Lý thuyết Đại số gia tử (Hedge Algebra - HA) được đề xuất bởi Nguyễn Cát Hồ và W. Wechler từ năm 1990 [50] là một lý thuyết nghiên cứu về cấu trúc ngữ nghĩa của miền hạng từ của các biến ngôn ngữ dựa trên ngữ nghĩa vốn có của các hạng từ trong ngôn ngữ tự nhiên. Trong phần này, luận án trình bày các khái niệm, ký hiệu, ngữ nghĩa định tính và ngữ nghĩa định lượng trong ĐSGT cơ bản và ĐSGT mở rộng.
Người sử dụng có thể xem xét mỗi thuộc tính A của cơ sở dữ liệu trên hai miền giá trị khác nhau: thứ nhất là dựa trên các giá trị số trong miền tham chiếu UA
(A được coi là biến số), thứ hai dựa trên hạng từ ngôn ngữ trong miền hạng từ ngôn ngữ LDA (A được coi là biến ngôn ngữ). Rõ ràng, UA và LDAtồn tại song hành cùng nhau trong thực tế và giữa chúng có mối quan hệ chặt chẽ. Do đó, khi UA có chứa một cấu trúc toán học thì LDA cũng sẽ có một cấu trúc toán học. Lý thuyết ĐSGT nghiên cứu cấu trúc đại số dựa trên quan hệ thứ tự ngữ nghĩa vốn có của các hạng từ trong LDA. Trong phần này, luận án sẽ trình bày các khái niệm, công thức hình thức hóa và các tính chất ngữ nghĩa của cấu trúc ĐSGT trên miền hạng từ LDA của biến ngôn ngữ A.
Lý thuyết ĐSGT được giới thiệu lần đầu trong [50, 51] và tiếp tục được phát triển trong các nghiên cứu [52-55] để mô hình hóa cấu trúc dựa trên quan hệ thứ nghĩa ngữ nghĩa vốn có của miền hạng từ của các biến ngôn ngữ. Ví dụ như trong miền hạng từ của biến AGE, dựa trên ngữ nghĩa vốn có trong thực tế, luôn tồn tại
quan hệ thứ tự ngữ nghĩa là ‘very young’ ≤ ‘young’ ≤ ‘middle’ ≤ ‘little old’ ≤ ‘old’ ≤ ‘very old’. Lý thuyết ĐSGT được phát triển theo phương pháp tiên đề dựa trên tính chất ngữ nghĩa vốn có trong thế giới thực của các hạng từ và gia tử ngôn ngữ. Lý thuyết định lượng ngữ nghĩa trong ĐSGT cũng được phát triển theo phương pháp tiên đề trong [54]. Điều này tạo cơ sở hình thức hóa mạnh để tính toán các đại lượng định lượng ngữ nghĩa khác nhau của các hạng từ như khoảng tính mờ, độ đo mờ, giá trị định lượng ngữ nghĩa. Từ những giá trị định lượng ngữ nghĩa của hạng từ, xây dựng được các thủ tục để sản sinh ngữ nghĩa dựa trên tập mờ của các hạng từ trong giải quyết các bài toán trong thực tế. Lý thuyết ĐSGT đã có nhiều kết quả tốt khi áp dụng vào giải các bài toán trong điều khiển mờ [74-76]; phân lớp mờ và hồi quy mờ [55, 56, 77], dự báo chuỗi thời gian [78-80], robotics [81-83], …