Bài 1.
Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có tọa độ nguyên. a. Chứng minh rằng 1 2 ABC S ≥ . b. Giả sử 3 2 ABC
S = và biết rằng trên cạnh của tam giác không còn điểm nguyên nào ngoài các đỉnh A B C, , . Chứng minh rằng trọng tâm của tam giác ABC nguyên.
Bài 2. (VMO 2011) Cho ngũ giác lồi ABCDE có độ dài mỗi cạnh và độ dài các đường chéo không vượt quá 3. Lấy 2011 điểm phân biệt tùy ý nằm trong ngũ giác đó. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn đơn vị có tâm nằm trên cạnh của ngũ giác đã cho chứa ít nhất 403 điểm trong số các điểm đã lấy.
Bài 3. (Đề kiểm tra đội tuyển IMO 2013) Cho hình vuông ABCD và 2009 điểm bên trong hình vuông sao cho không có ba điểm nào trong 2013 điểm này thằng hàng (gồm 2009 điểm bên trong hình vuông và cả bốn điểm A B C D, , , ). Ta nối một sốđiểm bên trong hình vuông (và cả các đỉnhA B C D, , , ) lại để chia hình vuông thành các tam giác. Mỗi một đoạn nối như thế được gọi là một cạnh. Một đường đi từđiểm này đến điểm kia mà đi qua các cạnh liên tiếp được gọi là một đường gấp khúc.
Xét một cách chia 2013 điểm trên thành hai tập X Y, sao cho A C, ∈X và B D, ∈Y. Chứng minh rằng: hoặc tồn tại một đường gấp khúc đi từ A tới C mà chỉ đi qua các đỉnh trong X hoặc tồn tại một đường gấp khúc đi từ B tới D mà chỉđi qua các đỉnh trong Y.
28
Bài 4. Trên mặt phẳng tọa độ, cho đồ thị 2
y=x và các điểm có hoành độ lần lượt là 1, 2, 3,...,n
và đặt các điểm đó là A A1, 2,...,An. Gọi Sn là diện tích của đa giác OA A1 2...An. Chứng minh rằng với n>3 thì Sn là hợp số.
Bài 5. (Olympic Toán toàn Nga 2000) Cho ngũ giác ABCDE có tọa độ các đỉnh nguyên. Chứng minh rằng:
a. Tồn tại một điểm nguyên nằm trên hoặc trong đa giác. b. Tồn tại một điểm nguyên nằm hoàn toàn trong đa giác.
c. Gọi A B C D E1 1 1 1 1 là ngũ giác tạo thành bởi các đường chéo của ngũ giác ban đầu. Chứng minh rằng tồn tại một điểm nguyên nằm trong đa giác này.
Bài 6. (China TST 2013) Gọi E là tập hợp các điểm nguyên trong mặt phẳng. Gọi P Q, lần lượt là các tập hợp các điểm nào đó nằm trên hoặc trong một đa giác có tọa độcác đỉnh nguyên. Đặt T = ∩P Q. Chứng minh rằng nếu T ≠ ∅ và T∩ = ∅E thì T không phải là một miền tứ giác lồi.
Bài 7. Chứng minh rằng trong 9 điểm tùy ý trên mặt phẳng mà không có ba điểm nào thẳng hàng, tồn tại 5 điểm tạo thành một ngũ giác lồi.
Bài 8. (Olympic Toán toàn nga 2008) Trong mặt phẳng tọa độ, vẽ một số hình chữ nhật với các cạnh song song với hai trục tọa độ. Giả sử hai hình chữ nhật tùy ý có thể bị cắt bởi một đường thẳng nằm ngang hoặc nằm dọc. Chứng minh rằng có thể vẽ một đường thẳng nằm ngang và một đường thẳng nằm dọc mà tất cả các hình chữ nhật đã cho đều bị cắt bởi một trong hai đường này.
Bài 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có tọa độ các đỉnh là
(1; 0), (1; 2), (2;1), (0;1)
A B C D và định nghĩa các phép quay sau:
• S4i là phép quay tâm A, góc quay − °90 với i∈.
• S4i+1 là phép quay tâm B, góc quay − °90 với i∈. • S4i+2 là phép quay tâm C, góc quay − °90 với i∈. • S4i+3 là phép quay tâm D, góc quay − °90 với i∈.
Tìm ảnh của tâm của hình vuông ban đầu qua phép biến hình sau 2014 2013 2012 ... 1 0
S =S °S °S ° ° °S S .
Bài 10. (Định lý Pal) Mỗi hình phẳng A với đường kính d có thểđặt vào 1 hình lục giác đều có khoảng cách giữa cặp cạnh đối diện bằng d.