2.2.1. Nội dung phương pháp
Phương pháp lặp đơn được thực hiện như sau:
1) Chọnx = g(x) là phương trình tương đương với phương trìnhf(x) = 0 và nghiệm xấp xỉ ban đầu xo ∈ [a, b].
2) Ta tính x1 = g(x0), xem x1 là nghiệm xấp xỉ thứ nhất. Tính x2 = g(x1) và xem x2 là nghiệm xấp xỉ thứ hai.
xấp xỉ {xn}
x0;x1 = g(x0);x2 = g(x1);...;xn = g(xn−1).
2.2.2. Sự hội tụ
Cho {xn} dãy nghiệm xấp xỉ nhận được từ phương pháp lặp đơn. Vấn đề được quan tâm là khi nào {xn} hội tụ đến nghiệm đúng của phương trình (2.1), tức là
lim
n→∞xn = x∗.
Với một phương trình (2.1) ta nhận được nhiều hơn một phương trình có dạng x = g(x). Trong số những phương trình đó, chỉ có một số phương trình hội tụ đến nghiệm của đúng x∗ trong đoạn [a, b]. Để chọn được phương trình tương đương có dạng x = g(x) hội tụ đến nghiệm x∗, ta có định lí sau:
Định lí 2.2.1. Xét hàm số g(x) của phương trình x = g(x) là phương trình tương đương với phương trình (2.1). Giả sử g(x) liên tục, có đạo hàm g0(x) trên đoạn [a, b] và thỏa mãn các điều kiện:
(a) |g0(x)| ≤q < 1,∀x ∈ [a, b]. (b) g([a, b]) ⊆ [a, b].
Lúc này, dãy {xn} sinh ra bởi phương pháp lặp đơn với x0 ∈ [a, b] sẽ hội tụ đến nghiệm đúng x∗ của phương trình (2.1).
Chứng minh. Vì x∗ là nghiệm đúng của phương trình f(x) = 0 nên
x∗ = g(x∗).
Ta có:
Theo Định lí Largange, tồn tại 1 điểm cn nằm giữa xn và x∗ sao cho xn−x∗ = g0(cn)(xn−1 −x∗) ⇒ |xn−x∗| = |g0(cn)||xn−1 −x∗|. Tương tự, ta có: |xn−1 −x∗| = |g0(cn−1)||xn−2 −x∗|, |xn−2 −x∗| = |g0(cn−2||xn−3 −x∗|, ... |x1 −x∗| = |g0(c1)||x0 −x∗|. Suy ra |xn−x∗| = |g0(cn)||g0(cn−1)||g0(cn−2)|....|g0(c1)|.|x0 −x∗|. Vì |g0(x)| ≤ q < 1,∀x ∈ [a, b] ⇒ |xn−x∗| ≤qn.|x0 −x∗|. Mặc khác, vì q < 1 nên: lim n→∞qn|x0 −x∗| = 0 ⇒ lim n→∞|xn −x∗| = 0 ⇒ lim n→∞xn = x∗.
Vậy dãy {xn} các nghiệm xấp xỉ hội tụ đến nghiệm đúng của phương trình (2.1).
Nhận xét 2.2.2. Nếu hàm số g(x) thoả mãn các điều kiện trong Định lí 2.2.1 thì g(x) là ánh xạ co trên [a, b]. Vì vậy, vòng lặp đơn chính là vòng lặp điểm cố định và phương trình x = g(x) có một nghiệm duy nhất trên