Bài 1: Chứng minh rằng nếu phép dời hình biến ba điểm O, A, B lần lượt thành O’, A’, B’ thì ta có:
a. ' '. ' 'O A O Buuuuur uuuuur uuuruuur=OA OB.
b. ' 'O Buuuuur=tO Auuuuur' '⇔OB tOAuuur= uuur, với t là một số tuỳ ý. * Sử dụng công thức: AB2 = uuuurAB2
Giải
a. Vì O’A’ = OA.O’B’=OB,A’B’=AB và AB2 = uuuurAB2
nên ta có: A’B’2 = AB2⇒ 2 2
' '
A B = AB
uuuuuur uuuur
⇒ ( ' 'O Buuuuur uuuuur−O A' ')2 =(OB OAuuur uuur− )2
⇒ O Buuuuuur' '2−2 ' '. ' 'O B O Auuuuuruuuuuur uuuur2 =OB2−2OB OA OAuuur uuur. +uuuur2 ⇒ O Buuuuuur' '2−2 ' '. ' 'O A O Buuuuur uuuuur uuuruuur=OA OB.
b. Từ câu a) và định nghĩa ta có:
' ' ' ' ' ' ' ' 0
O Buuuuur=tO Auuuuur⇔O Buuuuur uuuuur r−tO A = ⇔ ( ' 'O Buuuuur uuuuur−tO A' ')2 =0
⇔ 2 2 2
' ' 2 ' '. ' ' ' ' 0
O Buuuuur − tO B O A t O Auuuuur uuuuur+ uuuuuur=
⇔ 2 2 2
2 . 0
OBuuur − tOB OA t OAuuur uuur+ uuuur= ⇔ OB tOAuuur− uuur r=0
⇔ OB tOAuuur= uuur
Bài 2: Chứng minh rằng phép dời hình biến đường thẳng thành đường thẳng
* Để chứng minh hình H’ là ảnh của hình H qua phép biến hình F ta chứng minh rằng: M ∈H ⇔ M’ = F(M) ∈H’
M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi tồn tại t ∈, sao cho AM t ABuuuur= uuur
Giải:
Cho đường thẳng d và phép dời hình F. Lấy A, B phân biệt thuộc đường thẳng d, gọi A’ = F(A), B’ = F(B). Khi đó vì A’B’ = AB nên A’ và B’ phân biệt. Ta sẽ chứng minh rằng F(d) là đường thẳng A’B’.
M ∈ d ⇔ uuuurAM =t ABuuur, -∞ < t < + ∞ ⇔ 'uuuuuurA M'=t A Buuuuur' ', -∞ < t < + ∞ ⇔ M’ thuộc đường thẳng A’B’. Vậy F(d)là đường thẳng A’B’.
Bài 3: Cho hình vuông ABCD. Gọi I là tâm đối xứng của nó và E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD,
DA như hình 4.1. Chứng minh rằng hai hình thang AEID và FBEH bằng nhau.
* Để chứng minh hai hình bằng nhau ta chỉ ra một phép dời hình biến hình này thành hình kia.
Giải:
Phép quay tâm I góc 900 biến FBEH thành EAHG. Phép đối xứng qua đường trung trực của AE biến EAHG thành AEID. Do đó hai hình thanh AEID và FBEH bằng nhau.
Bài 4: Trên một vùng đồng bằng có ba thành phố A, B, C
tạo thành một tam giác nhọn như hình 4.2. Người ta muốn tìm một vị trí I ở trong tam giác ABC để xây dựng một sân bay chung cho cả ba thành phố đó sao cho tổng khoảng cách từ I tới các trung tâm của ba thành phố đó là ngắn nhất.
* Để giải các bài toán tìm điểm sao cho tổng các khoảng cách từ đó đến một số điểm cho trước là ngắn
nhất ta thường dùng các phép dời hình thích hợp để nối các đoạn thăẳg đang xét lại thành một đường gấp khúc. Khi đó tổng các khoảng cách là ngắn nhất khi đường gấp khúc đó thuộc một đường thẳng.
Giải
Bài toán thực tiễn trên được đưa về bài toán hình học sau:
Cho tam giác nhọn ABC. Tìm điểm I nằm trong tam giác đó sao cho IA + IB + IC
Lâấ điểm I nằm trong tam giác ABC. Phép quay tâm B góc 600 biến I thành J và biến A thành A’.
Để ý rằng (BI, BJ) = 600, (BA’, BA) = -600. Ta có:
(BI, BA)=(BI,BJ)+(BJ,BA’)+(BA’,BA)=(BJ, BA’) Do đó tam giác BIA bằng tam giác BIA’ (c-g-c) Từ đó suy ra A’J = AI
Do đó IA + IB + IC = A’J + JI + IC ngắn nhất khi A’, J, I, C thẳng hàng, J ở giữa A’I và I giữa JC.
Khi đó: · 0 120
BIC= ; · · 0 ' 120
AIB BJA= =
Vậy I nhìn các cạnh của tam giác ABC dưới góc 1200.
Để xác định điểm I ta dựng ảnh A’ của A qua phép quay tâm B góc 600.
Trên A’C dựng các điểm I, J sao cho BIJ là tam giác đều và (BI, BJ)=600. Ta sẽ chứng minh I là điểm cần tìm.
Vật vậy, do ·ABC nhọn nên 0 < (BC, BA’) < 1800.Do đó A’ và A cùng phía với nhau đối với đường thẳng BC. Tương tự A’ và B cùng phía với nhau đối với đường thẳng AC. Do đó
Hình 4.1 H D G C F I B E A C I J B A' A Hình 4.2 J C I B A' A Hình 4.3
Hình 4.4 C A B I D E
đường thẳng A’C cắt AB tại điểm nằm trong đoạn thẳng AB. Do CBA· '>600 và ·ABA'= 600 nên I phải nằm trong tam giác ABC. Khi đó dễ thấy A’, J, I, C thẳng hàng, J ở giữa A’I, I ở giựa JC và IA + IB + IC = A’J + JI + IC = A’C nên nó ngắn nhất.
Bài 5: Cho điểm A thuộc đường tròn C đường kính BC như hình 4.4. Dựng về phía ngoài của tam giác ABC tam giác ABD vuông cân ở D. Gọi I là trung điểm của DB, tìm tập hợp các điểm I khi A chạy trên nửa đường tròn C.
* Để có thể dùng phép biến hình giải các bài toán tìm tập hợp điểm ta xem tập hợp điểm đó là ảnh của một hình đã biết qua một phép biến hình xác định.
Giải:
Trên tia BD lấy điểm E sao cho BE = BA. Do (BA, BE) = 450 nên có thể em E là ảnh của A qua phép quay tâm B góc 450. Ta lại có:
2 2 4 4 BA BI BI BE = BA= BA = Do đó: 2 4 BI = BE uur uuur
Vậy I là ảnh của E qua phép vị tự tâm B tỉ số 2
4 . Khi đó I là ảnh của A qua phép đồng dạng F là hợp thành của phép quay tâm B góc 450 và phép vị tự tâm B tỉ số 2
4 . Do đó khi A chạy trên nửa đường tròn C, thì I chạy trên nửa đường tròn C’ là ảnh của C qua phép đồng dạng F.
III. BÀI TẬP:
1. Chứng minh rằng hợp thành của hai phép đối xứng qua hai đường thẳng song song là một phép tịnh tiến.
2. Chứng minh rằng phép dời hình biến một tia thành một tia.
3. Cho hai hình vuông ABCD và A’B’C’D’ có AB = A’B’ như hình 4.5. Tìm một phép dời hình biến hình vuông ABCD thành hình vuông A’B’C’D’.
D' C' C' B' A' D C B A Hình 4.5
4. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Dựng về một phía của đường thẳng AC các tam giác đều ABD và BCE. Dựng hình bình hành DCEF. Chứng minh AEF là tam giác đều.
5. Cho hai hình vuông ABCD và AEFG như hình 4.6. Gọi I, J, L, M lần lượt là trung điểm của BD, DE, EG, GB. Chứng minh rằng tứ giác IJLM là hình vuông.
6. Cho đường tròn C và điểm A nằm ngoài đường tròn. Với mỗi điểm B thuộc C, dựng hình vuông ABCD sao cho nếu đi dọc các cạnh theo chiều ABCD thì luôn thấy
hình vuông ở bên trái như hình vẽ 4.7. Chứng minh rằng B
chạy trên C thì C và D cũng chạy trên những đường tròn cố định.
7. Cho hai điểm phân biệt A, B và đường tròn (O) không
có điểm chung với đường thẳng AB. Chứng minh rằng khi điểm C chạy trên đường tròn (O) trọng tâm tam giác ABC cũng chạy trên một đường tròn cố định.
8. Cho dây cung AB độ dài không đổi có hai đầu mút chạy trên đường tròn tâm O bán kính R và một điểm C cố định trên (O). Chứng minh rằng trọng tâm của tam giác ABC chạy trên một đường tròn cố định. Hình 4.7 B A C D
Hình 5.1 d//(α) d α α d A d α (α) ≡ (β) d β β Hình 5.2 (α) // (β) α≡β α α CHỦ ĐỀ 5:
QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN I. TÓM TẮT VÀ BỔ SUNG KIẾN THỨC I. TÓM TẮT VÀ BỔ SUNG KIẾN THỨC
A. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:
- Đường thẳng cắt mặt phẳng
- Đường thẳng song song với mặt phẳng - Đường thẳng nằm trong mặt phẳng
2. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng:
- Hai mặt phẳng cắt nhau
- Hai mặt phẳng song song với nhau - Hai mặt phẳng trùng nhau.
3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
- Hai đường thẳng chéo nhau (không cùng nằm trong bất kì mặt phẳng) - Hai đường thẳng cắt nhau
- Hai đường thẳng song song nhau - Hai đường thẳng trùng nhau
4. Các xác định một mặt phẳng
Một mặt phẳng được xác định bởi:
- Ba điểm phân biệt không thẳng hàng
- Hai đường thẳng cắt nhau - Hai đường thẳng song song
B. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG
5. Một đường thẳng và một mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung. chung.
6. Nếu d’ nằm trong mặt phẳng (α) và d song song d’ thì d // (α) hoặc d chứa trong (α)
7. Cho d song song với (α). Nếu (β) chứa d và cắt (α) theo giao tuyến d’ thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với d. chúng (nếu có) cũng song song với d.