Trong mục này, đầu tiên chúng tôi trình bày một số khái niệm về các ánh xạ. Sau đó, chúng tôi chứng minh chi tiết một số tính chất của ánh xạ giả-mở, chứng minh chi tiết một số bất biến của các tính chất mạng cũng như một số không gian metric suy rộng qua các ánh xạ giả-mở. Đặc biệt, chúng tôi đã đưa ra và chứng minh Định lí 2.2.6, Định lí 2.2.8, Hệ quả 2.2.9, trong đó Định lí 2.2.8 là kết quả về sự bất biến của không gian Fréchet-Urysohn với wcs∗-mạng điểm-đếm được thông qua s-ánh xạ giả-mở. Các kết quả này được viết trong bài báo đang chỉnh sửa [1].
Định nghĩa 2.2.1 ([3]). Không gian topo (X, τ) được gọi là không gian khả ly nếu trong X tồn tại tập con đếm được trù mật.
Định nghĩa 2.2.2. Giả sử f : (X, τ) → (Y, σ) là một ánh xạ. Khi đó, 1) f được gọi là s-ánh xạ nếu f−1(y) khả ly trong X với mọi y ∈ Y. 2) f được gọi là ánh xạ thương nếu với mọi U ⊂ Y mà f−1(U) ∈ τ, ta
đều có U ∈ σ.
3) f được gọi là giả-mở nếu với mọi y ∈ Y và với mọi lân cận mở U của f−1(y), ta có y ∈ Intf(U).
4) f được gọi là ánh xạ mở (tương ứng, đóng) nếu ảnh của mỗi tập mở (tương ứng, tập đóng) trong X là tập mở trong Y.
Nhận xét 2.2.3. Mỗi ánh xạ giả-mở là một toàn ánh.
Chứng minh. Giả sử y ∈ Y, khi đó vì X là lân cận mở của f−1(y) trong X và f là ánh xạ giả-mở nên
y ∈ Intf(X) ⊂ f(X).
Do đó, tồn tại x ∈ X sao cho y = f(x). Như vậy, f là một toàn ánh. Bổ đề 2.2.4. Mỗi ánh xạ mở là ánh xạ giả-mở.
Chứng minh. Giả sử f : (X, τ) → (Y, σ) là ánh xạ mở, y ∈ Y và U là lân cận mở của f−1(y). Khi đó, f(U) mở trong Y. Mặt khác vì y ∈ f(U) nên ta suy ra rằng
y ∈ f(U) =Intf(U). Như vậy, f là ánh xạ giả-mở.
Định lí 2.2.5. Mỗi ánh xạ đóng là ánh xạ giả-mở.
Chứng minh. Giả sử f : (X, τ) → (Y, σ) là một ánh xạ đóng, y ∈ Y và A là một lân cận mở của f−1(y) trong (X, τ). Bây giờ, ta đặt
C = Y \f(X \A). (2.3) Khi đó, vì A∈ τ nên X \A là tập con đóng trong (X, τ). Mặt khác, vì f là một ánh xạ đóng nên f(X \A) là một tập đóng trong (Y, σ). Như vậy, nhờ cách đặt (2.3) ta suy ra C ∈ σ. Hơn nữa, ta có
Bởi vì f−1(y) ⊂ A nên f−1(y)∩(X \A) =∅, kéo theo
{y} ∩f(X \A) = ∅. Nhờ đó, ta thu được y ∈ Y \f(X \A) =C. Bởi vì X \A ⊂f−1hf(X \A)i nên ta có f−1(C) =f−1hY \f(X \A)i = X \f−1hf(X \A)i ⊂ X \(X \A) = A.
Như vậy, tồn tại lân cận mở C của y sao cho f−1(C) ⊂ A.
Định lí 2.2.6 ([1]). Giả sử f : (X, τ) → (Y, σ) là ánh xạ giả-mở và liên tục. Khi đó, nếu X là không gian Fréchet-Urysohn, thì Y cũng là không gian Fréchet-Urysohn.
Chứng minh. Giả sử A ⊂ Y và y ∈ A. Khi đó,
♣ Tồn tại x ∈ f−1(y)∩f−1(A). Thật vậy, giả sử ngược lại rằng
f−1(y)∩f−1(A) = ∅. (2.4) Khi đó, f−1(y) ⊂ X \ f−1(A). Như vậy, X \ f−1(A) là lân cận mở của f−1(y). Bởi vì f là ánh xạ giả-mở nên fhX \ f−1(A)i là lân cận của y trong Y. Bởi vì y ∈ A nên
fhX \f−1(A)i∩A 6= ∅. (2.5) Hơn nữa, vì f−1(A) ⊂ f−1(A) nên
h X \f−1(A)i∩f−1(A) ⊂ hX \f−1(A)i∩f−1(A) =∅, kéo theo h X \f−1(A)i∩ f−1(A) = ∅. Suy ra f h X \f−1(A) i ∩A = ∅. (2.6) Nhờ các khẳng định (2.5) và (2.6) ta suy ra rằng tồn tại x ∈ f−1(y)∩f−1(A).
♣ Bởi vì x ∈ f−1(A) và X là không gian Fréchet-Urysohn nên tồn tại dãy {xn} ⊂ f−1(A) sao cho xn →x. Mặt khác, vì f là ánh xạ liên tục nên
f(xn) →f(x) = y.
Hơn nữa, bởi vì {f(xn)} ⊂ A nên ta suy ra rằng Y là một không gian Fréchet-Urysohn.
Định lí 2.2.7 ([4]). Giả sử f : (X, τ) → (Y, σ) là một ánh xạ liên tục. Khi đó,
2) Nếu f là ánh xạ thương liên tục, X là không gian dãy và Y là không gian Fréchet-Urysohn, thì f là ánh xạ giả-mở.
Chứng minh. (1) Giả sử f−1(U) ∈ τ và y ∈ U. Khi đó, f−1(y) ⊂ f−1(U),
kéo theo f−1(U) là lân cận mở của f−1(y). Bởi vì f là ánh xạ giả-mở nên y ∈ Intf f−1(U) ⊂ U.
Như vậy, U ∈ σ, và f là ánh xạ thương.
(2) Giả sử y ∈ Y là U là lân cận mở của f−1(y). Ta chứng minh rằng y ∈ Intf(U). Thật vậy, giả sử rằng y /∈ Intf(U). Khi đó, vì
Intf(U) =Y \Y \f(U)
nên ta suy ray ∈ Y \f(U). Mặt khác, vìY là không gian Fréchet-Urysohn nên tồn tại dãy {yn} ⊂ Y \f(U) sao cho yn →y. Hơn nữa, vì tập hợp
A= {yn : n ∈ N}
không đóng trong Y và f là ánh xạ thương nên f−1(A) không đóng trong X. Bởi vì X là không gian dãy nên ta suy ra tồn tại dãy {xk} ⊂ A sao cho xk →x /∈ A.
◦ Gọi k1 = 1, tồn tại yn1 sao cho x1 ∈ f−1(yn1).
◦ Tồn tại k2, n2 ∈ N sao cho k2 > k1, n2 > n1 và xk2 ∈/ S j≤n1 f−1(ynj). Thật vậy, giả sử rằng xk ∈ S j≤n1 f−1(ynj) với mọi k > k1.
Khi đó, vì {xk} là dãy vô hạn nên tồn tại n0 ≤ n1 và dãy con {xkj} của
{xk} sao cho {xkj} ⊂ f−1(yn0). Mặt khác, vì f−1(yn0) đóng trong X nên x ∈ f−1(yn0) ⊂f−1(A),
đây là một mâu thuẫn. Như vậy, tồn tại k2 ∈ N sao cho xk2 ∈/ S
j≤n1
f−1(ynj).
Do đó, tồn tại n2 ∈ N sao cho n2 > n1 và xk2 ∈ f−1(yn2).
◦ Bằng quy nạp, ta tìm được dãy con {xkj} của {xk} và dãy con {ynj}
của {yn} sao cho xkj ∈ f−1(ynj) với mọi j ∈ N.
Bởi vì {f(xkj)} là dãy con của {ynj} nên f(xkj) →y. Hơn nữa, vì f là ánh xạ liên tục nên f(xkj) → f(x). Nhờ tính chất Hausdorff của Y ta suy ra y = f(x), kéo theo x ∈ f−1(y). Bởi vì U là lân cận mở của x nên tồn tại j0 ∈ N sao cho
{x} ∪ {xkj : j ≥ j0} ⊂ U.
Suy ra rằng {ynj : j ≥ j0} ⊂ f(U), kéo theo {ynj} ⊂ Y \f(U). Điều này mâu thuẫn với {yn} ⊂ Y \f(U).
Định lí 2.2.8 ([1]). Giả sử f : X → Y là s-ánh xạ giả-mở liên tục. Khi đó, nếu X là không gian Fréchet-Urysohn có wcs∗-mạng điểm-đếm được, thì Y cũng là Fréchet-Urysohn có wcs∗-mạng điểm-đếm được.
Chứng minh. Giả sử P là wcs∗-mạng điểm-đếm được của không gian Fréchet-Urysohn X. Khi đó,
♣ Theo Định lí 2.2.6 ta suy ra Y là không gian Fréchet-Urysohn.
♣ Ta chứng minh rằng f(P) là wcs∗-mạng điểm-đếm được của Y. Thật vậy, bởi vì f là s-ánh xạ nên với mỗi y ∈ Y, tồn tại tập con đếm được Dy sao cho Dy = f−1(y). Ta đặt
D = S
{Dy : y ∈ Y},
G = {f(P ∩D) : P ∈ P}. Khi đó,
• D = X. Thật vậy, giả sử x ∈ X, khi đó tồn tại y ∈ Y sao cho x ∈ f−1(y). Suy ra
x ∈ f−1(y) =Dy ⊂ D,
kéo theo X ⊂ D. Bởi vì D ⊂ X nên ta suy ra rằng X = D.
• G là điểm-đếm được. Thật vậy, giả sử y ∈ Y, khi đó y ∈ f(P ∩ D) khi và chỉ khi tồn tại x∈ P ∩D sao cho y = f(x), khi và chỉ khi
P ∩Dy = f−1(y)∩(P ∩D) 6= ∅. Như vậy, ta có
{G∈ G :y ∈ G} = {f(P ∩D) : P ∈ P, y ∈ f(P ∩D)}
= {f(P ∩D) : P ∈ P, P ∩Dy 6= ∅}. (2.7) Bởi vì P là điểm-đếm được và Dy là tập đếm được nên nhờ (2.7) ta suy ra {G∈ G :y ∈ G} là tập đếm được. Do đó, G là điểm-đếm được.
• G là wcs∗-mạng của Y.
Thật vậy, giả sử {yn} là dãy hội tụ đến y ∈ U ∈ τ. Ta có thể giả thiết rằng các phần tử của dãy {yn} là phân biệt. Đặt
A = {yn : n ∈ N} \ {y}.
Khi đó, A không là tập đóng trong Y. Bởi vì f là ánh xạ thương nên f−1(A) không là tập đóng trong X. Do đó, tồn tại
x ∈ f−1(A)\f−1(A). (2.8) Hơn nữa, ta có
Thật vậy, rõ ràng rằng
f−1(A)∩D ⊂ f−1(A).
Bây giờ, giả sử rằng x ∈ f−1(A) và W là lân cận mở của x. Khi đó, W ∩ f−1(A) 6= ∅. Suy ra tồn tại z ∈ A sao cho
z ∈ W ∩f−1(z).
Bởi vì f−1(z) = Dz và X là không gian Fréchet-Urysohn nên tồn tại dãy
{zk} ⊂ Dz sao cho zk → z. Mặt khác, vì W mở và z ∈ W nên W là lân cận của z, do đó tồn tại k0 ∈ N sao cho zk0 ∈ W ∩Dz. Hơn nữa, vì
Dz ⊂ f−1(z) ⊂f−1(A) và Dz ⊂ D nên ta suy ra rằng zk0 ∈ W ∩Dz ⊂ W ∩f−1(A)∩D. Suy ra W ∩f−1(A)∩D 6= ∅, do đó x ∈ f−1(A)∩D. Nhờ (2.8) và (2.9) ta suy ra x ∈ f−1(A)∩D \f−1(A).
Bởi vìX là không gian Fréchet-Urysohn nên tồn tại dãy{xn} ⊂ f−1(A)∩D sao cho xn →x.
◦ Với k1 = 1, tồn tại ynk
1 ∈ A sao cho x1 ∈ f−1(yn1)∩D.
◦ Tồn tại k2, nk2 ∈ N sao cho k2 > k1, nk2 > nk1 và xk2 ∈/ S j≤nk1 f−1(ynkj). Thật vậy, giả sử rằng xk ∈ S j≤nk1 f−1(ynkj) với mọi k > k1.
Khi đó, vì {xk} là dãy vô hạn nên tồn tại n0 ≤ nk1 và dãy con {xkj} của
{xk} sao cho {xkj} ⊂ f−1(yn0). Mặt khác, vì f−1(yn0) đóng trong X nên x ∈ f−1(yn0) ⊂f−1(A),
đây là một mâu thuẫn. Như vậy, tồn tại k2 ∈ N sao cho xk2 ∈/ S
j≤nk1
f−1(ynkj).
Do đó, tồn tại nk2 ∈ N sao cho nk2 > nk1 và xk2 ∈ f−1(yk2).
◦ Bằng quy nạp, ta tìm được dãy con {xkj} của {xk} và dãy con {ynj}
của {yn} sao cho xkj ∈ f−1(ynkj) với mọi j ∈ N.
Bởi vì P là wcs∗-mạng nên tồn tại P ∈ P và dãy con {xk
jl} sao cho
{xkjl : l ∈ N} ⊂ P ⊂ f−1(U). Điều này suy ra rằng
{yn
kjl : l ∈ N} ⊂ f(P) ⊂ f−1(U). Do đó, G là wcs∗-mạng của Y.
Như vậy, Y là một không gian Fréchet-Urysohn với wcs∗-mạng điểm- đếm được.
Hệ quả 2.2.9 ([1]). s-ánh xạ đóng hoặc s-ánh xạ mở bảo tồn không gian Fréchet-Urysohn với wcs∗-mạng điểm-đếm được.
Chứng minh. Suy trực tiếp từ Bổ đề 2.2.4, Định lí 2.2.5 và Định lí 2.2.8. Định lí 2.2.10 ([5]). Giả sử f : (X, τ) → (Y, σ) là ánh xạ giả-mở. Khi đó, nếu P là sp-mạng của X, thì f(P) là sp-mạng của Y.
Chứng minh. Giả sử A ⊂ Y, U ∈ σ và y ∈ U ∩A. Khi đó, tồn tại x ∈ f−1(y)∩f−1(A)
Thật vậy, giả sử ngược lại rằng f−1(y)∩f−1(A) = ∅. Khi đó, f−1(y) ⊂ X \f−1(A)
Bởi vì X \f−1(A) ∈ τ và f là ánh xạ giả-mở nên
y ∈ Int(f(X \f−1(A))) ⊂ f(X \f−1(A)) = Y \f(f−1(A)) = Y \A.
Điều này mâu thuẫn vớix ∈ U∩A. Như vậy, tồn tạix ∈ f−1(y)∩f−1(A). Giả sử V là lân cận của x sao cho f(V) ⊂ U. Bởi vì P là sp-mạng của X nên tồn tại P ∈ P sao cho
x ∈ P ⊂V và x ∈ P ∩f−1(A). Do đó, y = f(x) ∈ f(P) ⊂ U và
y ∈ f(P ∩f−1(A)) ⊂ f(P)∩ f(f−1(A)) = f(P)∩A. Như vậy, f(P) là sp-mạng của Y.
Định lí 2.2.11 ([5]). Giả sử f : (X, τ) → (Y, σ) là ánh xạ đếm được giả-mở. Khi đó, nếu P là sp-mạng điểm-đếm được của X, thì f(P) là
sp-mạng điểm-đếm được của Y.
Chứng minh. Theo định lí 2.2.10 ta có {f(P) : P ∈ P} là một sp-mạng của Y. Bởi vì f là ánh xạ đếm được giả-mở nên {f(P) : P ∈ P} là sp-mạng điểm-đếm được của Y.
Định lí 2.2.12 ([5]). Giả sử f : (X, τ) → (Y, σ) là ánh xạ giả-mở. Khi đó, nếu P là cn-mạng của X, thì f(P) là cn-mạng của Y.
Chứng minh. Giả sử f là ánh xạ giả-mở, P là cn-mạng của X và U là lân cận của y trong Y. Khi đó,f−1(y) ⊂ f−1(U). Bởi vìf liên tục nên f−1(U) là lân cận của f−1(y). Bởi vì P là cn-mạng của X nên
Wx = S
{P ∈ P : x ∈ P ⊂ f−1(U)}
là một lân cận của x trong X với mọi x ∈ f−1(y). Suy ra tập hợp
S
{Wx :x ∈ f−1(y)}
là lân cận của f−1(y) trong X. Bởi vì f là ánh xạ giả-mở nên f(S
{Wx : x ∈ f−1(y)}) là một lân cận của y trong Y. Mặt khác, vì
f(S
{Wx :x ∈ f−1(y)}) = S
{f(P) : y ∈ f(P) ⊂ U}
nên ta suy ra f(P) là cn-mạng của Y.
Hệ quả 2.2.13. Các ánh xạ đóng và ánh xạ giả-mở đều bảo tồn sp-mạng và cn-mạng.
KẾT LUẬN
Qua quá trình nghiên cứu, đề tài đã thu được những kết quả như sau.
1. Hệ thống lại một số kết quả của topo đại cương.
2. Trình bày một số tính chất mạng và chứng minh chi tiết một số mối quan hệ của chúng trên không gian metric suy rộng.
3. Chứng minh một số bất biến của các tính chất mạng cũng như bất biến một số không gian metric suy rộng qua ánh xạ giả-mở.
4. Đưa ra và chứng minh Định lí 2.2.6, Định lí 2.2.8, Hệ quả 2.2.9, trong đó Định lí 2.2.8 là kết quả về sự bất biến của không gian Fréchet- Urysohn với wcs∗-mạng điểm-đếm được thông qua s-ánh xạ giả-mở. Các kết quả này được trình bày trong bài báo đang chỉnh sửa [1].
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
[1] Lương Quốc Tuyển, Phạm Thị Ái Lài (2020),Một số bất biến qua ánh xạ giả-mở, Đang chỉnh sửa.
Tiếng Anh
[2] A. V. Arhangel’skii (1963), Some types of factor mappings and the re- lations between classes of topological spaces, Dokl. Akad. Nauk SSSR. 153, 743–746.
[3] R. Engelking (1989), General Topology, Heldermann Verlag, Berlin. [4] X. Liu, S. Lin (2018), On spaces defined by Pytkeev networks, Filomat
32, 6115-6129.
[5] X. Liu, C. Liu, S. Lin (2019), Strict Pytkeev networks with sensors and their applications in topological groups, Topology and its Applications 258, 58–78.
[6] S. Lin, X. Liu (2020),Notes on pseudo-open mappings and sequentially quotient mappings, Topology and its Applications 272, 107090.
[7] S. Lin, Z. Yun (2016), Generalized Metric Spaces and Mappings At- lantis Press.