2 Một số khối đa diện thường gặp
2.1.1 Hình lăng trụ, hình hộp
Định nghĩa 2.1. Cho hai mặt phẳng(α)và(α0)song song với nhau. Trên(α)cho đa giác lồiA1A2...An.Qua các đỉnhA1, A2, ..., An ta vẽ các đường thẳng song song với nhau và cắt(α0)lần lượt tại A01, A02, ..., A0n.Hình gồm hai đa giácA1A2...An và A01A02...A0n và các hình bình hànhA1A01A02A2, A2A02A03A3, ..., AnA0nA01A1 được gọi là
hình lăng trụ và được kí hiệu là A1A2...An.A01A20...A0n. Hai đa giác A1A2...An và A01A02...A0n được gọi là hai mặt đáy, các hình bình hànhA1A10A02A2, A2A02A03A3,..., AnA0nA01A1 được gọi là các mặt bên, các cạnh không phụ thuộc vào hai đáy đều song song với nhau và được gọi là cạnh bên. Khoảng cách giữa hai đáy gọi là
chiều cao của lăng trụ (xem Hình 2.1).
Hình 2.1: Hình lăng trụ.
đáy (và được gọi là xiên trong trường hợp không vuông góc). Các mặt bên của một hình lăng trụ đứng là những hình chữ nhật và mỗi cạnh bên có thể được xem như một đường cao.
Một hình lăng trụ đứng được gọi là đều nếu các đáy của nó là những đa giác đều. Các mặt bên của một hình lăng trụ đều là những hình chữ nhật bằng nhau. Một hình lăng trụ có thể là hình lăng trụ tam giác hay hình lăng trụ tứ giác,. . . phụ thuộc vào hình dạng của đáy: đáy tam giác hay đáy tứ giác,. . . . Định nghĩa 2.2. Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành. Khoảng cách giữa hai đáy là chiều cao của hình hộp.
Định lí 2.3. Diện tích xung quanh của một hình lăng trụ bằng tích của một cạnh bên và chu vi của thiết diện vuông góc.
Chứng minh. Xét hình lăng trụABCDE.A0B0C0D0E0 như hình vẽ. Lấy một thiết
diện vuông góc của lăng trụ, nghĩa là lấy giao của tất cả các mặt bên của lăng trụ với một mặt phẳng vuông góc với các cạnh bên, ta được một đa giác
abcde. Các cạnh của đa giác này vuông góc với các cạnh bên. Diện tích xung
quanh của lăng trụ bằng tổng diện tích các hình bình hành. Với mỗi hình bình hành đó, ta có thể xem cạnh bên là đáy và một trong các cạnh của thiết diện vuông góc là đường cao. Do đó, diện tích xung quanh của hình lăng trụ bằng AA0.ab+BB0.bc+CC0.cd+DD0.de+EE0.ea=AA0.(ab+bc+cd+de+ea).
Định lí được chứng minh xong.
Hệ quả 2.4. Diện tích xung quanh của một hình lăng trụ đứng bằng tích của chu vi đáy và chiều cao, vì cạnh bên của hình lăng trụ đứng bằng đường cao, và đáy của nó là một thiết diện vuông góc.
Định lí 2.5. Thể tích của một hình hộp bằng tích của chiều cao và diện tích đáy của nó.
Chứng minh. Để chứng minh định lí này trước tiên ta sẽ chứng minh nó cho
hình hộp đứng và sau đó ta chứng minh cho hình hộp xiên.
(i) Lấy ABCD.A0B0C0D0 là một hình hộp đứng, tức là đáy ABCD của nó có thể là một hình bình hành bất kì và tất cả các mặt bên là các hình chữ nhật. Coi mặt bênAA0B0B là đáy mới thì hình hộp đó trở thành hình hộp xiên. Hình
hộp này tương đương với hình hộp có chiều cao bằngBC và đáy bằng thiết diện
vuông góc P QQ0P0. Tứ giác P QQ0P0 là một hình chữ nhật, vì các góc của nó là những góc phẳng của những góc nhị diện vuông. Do đó, hình hộp đứng mà có đáy làP QQ0P0 phải là một hình hộp chữ nhật và vì vậy thể tích của nó bằng tích độ dài ba kích thước của nó làQQ0, P Q, BC. Nhưng tíchP Q.BC biểu diễn diện tích của hình bình hành ABCD. Do vậy VABCD.A0B0C0D0 =SABCD.QQ0 =SABCD.BB0. (ii) Lấy ABCD.A0B0C0D0 là một hình hộp xiên. Nó tương đương với một hình hộp đứng mà đường cao là cạnh BC và đáy là thiết diện P QQ0P0 vuông góc với các cạnh AD, BC, ....Nhưng theo trường hợp (i), thể tích của hình hộp đứng
bằng tích của chiều cao và diện tích đáy, tức là VABCD.A0B0C0D0 = BC.SP QQ0P0. Nếu M M0 là đường cao của thiết diện P QQ0P0 thì diện tích của P QQ0P0 bằng P Q.M M0 và do đó VABCD.A0B0C0D0 =BC.P Q.M M0. Nhưng tích BC.P Q biểu diện diện tích của hình bình hành ABCD. Ta cần chỉ ra đoạn M M0 chính là đường cao của hình hộp đó với đáy là ABCD. Thật vậy, thiết diện P QQ0P0 vuông góc với BC nên bất kì đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng thiết diện này cũng
vuông góc BC, do đó M M0⊥BC. Mặt khác, M M0 là đường cao của hình bình hành P QQ0P0 nên vuông góc với đáy P Q.Vì vậy, M M0 vuông góc với hai đường thẳng cắt nhauBC, P Qnằm trong mặt phẳngABCDnên nó vuông góc với mặt
phẳng này. Do vậy, thể tích của hình hộp ABCD.A0B0C0D0 bằng tích của chiều cao M M0 của nó với diện tích đáy ABCD.
Định lí 2.6. Thể tích của một hình lăng trụ bằng tích chiều cao và diện tích đáy của nó.
Chứng minh. Trước tiên, ta sẽ chứng minh định lí đúng cho một hình lăng trụ
tam giác, sau đó sẽ chứng minh cho một lăng trụ bất kì.
(i) Xét lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0. Qua cạnh bên AA0 của lăng trụ tam giácABC.A0B0C0, dựng một mặt phẳng song song với mặt BB0C0C, và qua cạnh CC0 dựng mặt phẳng song song với mặt ABB0A0, rồi mở rộng tới các mặt của cả hai đáy tới giao của chúng với các mặt phẳng vừa dựng. Ta được hình hộp ABCD.A0B0C0D0 và mặt phẳng chéo ACC0A0 chia hình hộp này thành hai lăng trụ tam giác tương đương nhau trong đó có ABC.A0B0C0 là lăng trụ đã cho.
Để chứng minh điều này, ta dựng một thiết diện vuông góc abcd. Đó là một
hình bình hành và đường chéo ac chia nó thành hai tam giác bằng nhau. Lăng
trụ đã cho tương đương với một lăng trụ đứng mà đường cao là cạnh bên AA0 và đáy bằng tam giác abc. Lăng trụ tam giác còn lại tương đương với một lăng
trụ đứng mà đường cao là AA0 và đáy bằng tam giác adc. Nhưng hai hình lăng trụ đứng này có đáy và đường cao bằng nhau nên có thể chồng khít lên nhau và do đó chúng bằng nhau. Vì vậy, hai lăng trụ ABC.A0B0C0 và ADC.A0D0C0
tương đương nhau. Từ đó, ta có thể tích của hai lăng trụ trên bằng một nửa thể tích của hình hộpABCD.A0B0C0D0. Khi đó ta cóVABC.A0B0C0 = VABCD.A0B0C0D0
2 =
SABCD.h
2 =
SABCD
2 .h=SABC.h.
(ii) Xét một lăng trụ bất kì A1A2...An.A01A02...A0n. Qua cạnh bên A1A01 ta dựng các mặt phẳng chéo A1A3.A03A01, ..., A1Ak.A0kA01. Khi đó lăng trụ đã cho bị chia thành nhiều lăng trụ tam giác. Tổng thể tích của các lăng trụ này bằng thể tích của lăng trụ đã cho. Nếu ta kí hiệu a1, a2, ..., an−2 lần lượt là diện tích các đáy của các lăng trụ tam giác đó, h là chiều cao chung và V là thể tích của
lăng trụ đã cho thì ta được
V =a1.h+a2.h+...+an−2.h= (a1+a2+...+an−2).h=SA1A2...An.A0
1A0
2...A0
n.h.
2.1.2 Hình chóp, hình chóp cụt
Định nghĩa 2.7. Hình chóp là khối đa diện có một mặt là đa giác được gọi là đáy, các mặt còn lại là tam giác có chung một đỉnh và được gọi là mặt bên. Khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy được gọi là chiều cao của hình chóp.
Hình chóp có thể là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, . . . , phụ thuộc vào hình dáng của đáy: tam giác, tứ giác, . . . . Một hình chóp tam giác còn được gọi là một hình tứ diện. Tất cả bốn mặt của một hình tứ diện đều là những tam giác.
Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu đáy của nó là một đa giác đều và đường cao của nó đi qua tâm của đa giác đáy. Trong một hình chóp đều, tất cả các cạnh bên bằng nhau (vì là các đường xiên có các hình chiếu bằng nhau). Do đó tất cả các mặt bên của hình chóp đều là những tam giác cân bằng nhau. Đường cao SM của mỗi tam giác này được gọi là một trung đoạn. Tất cả các
Định nghĩa 2.8. Một phần của một hình chóp nằm giữa đáy của nó (ABCDE)
và một mặt phẳng cắt(A0B0C0D0E0)song song với đáy được gọi là mộthình chóp cụt. Các mặt song song gọi là cácđáy, và đoạn thẳng OO0 của một đường vuông góc hạ từ một điểm bất kì trên đáy này tới đáy kia gọi là một đường cao của hình chóp cụt. Một hình chóp cụt cắt ra từ một hình chóp đều được gọi là một
hình chóp cụt đều.
Định lí 2.9. Diện tích xung quanh của một hình chóp đều bằng tích của trung đoạn với nửa chu vi đáy.
Chứng minh. Lấy hình chóp đều S.ABCDE và SM là trung đoạn của nó. Diện
tích xung quanh của hình chóp bằng tổng diện tích các tam giác cân bằng nhau. Diện tích của mỗi tam giác cân đó, chẳng hạn tam giác ASB bằng 1
2AB.SM.
Nếu số hình của tam giác là n thì diện tích xung quanh bằng 1
2AB.n.SM, trong đó 1
2AB.n là nửa chu vi đáy và SM là trung đoạn.
Định lí 2.10. Diện tích xung quanh của một hình chóp cụt đều bằng tích của trung đoạn với nửa tổng chu vi các đáy.
Chứng minh. Xét hình chóp cụt đềuabcde.ABCDE như hình vẽ Định lí 2.9. Diện
tích xung quanh của hình chóp cụt đều abcde.ABCDE bằng tổng diện tích của
các hình thang cân bằng nhau. Diện tích của mỗi hình thang cân đó, chẳng hạn hình AabB bằng 1
2.(AB+ab).M m. Nếu có n hình thang cân thì diện tích xung quanh của hình chóp cụt đều bằng AB+ab
2 .M m.n=M m.
AB.n+ab.n
2 , trong đó AB.n và ab.n là các chu vi của các đáy.
Hai hình phẳng được gọi là tương đương nếu có một đường thẳng sao cho mọi đường thẳng song song với đường thẳng này và cắt hai hình theo hai giao tuyến có độ dài bằng nhau.
Hai khối trong không gian được gọi là tương đương nhau nếu có một mặt phẳng sao cho bất kỳ mặt phẳng nào song song với mặt phằng trên và cắt chúng theo hai hình phẳng tương đương.
Như vậy, hai hình phẳng (tương ứng khối) tương đương với nhau thì có diện tích (tương ứng thể tích) bằng nhau. Tuy nhiên điều ngược lại không đúng. Kết quả dưới đây cho ta một điều kiện đủ để hai khối tương đương.
Mệnh đề 2.11. Các hình chóp tam giác với các đường cao bằng nhau và các đáy tương đương thì tương đương.
Chứng minh. Đặt các hình chóp đứng trên cùng một mặt phẳng, chia đường
cao của chúng thành n phần bằng nhau với n là một số bất kì và qua các điểm
chia này dựng các mặt phẳng song song với các đáy. Vì các đáy ABC và A0B0C0 tương đương nên các tam giác tạo bởi các thiết diện của một trong các hình chóp tương đương với các tam giác tương ứng tạo bởi các thiết diện với hình chóp khác. Bây giờ, ở bên trong của mỗi hình chóp, ta dựng một chuỗi các hình lăng trụ sao cho các thiết diện tam giác là các đáy trên của chúng, các cạnh bên song song với cạnh SA trong một trong các hình chóp, và song song với cạnh
S0A0 trong hình chóp khác, đường cao của mỗi lăng trụ bằng 1
n đường cao của hình chóp. Ta sẽ có n−1lăng trụ như thế trong mỗi hình chóp. Kí hiệu thể tích của các lăng trụ trong hình chóp S.ABC là p1, p2, ..., pn−1 theo thứ tự từ đỉnh đến đáy, và thể tích của các lăng trụ trong hình chóp S0.A0B0C0 là p01, p02, ..., p0n−1 cũng theo thứ tự như vậy. Khi đó ta có p1 =p01, p2 = p20, ..., pn−1 =p0n−1, vì mỗi cặp lăng trụ tương ứng có các đáy tương đương và các đường cao bằng nhau. Do vậy p1+p2+...+pn−1 =p01+p02+...+p0n−1.
Bây giờ giả sử n, tức là số các phần bằng nhau mà ta chia đường cao tăng
đến vô cùng. Khi đó, cả hai vế của đẳng thức sau cùng thay đổi nhưng vẫn bằng nhau. Ta chứng minh rằng mỗi vế tiến đến giới hạn bằng thể tích của hình chóp mà các lăng trụ nằm trong, tức là vế trái tiến đến thể tíchVcủa hình chóp
S.ABC và vế phải tiến đến thể tích V0 của hình chóp S0.A0B0C0. Từ đó suy ra đẳng thức V =V0.
Để chứng minh vế trái tiến đến V khi n tiến đến vô cùng, ta xây dựng trong
hình chópS.ABC một chuỗi các lăng trụ khác (nằm ở phía ngoài hình chóp) sao
bằng SA và các đường cao bằng 1
n đường cao của hình chóp ban đầu. Ta sẽ có n lăng trụ như vậy. Kí hiệu thể tích của chúng theo thứ tự từ đỉnh đến đáy là
q1, q2, ..., qn. Khi đó ta có q1=p1, q2 =p2, ..., qn−1 =pn−1. Do đó (q1+q2+...+qn−1+qn)−(p1+p2+...+pn−1) =qn.
Vì n lăng trụ phủ hoàn toàn hình chóp S.ABC nên ta có p1+p2+...+pn−1< V < q1+q2+...+qn, và vì vậy 0< V −(p1+p2+...+pn−1)< qn.
Khi n tiến đến vô cùng, thể tích qn của lăng trụ ở đáy tiến đến 0 (vì chiều cao của nó tiến đến 0 trong khi đáy ABC giữ nguyên không đổi). Do vậy, hiệu
V −(p1+p2+...+pn−1) vẫn dương và tiến đến 0. Theo định nghĩa của giới hạn, điều này có nghĩa là tổng (p1+p2+...+pn−1) tiến đến V.
Rõ ràng ta có thể áp dụng lí luận tương tự cho hình chóp tam giác bất kì, chẳng hạn S0.A0B0C0, và ta rút ra tổng p01+p02+...+p0n−1 tiến đến thể tích V0 của hình chóp S0.A0B0C0. Như ta đã đề cập trước, điều này có nghĩa là V =V0, tức là hai hình chóp tương đương.
Định lí 2.12. Thể tích của một hình chóp bất kì bằng một phần ba tích của diện tích đáy và chiều cao của nó.
Chứng minh. Trước tiên ta chứng minh định lí này cho hình chóp tam giác, sau
đó cho hình chóp đa giác.
(i) Xét hình chóp tam giác S.ABC. Trên đáy của hình chóp tam giác S.ABC,
dựng một hình lăng trụ ABC.SDE sao cho đường cao của nó bằng đường cao
của hình chóp và một trong các cạnh bên trùng với cạnh AS. Ta sẽ chứng minh
rằng thể tích của hình chóp bằng một phần ba thể tích của hình lăng trụ. Ta xét hình chóp tứ giác S.BCED với đỉnh là S và đáy là BCED. Khi đó mặt
phẳng đi qua đỉnh S và đường chéo DC của đáy chia hình chóp này thành hai
chung đỉnh và các đáyBCD, CDE bằng nhau cùng nằm trên một mặt phẳng, do
đó theo Mệnh đề 2.11 thì chúng tương đương với nhau. So sánh hai hình chóp có chung đỉnh C là C.SBD và C.SAB, ta thấy chúng có các đáy SAB, SBD
bằng nhau và cùng nằm trên một mặt phẳng, do đó theo Mệnh đề 2.11 hai hình chóp này tương đương. Vì vậy, lăng trụ ABC.SDE bị chia thành ba hình chóp
tương đươngS.ABC, S.BCD, S.CDE. Nếu ta kí hiệu thể tích của hình chóp tam
giác S.ABCđã cho là V, diện tích đáy ABC là a và chiều cao là h thì ta được
V = VABC.SDE 3 =
a.h
3 .
(ii) Xét hình chóp đa giác bất kì S.A1A2...An. Qua một đỉnh Ai i= 1, n bất