Xét hệ điều khiển tuyến tính liên tục
x˙ = A(t)x + B(t)u, t ∈ J, (1.11) trong đó A ∈ KCd,d(J), B ∈ KCd,m(J) và u ∈ KCm,1(J) là điều khiển. Với mỗi (t0, x0) ∈ J × Rd ta kí hiệu nghiệm của hệ (1.11) với điều kiện ban đầu x(t0) = x0 là x(., t0, x0, u). Sau đây chúng tôi giới thiệu khái niệm điều khiển được đều của (1.11) (xem [20]).
Định nghĩa 1.16 (Điều khiển được đều). Hệ (1.11) được gọi là điều khiển được đều trên J nếu tồn tại hằng số K, α > 0 sao cho với mọi
(t0, ξ) ∈ J × Rd tồn tại một điều khiển u ∈ KCm,1(J) sao cho x(t0 + K, t0, 0, u) = ξ,
và
||u(t)|| ≤ α||ξ||, t ∈ [t0, t0 + K].
Ta có đặc trưng sau về tính điều khiển được đều.
Định lý 1.17 (Đặc trưng Kalman). Hệ (1.11) là điều khiển được đều trên J khi và chỉ khi tồn tại các hằng số dương ρ và ϑ sao cho ma trận điều khiển W (t0, t0 + ϑ) = t0+ϑ ΦA(t0, s)B(s)BT T(s)ΦT(t0, s)ds, t0 ∫ A
của (1.11) trên [t0, t0 + ϑ] thỏa mãn bất đẳng thức
ξT W (t0, t0 + ϑ)ξ ≥ ρ||ξ||2, (1.12)
với mọi t0 ∈ J và ξ ∈ Rd.
Chứng minh. Trong trường hợp J = R+ (xem chứng minh trong [20]). Trong trường hợp J = R (xem chứng minh trong [25]).
Sau đây chúng tôi xét hệ điều khiển một chiều và chỉ ra điều kiện cần và đủ để hệ này là điều khiển được đều.
Hệ quả 1.18 (Điều khiển được đều cho phương trình tuyến tính một
chiều). Xét hệ điều khiển tuyến tính một chiều
x˙ (t) = a(t)x + b(t)u(t), (1.13)
trong đó a, b ∈ KC1,1(R+). Hệ (1.13) là điều khiển được đều khi và chỉ khi tồn tại ρ > 0 và ϑ > 0 sao cho
t+ϑ
b(s) ds ≥ ρ^, (1.14)
Chứng minh. Ma trận điều khiển của hệ (1.13) được cho bởi công thức
W (t1, t2) = t2 2 s a(τ ) dτ e t1 t1 b(s) ds. (1.15)
Sử dụng Định lý 1.17, hệ (1.13) là điều khiển được đều khi và chỉ khi tồn tại các hằng số dương ρ và ϑ sao cho W (t0, t0 + ϑ) ≥ ρ với mọi t0
∈ R+. Đặt κ := supt∈R+ |a(t)|. Dẫn đến 2κϑ t+ϑ t b(s) ds ≥ W (t, t + ϑ) ≥ ρ. ρ Do đó, (1.14) thỏa mãn với ρ^
:= e2κϑ . Ta có điều phải chứng minh.
^
∫
∫ ∫
∫