = (x – 1)(x + 2)(x2 + 2x + 3) = 0 (1)
Ta xét : x2 + 2x + 3 = x2 + 2x + 1 + 2 = (x + 1)2 + 2 > 0 với mọi x. Từ (1) suy ra : (x – 1)(x + 2) = 0 Suy ra x = 1, x = - 2 b. g(x) = (x +1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24 Giải: Xét: (x +1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24 = 0 (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) – 24 = 0 (x2 + 5x + 5)2 – 25 = 0 (x2 + 5x) (x2 + 5x + 10) = 0
Vì x2 + 5x + 10 > 0 với mọi x nên đa thức có nghiệm là x = 0, x = - 5
4. Củng cố: (3’)
- Nhắc lại kiến thức đã sử dụng
5. Dặn dò: (5’)
Bài 1: Tìm nghiệm của đa thức sau : a. f(x) = x4 – 6x3 + 8x2 + 12x – 9
b. g(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 4)(x + 5) – 40
Bài 2: Tìm dư của phép chia đa thức f(x) cho đa thức q(x) trong mỗi trường hợp sau:
a. f(x) = x + x3 + x9 + x27 + x243. q(x) = x – 1 (hd: định lý Bơzu) b. f(x) = 1 + x + x19 + x199 + x1995. q(x) = 1 – x2 (hd: Tương tự Bài 1)
LUYỆN TẬP VỀ ĐƯỜNG CAO CỦA TAM GIÁC I. Mục tiêu: I. Mục tiêu:
- Ôn luyện khái niệm, tính chất đường cao của tam giác. - Ôn luyện cách vẽ đường cao của tam giác.
- Vận dụng giải được một số bài toán.
Bài 1 :
Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Vẽ điểm K sao cho AB là trung trực của HK. Chứng minh rằng : KABKCB
Chứng minh :
H là trực tâm của tam giác ABC nên AH BC.
Suy ra :KCBBAH (Hai góc có ca ̣nh tương ứng vuông góc) (1) ∆KAE = ∆KHE suy ra : KABBAH (2)
Từ (1)(2) suy ra : KCBKAB
Dặn dò:
(Bài 130/141-btnc&mscdt7)
BÀI TẬP NGHIỆM ĐA THỨC I. Mục tiêu: I. Mục tiêu:
- Hs nắm được định lý Bowzu, lược đồ Hoocne.
- Hs vận dụng được định lý Bowzu, lược đồ Hoocne vào các bài toán.
- Rèn luyện kỹ năng chia đa thức cho đa thức, tìm số dư trong phép chia, phân tích đa thức thành nhân tử.
- Rèn luyện tính cẩn thận trong các bài toán chia đa thức cho đa thức, tìm số dư trong phép chia, phân tích đa thức thành nhân tử.
Bài 1: Chứ ng minh rằng :
a. P(x) = x3 – x + 5 không có nghiê ̣m nguyên. Giả i : Giả i :
Giả sử x = a là mô ̣t nghiê ̣m của đa thức P(x) Ta có :
a3 – a + 5 = 0 a(a2 – 1) = - 5 a(a – 1)(a + 1) = - 5
ta thấy a(a – 1)(a + 1) là tích của ba số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 3. Nhưng – 5 không chia hết cho 3.
Vậy, P(x) = x3 – x + 5 không có nghiê ̣m nguyên.
b. Q(x) = x3 + 5x2 + 2x + 3 không có nghiê ̣m nguyên. Giả i : Giả i :
Giả sử x = a là mô ̣t nghiê ̣m nguyên của đa thức Q(x) Ta có :
a.a2 + 5a2 + 2a = - 3
- Nếu a là số lẻ thì a2 là số lẻ, suy ra a.a2 là số chẵn,
5a2 là số chẵn, 2a là số chẵn. Nên a.a2 + 5a2 + 2a là số chẵn mà vế phải là số lẻ nên mâu thuẫn.
- Vớ i n là số chẵn thì a.a2 + 5a2 + 2a là số chẵn mà vế phải là số lẻ nên mâu thuẫn. Vây, Q(x) = x3 + 5x2 + 2x + 3 không có nghiê ̣m nguyên.
Bài 2 : Chứng minh rằng :
Đa thức P(x) = x95 + x94 + x93 + …+ x2 + x + 1 Chia hết cho đa thứ c
Q(x) = x31 + x30 + x29 + ..+ x2 + x + 1 Giả i : Ta có : P(x) = x95 + x94 + x93 + …+ x2 + x + 1 = x64(x31 + x30 + x29 + ..+ x2 + x + 1) + x32(x31 + x30 + x29 + ..+ x2 + x + 1) + x31 + x30 + x29 + ..+ x2 + x + 1 = (x31 + x30 + x29 + ..+ x2 + x + 1)(x64 + x32 + 1) Suy ra : P(x) Chia hết cho đa thứ c Q(x)
Bài 3 : Tìm dư trong phép chia đa thức f(x) cho đa thức q(x), biết : f(x) = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 2003 q(x) = x2 + 8x + 12 Giả i : Ta có : (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 2003 = (x2 + 8x + 7)( x2 + 8x + 15) + 2003 Đă ̣t x2 + 8x + 7 = t thì : (x2 + 8x + 7)( x2 + 8x + 15) + 2003 = t(t + 8) + 2003 = (t2 + 8t + 15) + 1988 = (t + 3)(t + 5) + 1988 Suy ra : f(x) = (x2 + 8x + 10)( x2 + 8x + 12) + 1988
Vậy, số dư trong phép chia đa thức f(x) cho đa thức q(x) là 1988.
Bài 1: Chứ ng minh rằng :
a. P(x) = x2 – 2x + 5 không có nghiê ̣m
Bài 2 :(Bà i 92/27-btnc&mscdt8)
Chứ ng minh rằng : f(x) = ( x2 – 3x + 1)31 – (x2 – 4x + 5)30 + 2 chia hết cho x – 2 (hd : dùng Bơzu )
Bài 3 : (Bà i 10/19-ccdnct8)
Tìm dư trong phép chia đa thức f(x) cho đa thức q(x), biết : f(x) = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 2006
q(x) = x2 + 8x + 11 (hd :tương tự bài 3)
BÀI TẬP XÁC ĐỊNH ĐA THỨC I. Mục tiêu: I. Mục tiêu:
- Hs vận dụng được định lý Bowzu, lược đồ Hoocne vào các bài toán.
- Rèn luyện kỹ năng chia đa thức cho đa thức, tìm số dư trong phép chia, phân tích đa thức thành nhân tử.
- Rèn luyện tính cẩn thận trong các bài toán chia đa thức cho đa thức, tìm số dư trong phép chia, phân tích đa thức thành nhân tử.
Tìm hiểu phương pháp xét giá tri ̣ riêng trong bài toán xác đi ̣nh đa thức Bài 1: Xác đi ̣nh các hê ̣ số a, b sao cho :x4 + ax3 + b chia hết cho x2 – 1. Giải :
- Có thể sử du ̣ng phương pháp đồng nhất hê ̣ số. - Tìm hiểu phương pháp xét giá tri ̣ riêng
Gọi đa thức thương là Q. Ta có: x4 + ax3 + b = (x – 1)(x = 1).Q
Vì đẳng thức đúng với mo ̣i x nên ta lần lươ ̣t cho x=1, x = - 1 ta đươ ̣c :
1 0 1 0 a b a b 0 1 a b
Vậy với a = 0, b = - 1 thì x4 + ax3 + b chia hết cho x2 – 1.
Bài 2 : Tìm đa thức f(x) biết rằng f(x) chia cho x – 2 thì dư 2, f(x) chia cho x – 3 thì dư 7, f(x) chia cho x2 – 5x + 2 thì được thương là 1 – x2 và còn dư.
Giải:
Gọi thương của phép chia f(x) cho x – 2, x – 3 lần lượt là P(x), Q(x) ta có: f(x) = (x – 2)P(x) + 5 (1)
f(x) = (x – 3)P(x) + 7 (2)
Gọi thương của phép chia f(x) cho x2 – 5x + 2 là g(x) và dư là nhị thức bậc nhất ax+b ta có:
f(x) = (x – 2) (x – 3) g(x) + ax+b (3) Vì các đẳng thức trên đúng với mọi x, nên:
- Với x = 2 thì từ (1) ta có: f(2) = 5, từ (3) ta có: f(2) = 2a + b suy ra: 2a + b = 5 (I) - Với x = 3 thì từ (2) ta có: f(3) = 7, từ (3) ta có: f(3) = 3a + b suy ra: 3a + b = 7 (II) Kết hợp (I)(II) ta có: 2 5 3 7 a b a b 2 1 a b
Vậy đa thức phải tìm là: f(x) = (x2 – 5x + 2)( 1 – x2) + 2x + 1 = -x4 + 5x3 – 5x2 – 3x + 7
Bài 3 : Tìm đa thức dư trong phép chia : (x54 + x45 + x36 + … + x9 + 1) : (x2 – 1 ) Giả i :
Do đa thức chia có bâ ̣c là 2 nên bâ ̣c đa thức dư không vượt quá 1. Ta có :
x54 + x45 + x36 + … + x9 + 1 = (x2 – 1 ).Q + ax + b lần lượt cho x = 1, x = - 1 ta đươ ̣c :
1 7 a b a b 3 4 a b
Vậy đat thức dư là: 3x + 4
Bài 1 : (Bà i 96/28-btnc&mscdt8) (hd : Tương tự bài 2)
Tìm đa thức f(x) biết rằng f(x) chia cho x – 1 thì dư 4, f(x) chia cho x + 2 thì dư 1, f(x) chia cho (x – 1)(x + 2) thì được thương là 5x2 và còn dư.
Bài 2: (Bà i 81c/26-tnc&ccds8) (hd : Tương tự bài 1)
Xác đi ̣nh các hê ̣ số a, b sao cho :x4 + ax3 + bx – 1 chia hết cho x2 – 1.
Bài 3 : (Bà i 11/11-bdhsgtds8) (hd : Tương tự bài 3)
Tìm đa thức dư trong phép chia : (x81 + x27+ x9 + x3 + x) : (x2 – 1 )
LUYỆN TẬP VỀ CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIÁC I. Mục tiêu: I. Mục tiêu:
- Biết vẽ và nhận biết 3 đường trung tuyến, 3 đườ ng phân giác trong tam giác. Biết trọng tâm của 1 tam giác, tính chất 3 đường trung tuyến của 1 tam