3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CĂN NGUYÊN THỦY
3.2 Điều kiện để một số là thặng dư bậc k
Trong mục này chúng tôi trình bày một ứng dụng của căn nguyên thủy và chỉ số vào việc tìm điều kiện để một số là thặng dư bậc k theo một môđun cho trước, từ đó áp dụng vào việc nghiên cứu các phương trình đồng dư bậc cao. Các kết quả trong mục này được tham khảo từ các tài liệu [1], [2], [4].
Mệnh đề 3.2.1. Cho m là một số nguyên dương, g là một căn nguyên thủy theo môđun m và a là một số nguyên, (a, m) = 1. Ký hiệu d = (k, ϕ(m)). Khi đó a là một thặng dư bậc k theo môđun m khi và chỉ khi d|indg(a).
Chứng minh. Giả sửa là một thặng dư bậck theo môđunm. Khi đó tồn tại một số nguyên x sao cho xk ≡a (mod m). Từ đó suy ra
aϕ(dm) ≡xϕ(md)k ≡1 (mod m).
Đặt r= indg(a). Khi đó ta có
1≡aϕ(dm) ≡gϕ(md)r (mod m).
Vì g có cấp ϕ(m) theo môđun m cho nên từ đó suy ra ϕ(m) | ϕ(md)r, hay
d|r= indg(a).
Đảo lại, giả sử d|indg(a), hay indg(a) =td với t nguyên. Vì d = (k, ϕ(m)) cho nên d=uk+vϕ(m) với u, v là các số nguyên. Khi đó ta có
a≡gtd ≡gtuk+tvϕ(m) ≡gtuk gϕ(m)tv≡ gtuk (mod m).
Điều này chứng tỏ rằnga là một thặng dư bậck theo môđun m. Ta có điều phải chứng minh.
Hệ quả 3.2.2. Số thặng dư bậc k theo môđun m là ϕ(m)
d với d= (k, ϕ(m)).
Chứng minh. Theo Mệnh đề 3.2.1, số a là một thặng dư bậc k theo môđun m
khi và chỉ khi tồn tại số nguyên dương t sao cho indg(a) =td. Vì 1≤t = indg(a)
d ≤ ϕ(m)
d
cho nên có ϕ(m)
d thặng dư bậc k theo môđun m. Vậy ta có điều phải chứng minh.
Mệnh đề 3.2.3. Cho m là một số nguyên dương, g là một căn nguyên thủy theo môđun m và số nguyêna với (a, m) = 1. Nếu a là một thặng dư bậck theo môđun
m thì phương trình đồng dư xk ≡a (mod m) có đúng d nghiệm với d = (k, ϕ(m)).
Chứng minh. Vì a là một thặng dư bậc k theo môđun m cho nên tồn tại số
1≤u≤ϕ(m) sao cho x≡gu (mod m). Mặt khác, theo Mệnh đề 3.2.1, tồn tại số nguyên t, 1≤t ≤ ϕ(m)
d để a ≡gtd (mod m). Do đó gku ≡xk ≡a ≡gtd (mod m), từ đó suy ra ku ≡ td (mod ϕ(m)). Theo Định lý 1.1.7, phương trình có đúng
d nghiệm theo môđun ϕ(m). Như vậy phương trình xk ≡ a (mod m) có đúng d
nghiệm.