- Sir dung B1; (lA Yin a, p 7 ld cdcg6c phdng cila rnbt gbc tarn dien, t'd A la gdc nhi diin cila tam diAn db
NCUyr,N pgu t-oc
(Khoa Su Pham, Dai hoc CdnTho)
Ddy sd cluoc hoc sinh phd th6ng hoc trong
chuctng trlnh l)ai stj r) Gi6i tich lqo 11' Kh6i niem rir\y, thit su xudt hi€n tt thdicd Hy L+p u-u
nhidu nu6e kir6c ren thd gi6i nhu & Trung Qudc vlo thd ki thf 13 vi 14. 6 Cha,, Au cf,ng nhidu
nhi to6n hoc c6 srl dung vdL nghiOn crlu đy sd
nhu Oresme (1325-1382), Stevin (1548-1620),
Galileo (1564-1642), Pascal (1623-1662),
Fermat (1601-166-5), Descartes (1596-1650),
Newron (1642-1727), Leibniz (1646-1716),
Brook Taytor (1685-1731), Colin Maclaurin (1698- t'746),...
Vi khuon khd bei viet, & day chring toi chi xin gi6i thicu mOt sd ph6t hiOn vd d5y sti- ct19 ba nhi
t-o6n hoc Archimedes, Fibonacci, Leibniz mi
c6c ban hoc sinh trung hqc phd thong c6 thd
hidu duoc.
1. Day sd d6 xudt hi€.n tI cd Hy Lap khi nhidu nh} to6n hoc cd đ dirng phuong ph6p "v6t can"
(lAp tuAn dua theo dey sO) đ do di0n rich cdc
hinh. D4c biQt Archimedes (287-212 tru6c
C6ng nguy€n) d5 srt dgng rnQt ki thuQt lQp lu{n
JoqE g6i ia ienoottg phZp" ("method") đ dat
Ouoc mgt sd kdt qui d6ng chr19 vd dien t(ch c6c
hinh vi thd tich c6c khoị Ong đ xAy dung
nhidu vi du vi cd gir;lg gibi thich bing c6ch nlLo
mi c6c tdng v6 han cfia m6t đy sd c6 nhfrng
kdt qui trtu tran' Ching h4n, kh1-tim ra c6ng
thrlc : di6n tich phdn gidi han boi mOt cung
1114
+ 3+ 3
Kdt qui tr€n dan d€h
Khi n thAt l6n, tU (*) suY ra
1l l4
l+-+ *...+-+...= l
'4424n3
COng trinh cfra Archimedes vd đy khOng thAt
su hoin hio hav ti mi nhu nhfrng nghiOn ctlu sau
nly vd đy vd chu6i, ching h4n ntru cirạNemon
vd Leibni2. Nhtrng n6 clng ld kdt qui that d6ng
kinh ngac. Mac di Archimedes thm vi0c trong didu klcn rdt kh6 khan boi thidu nhtrng kh6i
niem chinh x6c vh hiOu qu6, nhung Ong đ
kh6m ph6 ra nhi€u yd,u td cira ngdnh Girii tich
hien dai vd đY vi chu6ị
2. Nhe to6n hoc ngudi V ten la Fibonacci
(1170-1240) đ kh6m ph6 ra mQt đy s6 tr1 nhi€n (ggi ia aay Fibonicci) trong d6 m6i sd
Uing tdng cira hai s6 d(mg 1B!Y try9c n6 (1, 1,
2,3", 5, SỊ ) tt bli to6n "th6 cI6 con" trong cu6n
s6ch "Liber abbaci" (Sach vd bin tinh) :
Gid s* thd đ con theo quy ludt ld : mdt dbi thd ctt mdi thdng đ dttqc mQt đi thd con, mdi
at\i thd con sau2 thdng lai bdt đu sinh mdr đi thd nfra, r6i sau d6 mdi thd'ng, ti€'p t4c đ ra mbt
itili thd, ... vd gid s* m't cd cdc thd diu s6'ng' Hdi n€u c6 mbt d1i th6 nubi trl thdng gidng vd
đ vd.o thdng hai thi den cu6'i ndm cd bart nhieu
chil rhd't
D6y s6 Fibonacci c6 nhfrng tqh:hd.t d6c s6c
vi sau niy nguiri ta tim thdy nhidu rlng dung
3. Nhe to6n hoc Drlc Leibniz - ngudi ph6t
minh ra ph6p tinh vi - tich phan da ftng c6
nhtng f<ct qria thri vi xung quanh d6y sd' Khi
đn Faris nim 1612, ong đ chri f den mOt su
kion lf thri vd tdng cria ciic hi€u cfia cdc sd hang
li0n tidp cira mOt diY s6 :
Cho m6t d6Y sd a1, a2, ..., an
X6t d6y sd d1, r)2, ..., dnvdi di= ai - a;-1.'I rtc
nIy ta c6
d1+ d2+ ... + dn= (a2-a) + (a3-a2) + "' +(ar-an-t)= ar-at,(**) (ar-an-t)= ar-at,(**)
Do d6 tdng cira c6c hi0u sd li€n tidp bing hi0u
cfia sd hang đu vI sd hang cu6i cria d6ý
Ch*g han, Leibniz quan sdt đy hiQu cira mQt
day birih phuong c6c sd tu nhiOn lien tidp (tinh
ci sd 0) : 0, 1, 4, ..., n2 ld đy cdc sd 16 li6n tidp
1,3,5, ...,2n-L boi vi i2 - (i -1)'=2i- 1'S'uy
ra 1+3+5+...+(2n-l)=nz (1)
NOu cong 2 + 4 + ... + 2n vdo hai vd cira (1)
tacS: l+2+3+...+2n = (1 + 3 + ... + (zn-l)) + (1+3+ ... +(Zn-l)) + n = (n2) + (n2) + n hay l+2+3+...+2n = ?1Zn+t) (2) 2'
Ndu c6ng hai vd ciua (2) vu (Zn+l), ta c6
l+2+3+...+2n+(2n+ l) = '24!1 1zn +2) (3) Chf y rang (2) vd (3) cho kdt qu6 tdng qu6t :
n.
l+2+3+..ln = !7n+!) vdi n lh' mOt s6 nguy0n
duong bdt kị
Ndu 6p dung (**) cho đY sd 0, 1, 8, "',
n' ta dat dugc l2í-l2i+n=ni hay
i=l i=l
z*i2 -l!ưl) +n - n3 ' Giaiphuong trinh nhy
u )'
i=l
tac6:
ir'=t'+22 +...+n2 = L(n+l)(Zn+l)
i=l
Cdc kdt qui d4t duoc ctra l-nibnizvd t6ng c6c
rO-ftiqu s6'dA ggi den khf, nlng tinh.tdng cria
c6c chu6i s6 vO han. Gi6 str c6c sd b1, bz, "', b,''
... li c6c hiOu sd ciua cdc sd hang liOn tidp cua
d6y s6 a1, a2, ..., an,... trong d6 bi= oi - ai+t
Khi d5 b,,+b2+...+bn= at-an+l