Sau đây xin mời các bạn hãy tham khảo thử 16 bài toán trong kỳ thi chọn đội tuyển quốc gia của Việt Nam dự thi IMO dưới đây và hãy thử vận dụng các hướng vừa rồi để tìm cách giải quyết chúng. Đây đều là các bài toán rất hay và cũng rất khó! (Các bài toán được sắp xếp một cách tương đối từ dễ đến khó)
Bài tập 1 (Đề TST 2000). Hai đường tròn(C1) và(C2) cắt nhau tại hai điểm P vàQ. Tiếp tuyến chung của hai đường tròn gần P hơn Qtiếp xúc với (C1) tạiA và tiếp xúc với (C2) tại
B. Các tiếp tuyến của(C1),(C2) kẻ từP cắt đường tròn kia lần lượt tạiE vàF (E, F khác
P). Gọi H, K lần lượt là các điểm nằm trên các đường thẳng AF, BE sao cho AH =AP và
BK =BP.Chứng minh rằng năm điểmA, H, Q, K, B cùng thuộc một đường tròn.
Bài tập 2 (Đề TST 2003). Trên các cạnh của tam giác ABC lấy các điểm M1, N1, P1 sao cho các đoạn M M1, N N1, P P1 chia đôi chu vi tam giác, trong đó M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn BC, CA, AB.Chứng minh rằng
(a)Các đường thẳng M M1, N N1, P P1 đồng quy tại một điểm. Gọi điểm đó làK.
(b)Trong các tỉ số KA BC, KB CA, KC AB có ít nhất một tỉ số không nhỏ hơn 1 √ 3.
Bài tập 3 (Đề TST 2006). Cho tam giácABC có H là trực tâm. Đường phân giác ngoài của góc BHC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tạiD và E. Đường phân giác trong của góc BAC
cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE tại điểm K.Chứng minh rằng đường thẳng HK đi qua trung điểm của đoạn BC.
Bài tập 4 (Đề TST 2006). Trong mặt phẳng cho gócxOy.GọiM, N lần lượt là hai điểm lần lượt nằm trên các tia Ox, Oy. Gọid là đường phân giác góc ngoài của góc xOy và I là giao điểm của trung trực M N với đường thẳng d.GọiP, Qlà hai điểm phân biệt nằm trên đường thẳng dsao cho IM =IN =IP =IQ,giả sử K là giao điểm của M QvàN P.
(a)Chứng minh rằng K nằm trên một đường thẳng cố định.
(b)Gọi d1 là đường thẳng vuông góc vớiIM tại M vàd2 là đường thẳng vuông góc vớiIN
tại N.Giả sử các đường thẳng d1, d2 cắt đường thẳngdtại E, F.Chứng minh rằng các đường thẳng EN, F M vàOK đồng quy.