Định lí 1.5.1 ([8, Định lý 2.1]). Giả sử H(x∗) = 0 và mọi V ∈ ∂H(x∗) là không suy biến. Thì phương pháp Newton tổng quát (1.7)là Q-hội tụ siêu tuyến tính trong một lân cận của x∗ nếu H là nửa trơn tại x∗, và hội tụ bậc hai nếu H nửa trơn mạnh tại x∗.
Kummer đã nghiên cứu điều kiện cần và đủ cho sự hội tụ của phương pháp Newton dựa trên đạo hàm tổng quát. Một trong những điều kiện đảm bảo sự hội tụ là với bất kỳ V ∈∂H(x+d), d →0,
H(x+d)−H(x)−V d=o(kdk). (1.8)
Do H liên tục Lipschitz địa phương, nếu H0(x, d) tồn tại thì
lim
d→0
H(x+d)−H(x)−H0(x;d)
kdk = 0.
Vì vậy, nếu H0(x;d) tồn tại thì (1.8) có nghĩa là
V d−H0(x;d) =o(kdk)
với bất kỳV ∈∂H(x+d), d→0.
Do đó (1.8) hàm ý về tính nửa trơn của H tại x nếu H0(x;d) tồn tại.
Lưu ý rằng tính không suy biến của ∂H(x∗) trong định lý trên có phần hạn chế trong một số trường hợp. Một phiên bản sửa đổi của (1.7) được đưa ra như sau
xk+1=xk−Vk−1H(xk), (1.9) trong đó Vk ∈∂BH(xk). Sự khác biệt giữa phiên bản này với (1.7) là Vk được chọn từ ∂BH(xk) thay vì bao lồi của ∂BH(xk).
Định lí 1.5.2 ([8, Định lý 2.2]). Giả sử H(x∗) = 0 và mọi V ∈ ∂BH(x∗) là không suy biến. Thì phương pháp Newton tổng quát (1.9)là Q-hội tụ siêu tuyến tính trong một lân cận của x∗ nếu H là nửa trơn tại x∗, và hội tụ bậc hai tại x∗ nếu H nửa trơn mạnh tại x∗.
Định lí 1.5.3 ([8, Định lý 2.3]). Giả sử H là nửa trơn tại x∗ và tất cả các phần tử trong ∂BH(x∗) đều không suy biến. Đặt (xk)k ⊆D là dãy bất kỳ hội tụ về x∗ với
xk 6=x∗ với mọi k. Thì (xk)k hội tụ Q-siêu tuyến tính về x∗ và H(x∗) = 0 khi và chỉ khi lim k→∞ kH(xk)−Vkdkk kdkk = 0, (1.10) trong đó Vk ∈∂BH(xk) và dk =xk+1−xk.
Các Định lý 1.5.1,1.5.2và 1.5.3đã khái quát các kết quả hội tụ của phương pháp Newton cổ điển cho các phương trình trơn mà không giả định tính khả vi của H.