Trước khi dạy bài “ Giới hạn của dãy số” trong chương trình Đại số và giải tích 11, tôi có hoạt động khởi động như sau:
Hoạt động 1: Giới thiệu tổng quan về cấp số nhân lùi vô hạn
HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH
-GV giới thiệu với học sinh một nghịch lý nổi tiếng của Zénon d’Elée ( 496 - 429 trước CN) - nghịch lý Zenon:
Một ngày nọ, thần Achille (một lực sĩ trong thần thoại Hy Lạp) chạy thi với một con rùa. Achille nhường rùa một đoạn, cả hai suất phát cùng một lúc, theo cùng một hướng và nhiệm vụ của thần Achille là phải đuổi kịp con rùa.
Qua trình chạy đua được mô tả cụ thể như trong hình sau
- Quan sát bài toán thông qua những hình ảnh giáo viên đưa ra, suy nghĩ để đưa ra hướng giải quyết.
Khi thần Achille đuổi đến vị trí cũ của rùa thì dù chậm nhưng cũng đã bò đến một vị trí khác. Cứ tiếp tục như như thế thì Achille, một vị thần về tốc độ lại không đuổi kịp một con rùa. Điều này là vô lý theo lẽ trên, vậy điều gì đang diễn ra? Chúng ta cùng nhau tìm hiểu vào bài học mới.
Hoạt động 2: Khám phá cách tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Cách 1:Quy trình dạy xuôi( cách dạy trực tiếp)
Bài toán:Hãy tính tổng dãy vô hạn sau: ... 4 1 4 1 4 1 n S 2 3
HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN
HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH
- Cho 3 hình vuông (3 màu khác nhau) có khích thước giống nhau như sau:
- Học sinh quan sát, lắng nghe đề bài mà giáo viên đưa ra, suy nghĩ để tìm ra hướng giải quyết.
Câu hỏi 1: Với mỗi hình vuông trên, hãy cắt một số hình vuông có kích thước so với hình vuông ban đầu là:
1 4 ,1 4 ,... ,
4
1 2 3
Câu hỏi 2: Hãy sắp xếp các hình vuông vừa cắt vào hình vuông ban đầu (hình vuông trước khi cắt)?
Đáp án 1: Học sinh suy nghĩ và tiến hành cắt các hình vuông.
- Học sinh có nhiệm vụ phải sắp xếp các hình vuông đó lắp đầy vào hình vuông lớn nhất để tìm ra quy luật.
- Sau khi học sinh sắp xếp đúng theo quy luật thì ta sẽ được hình như sau:
- Giáo viên hướng dẫn học sinh khám phá, trải nghiệm, dựa vào những kiến thức kinh nghiệm đã có để đưa ra phán đoán, giả thuyết của mình thông qua một số câu hỏi:
Câu hỏi 3: Sau khi sắp xếp xong các ô vuông thì các em thấy được điều gì?
Câu hỏi 4: Hãy nêu quy trình để sắp xếp các ô vuông trên?
Câu hỏi 5: Hình vuông màu xám lớn nhất có diện tích như thế nào với diện tích hình vuông ban đầu?
Câu hỏi 6: Hình vuông màu xám lớn tiếp theo có diện tích như thế nào với diện tích hình vuông ban đầu?
- Tương tự như vậy đối với các hình vuông màu cam và màu xanh.
Câu hỏi 7: Nhìn tổng thể
Đáp án 3: Các ô vuông gần lấp kín ô vuông ban đầu.
Đáp án 4:
1. Sắp xếp lần lượt các ô vuông theo thứ tự từ lớn đến nhỏ.
2. Các hình có kích cỡ lớn được sắp xếp xong rồi mới đến hình nhỏ, và cứ tiếp tục đến khi hoàn thành.
3. Vị trí các màu không thay đổi.
Đáp án 5: Diện tích hình vuông xám lớn nhất bằng 1 4diện tích hình vuông ban đầu.
Đáp án 6: Diện tích của hình vuông màu xám lớn thứ hai bằng 1/4 của 1/4 diện tích hình vuông ban đầu.
Hay bằng 14 2 116 diện tích hình vuông ban đầu.
cho biết tổng phần diện tích màu xám như thế nào với tổng diện tích của hình vuông ban đầu?
Vậy từ đây ta có được tổng dãy vô hạn
3 1 Sn
3
1 tổng diện tích của hình vuông ban đầu.
Nhận xét: Hoạt động 2 được thiết kế tình huống dạy học theo mô hình dạy học kiến tạo, những câu hỏi được hình thành theo quy trình các bước dạy học như sau:
- Câu hỏi 1: Học sinh sẽ liên hệ và tái hiện lại kiến thức cũ để cắt các mảnh ô vuông, sao cho chúng phù hợp với yêu cầu của câu hỏi.
- Câu hỏi 2: Học sinh phải phán đoán, làm sao có thể sắp xếp các ô vuông vừa tìm được vào ô vuông ban đầu.
- Câu hỏi 3: Học sinh phải kiểm nghiệm lại kết quả vừa tìm được bằng cách: kết quả đó có tìm ra được quy luật gì không, có ra được đáp án nào không, hay nó có phù hợp với kết quả của giáo viên đưa ra.
Khi kết quả kiểm nghiệm bị sai, học sinh cần phải quay lại câu hỏi số 2 để thực hiện lại việc phán đoán, giả thuyết.
- Câu hỏi 5 và 6: Sau khi đã kiểm nghiệm thành công, học sinh sẽ thích nghi dần kiến thức vừa tìm được.
- Câu hỏi 7: Từ đó hình thành kiến thức mới.
Cách 2:Quy trình giảng dạy ngược (cách dạy gián tiếp)
Bài toán (Bài 4,Tr 122, [11]: Để trang hoàn cho căn hộ của mình, chú chuột Mickey quyết định tô màu một miếng bìa hình vuông cạnh bằng 1. Nó tô màu xám các hình vuông nhỏ được đánh số lần lượt là 1;2;3;...;n;..., trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nữa cạnh hình vuông trước đó.
Câu hỏi:Giả sử quy trình tô màu của Mickey có thể diễn ra vô hạn. Hãy tính phần diện tích tô màu.
HÌNH 3.1
HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH
- Giáo viên hướng dẫn học sinh khám phá, trải nghiệm, dựa vào những kiến thức kinh nghiệm đã có để đưa ra phán đoán, giả thuyết của mình thông qua một số câu hỏi:
Câu hỏi 1: Em có nhận xét gì về diện tích của hình vuông màu xám được đánh số 1 so với diện tích hình vuông lớn nhất?
Câu hỏi 2: Nhận xét diện tích của hình vuông màu xám số 2 so với diện tích hình vuông màu xám số 1? Với diện tích hình vuông lớn nhất?
- Tương tự như vậy với các hình vuông màu xám còn lại.
Câu hỏi 3: Từ những dữ kiện vừa tìm được hãy dự đoán tổng diện tích hình
- Quan sát hình vẽ, dựa vào những kiến thức, kinh nghiệm đã có để đưa ra phán đoán, giả thuyết của mình.
Đáp án 1: Diện tích hình vuông màu xám số 1 bằng 14diện tích hình vuông lớn nhất.
Đáp án 2: Diện tích hình vuông màu xám số 2 bằng 14diện tích hình vuông màu xám số 1 và bằng1 4 của1 4 ( hay
14 2 16 1 diện tích hình vuông lớn nhất. Đáp án 3: Phần tổng diện tích hình vuông màu xám cần tìm là:
vuông màu xám mà chúng ta cần tìm?
Câu hỏi 4: Tổng dãy số vừa tìm được các em nhớ đến kiến thức gì đã từng học?
- Tới đây ta có thể sử dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. Tuy nhiên để hiểu rõ hơn và nhớ lâu hơn, chúng ta cùng nhau tìm hiểu tiếp về hình 3.1.
Câu hỏi 5: Với những chỗ trống còn lại chưa tô màu trên hình 3.1, có bao nhiêu hình vuông có diện tích bằng diện tích hình vuông màu xám được đánh số 1? Hãy tô màu hình vuông đó bằng các màu khác nhau?
- Tương tự như vậy, hướng dẫn học sinh tìm được các hình vuông có diện tích bằng diện tích hình vuông màu xám số 2, số 3,… như hình sau: ... 4 1 41 4 1 Sn 2 3
Đáp án 4:Cấp số nhân lùi vô hạn.
Đáp án 5: Có 2 hình vuông có diện tích bằng diện tích hình vuông màu xám được đánh số 1.
Câu hỏi 6: Các em có nhận xét gì về hình vuông mà chúng ta vừa tìm được?
Câu hỏi 7: Vậy diện tích mà Mickey đã tô màu là bao nhiêu?
Đáp án 6: Hình vuông lớn nhất được chia thành 3 phần có diện tích bằng nhau.
Đáp án 7:Phần diện tích cần tìm bằng .
3 1
Nhận xét:Đối với cách 1 ta trực tiếp giảng dạy vào trọng tâm bài toán, nhưng với mong muốn học sinh có thể tiếp cận với thực tế tốt nhất nên cách 2 được thiết kế. Tuy hướng đi khác cách 1 nhưng nó vẫn sẽ sử dụng mô hình dạy học kiến tạo như sau:
- Câu hỏi 1 và 2: Học sinh sẽ vận dụng kiến thức và kinh nghiệm đã có, quan sát hình ảnh trực quan để tìm ra câu trả lời.
- Câu hỏi 3 và 5: Học sinh tập chung suy nghĩ, phán đoán làm sao có thể dự đoán tổng diện tích cần tìm hay có thể nhìn ra được các diện tích tương tự.
- Câu hỏi 4: Sau khi phán đoán, học sinh phải kiểm nghiệm nó có phải kiến thức mình cần tìm không.
Nếu kết quả không trùng khớp với giáo viên, học sinh phải quay lại bước phán đoán để tìm ra kết quả chính xác.
- Câu hỏi 6: Học sinh tiếp tục thích nghi kiến thức đã tìm ra đáp án. - Câu hỏi 7: Hình thành kiến thức mới.
Từ kết quả vừa tìm được ở hai cách làm trên, học sinh có thể giải thích được nghịch lý Zenon đã được đưa ra lúc đầu.
3.2. Tình huống dạy học theo phương pháp biểu diễn các số bằng độ dài đoạn thẳng:
Với những bài toán phải chứng minh theo ẩn a,b,c,x,y,z,... hầu hết học sinh rất mơ hồ, không biết phải chứng minh thế nào, hay không hiểu rõ về những biểu thức ấy. Thí dụ “Định lý Pythagore” trong chương trình Toán 7 - tập 1; các bạn học sinh thường sẽ học thuộc công thức và áp dụng vào bài toán chứ ít khi hiểu sâu về nó. Thì thông qua đây, tôi sẽ thiết kế một tình huống dạy học chứng minh bất đẳng thức Pythagore trong đó có giải thích về định lý Pythagore mà các bạn đã được học.
Bài toán:Chứng minh bất đẳng thức Pythagore a2b2 ab 2 a2b2
HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC
SINH
- Giáo viên hướng dẫn học sinh khám phá, trải nghiệm, dựa vào những kiến thức kinh nghiệm đã có để đưa ra phán đoán của mình.
Giả sử giáo viên cho một hình vuông có độ dài các cạnh là ab.
Câu hỏi 1:Trên hình vuông đó, hãy tìm một tam giác vuông có các cạnh góc vuông lần lượt là a và
b?
- Quan sát bài toán và nắm được các kiến thức hình đã được học.
Đáp án 1: Trên hai cạnh kề nhau của hình vuông, ta vẽ đoạn thẳng có độ dài bằng a
trên cạnh thứ nhất và đoạn thẳng có độ dài bằng b trên cạnh thứ hai. Ta được một tam
- Gọi c là cạnh huyền của tam giác vuông.
Câu hỏi 2: Hãy cho biết, độ dài cạnh huyền c
bằng bao nhiêu (tính theo a và b)?
Câu hỏi 3: Sử dụng kiến thức đã học, hãy so sánh cạnh huyền c với tổng hai cạnh còn lại trong tam giác vuông?
Từ đây, suy ra: a2 b2 ab.
Bất đẳng thức đầu được chứng minh.
Câu hỏi 4:Trong hình vuông ab trên, có bao
giác vuông như hình sau:
Đáp án 2: Theo định lý Pythagore, độ dài cạnh huyền
c bằng: c a2 b2 .
Đáp án 3: Theo bất đẳng thức trong tam giác, ta có:
b a c .
Đáp án 4: Trên hình vuông
b
là a và b? Sau khi tìm được các tam giác vuông ta được hình mới là hình gì? Độ dài là bao nhiêu?
Câu hỏi 5: Độ dài đường chéo của hình vuông cạnh c là bao nhiêu?
Câu hỏi 6: Hãy so sánh độ dài đường chéo hình vuông cạnh c với độ dài ab?
Sau khi nối các cạnh huyền của tam giác vuông, ta được một hình mới là hình vuông cạnh c. Đáp án 5: c2 c2 c 2 2 2 b a 2 . Đáp án 6: Qua một đỉnh của hình vuông cạnh c , kẻ đoạn thẳng AB vuông góc với cạnh ab của hình vuông lớn. Ta có: ABab là
Câu hỏi 7: Giả sử nếu di chuyển hai đoạn thẳng
AC và đoạn thẳng AB trùng nhau thì ta nhận thấy được điều gì?
đường cao của tam giác ABC.
2 2 b a 2 b a 2 c AB Đáp án 7: Sau ghi di chuyển ta sẽ được hình sau:
- A và B lần lượt là trung điểm của hai cạnh ab
đối diện, chia cạnh ab
thành hai đoạn bằng nhau (ab).
- Khi đó, độ dài đoạn thẳng
b a AB .
Vậy ta có được: ab 2 a2 b2
Bất đẳng thức sau được chứng minh.
2 2 b a 2 b a 2 c AB
Nhận xét: Ở mục 3.2 này, tình huống dạy học được thiết kế theo chủ đạo vẫn là học sinh, học sinh tự mình tìm tòi, mở rộng kiến thức nhưng vẫn tuân thủ theo mô hình dạy học kiến tạo như sau:
- Câu hỏi 2;3 và 5: Học sinh sử dụng những kiến thức đã được học để trả lời các câu hỏi của giáo viên.
- Câu hỏi 1;4 và 7: Là câu hỏi để học sinh phải tư duy, phán đoán các trường hợp có thể xảy ra trong bài toán này.
- Câu hỏi 2;6 và 7: Khi đã có phán đoán thì học sinh sẽ cùng nhau kiểm nghiệm xem các dữ kiện mà mình phán đoán có đúng với những gì mình cần tìm không.
Nếu kết quả kiểm nghiệm sai thì học sinh phải quay lại bước phán đoán để tìm đáp án chính xác hơn.
- Câu 3;6 và 7: Kiểm nghiệm chính xác thì học sinh sẽ thích nghi các kiến thức mới thông qua các câu hỏi của giáo viên.
- Cuối cùng, học sinh rút ra kết luận chung cho cả bài toán và kiến thức mới được hình thành.
PHẦN KẾT LUẬN
Đề tài “Dạy học sử dụng hình ảnh trực quan theo định hướng của lý thuyết kiến tạo” đã thực hiện được mục đích đề ra như sau:
Hệ thống một cách chi tiết và đầy đủ các kiến thức cần biết về lý thuyết kiến tạo.
Tìm hiểu mối liên hệ giữa lý thuyết kiến tạo và giảng dạy các bộ môn, đặc biệt là bộ môn Toán học.
Một số ứng dụng của lý thuyết kiến tạo trong đại số, hay sử dụng hình ảnh trực quan để giải các bài toán đại số.
Đặt ra các tình huống dạy học theo quan điểm của lý thuyết kiến tạo để đạt hiểu quả tốt nhất trong giảng dạy.
Đề tài đã thể hiện rõ các điểm mạnh của việc sử dụng hình ảnh trực quan để giải các bài toán đại số như: tính tổng các số tự nhiên, bất đẳng thức Pythagore, tính tổng chuỗi số vô hạn. So với cách giải bài toán đại số bằng định nghĩa, định lí như thông thường thì khi giải bài toán bằng hình ảnh trực quan, đề tài đạt được những ưu điểm nhất định sau:
- Hướng học sinh sử dụng các kiến thức đã được tích lũy để hình thành các kiến thức mới.
- Bài toán sẽ được trình bày theo sự hiểu biết của học sinh.
- Thúc đẩy hình thành tư duy trừu tượng, sáng tạo của học sinh; từ đó học sinh có thể tìm ra được các hướng giải bài toán khác nhau.
- Sử dụng hình ảnh trực quan giúp học sinh ghi nhớ sâu các kiến thức; dễ hiểu, tiếp thu kiến thức một cách tự nhiên, chủ động.
Đề tài này đã đưa ra được 4 phương pháp giải bằng hình ảnh trực quan gồm: biểu diễn các số bằng yếu tố đồ họa có 4 bài toán tính tổng các số tự nhiên và 2 bài tập vận dụng tương tự; biểu diễn các số bằng đoạn thẳng có 2 bài toán chứng minh bất đẳng thức; biểu diễn số bằng diện tích của hình phẳng có 2 bài toán tính tổng; biểu diễn