Xét ∆ABK và ∆MBK : Ta cĩ: AB = BM (gt) BK là cạnh chung ABˆK=MBˆK (∆ABE = ∆MBE ) Vậy ∆ABK = ∆MBK Suy ra: 0 90 B Aˆ K B Mˆ K = = Do đĩ: KM ⊥ BC c) Chứng minh: ABˆK = QMˆC Chúng minh được : MQ // BK Suy ra được: ABˆK = QMˆC Bài 53:
a) Xét ∆ABD và ∆AED cĩ: AB = AE (gt)
BAD =EAD
(gt)
Cạnh AD chung. Vậy∆ABD = ∆AED (c.g.c)
b) Theo câu a)∆ABD = ∆AED suy ra BD = ED (2 cạnh tương ứng)
ABD =AED (2 gĩc tương ứng) Xét ∆DBF và ∆DEC, cĩ: BDF=EDC (2 gĩc đối đỉnh)
BD = ED (chứng minh trên)
FBD=CED (cùng bù với 2 gĩc kề bù bằng nhau
ABD =AED ) Vậy ∆DBF = ∆DEC (g.c.g)
c) Theo câu b) ∆DBF = ∆DEC suy ra: BF = EC (2 cạnh tương ứng) Cĩ : AF = AB + BF = AE + EC = AC.
Xét ∆ AFN và ∆CAN, cĩ:
AN là cạnh chung.
NF = NC (gt)
AF = AC (chứng minh trên). Vậy ∆ AFN = ∆CAN (c.c.c)
Suy ra: FAN=CAN
(2 gĩc tương ứng) Hay AN là phân giác của gĩc BAC
Mà AD cũng là phân giác của gĩc BAC
Nên AD trùng với AN ⇒A, D, N thẳng hàng (đpcm).
(HS khơng vẽ hình thì khơng chấm điểm bài hình)
Bài 54: a) Chứng minh △ABM = △DCM. D M B C A
KL: △ABM = △DCM. (c.g.c) b) Chứng minh DC ⊥AC.
CM: DC // AB.
CM: DC ⊥AC.
c) Tính độ dài đoạn thẳng BC nếu nếu biết độ dài đoạn thẳng AM = 4cm.
Chứng minh △ABC = △CDA BC = 8cm
Bài 55:
(Nếu hình vẽ tương đối đúng thì chấm, hình sai khơng chấm)
a/ Xét ∆ABM và∆ACM cĩ: AM là cạnh chung
AB = AC (gt)
BM = MC (gt)
Vậy ∆ABM =∆ACM ( c.c.c).
b/ Ta cĩ : ∆ABM =∆ACM (chứng minh trên). Suy ra: AMˆB= AMˆC ( hai gĩc tương ứng).
Mà 0 180 ˆ ˆB+AMC = M A ( 2 gĩc kề bù). Suy ra 0 0 90 2 180 ˆ ˆB= AMC= = M A . Vậy AM⊥BC c/ Chứng minh: ∆BDM =∆CEM Xét ∆BDM và∆CEM, ta cĩ: BD = CE (gt) BM = CM (gt) M C A M B
Aˆ = ˆ (hai gĩc tương ứng, ∆ABM =∆ACM ) Suy ra : ∆BDM =∆CEM (c.g.c)
Bài 56:
a) ΔAMB và ΔAMC cĩ:
AB = AC (gt)
MB = MC (M là trung điểm của BC)
AM là cạnh chung
Do đĩ ΔAMB = ΔAMC (c − c − c)
Suy ra: BAM =CAM (hai gĩc tương ứng) Do đĩ AM là tia phân giác của gĩc BAC. b) ΔDCN và ΔBCN cĩ:
CB = DC (gt)
DCN =BCN (CN là tia phân giác của gĩc BCD)
CN là cạnh chung
Do đĩ ΔDCN = ΔBCN (c − g −c)
Suy ra: CND =CNB (hai gĩc tương ứng)
Mà 0 180 CND CNB+ = Nên 0 90 CND=CNB= Do đĩ CN ⊥ BD c) Ta cĩ: 0 BCE =180 −ACB (1) Và 0 0 ADC =180 −C B 180D = −CBD (ΔDCN = ΔBCN) (2)
Mà ACB =ABC (ΔAMB = ΔAMC) (3)
Từ(1), (2) và (3) suy ra BCE = ADC
ΔADC và ΔECB cĩ:
CB = CD (gt)
BCE = ADC (cmt)
AD = CE (gt)
Do đĩ ΔADC = ΔECB (c − g − c) Suy ra BE = AC (hai cạnh tương ứng) Mà AB = AC (ΔAMB = ΔAMC) Nên BE = BA BE = BN + ND + DA =2BN + CE. B C A E M D N
Vậy BE − CE = 2BN. Bài 57: a) Tính số đo gĩc BAC và gĩc ADC. Xét ∆ABC ta cĩ: 0 180 BAC+ + =B C (tổng 3 gĩc ∆) 0 ( ) 0 180 80 BAC = − B+C =
Vì AD là phân giác BAC nên
0 40 2 BAC BAD=DAC= = Ta cĩ 0 0 0 40 70 110 ADC =BAD+ =B + = (gĩc ngồi ∆ADB)
b) Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Chứng minh ∆ADB = ∆ADE. Xét ∆ADB và ∆ADE ta cĩ:
AB = AE (gt)
BAD=DAC (do AD là phân giác BAC )
AD chung
Suy ra: ∆ADB = ∆ADE (c – g – c).
c) Kéo dài ED và AB cắt nhau tại F. Gọi K là trung điểm CF. Chứng minh ba điểm A, D, K thẳng hàng.
- Chứng minh ∆DBF = ∆DEC (g – c – g) Suy ra: BF = EC
Mà AB = AE (gt) nên AF = AC
- Chứng minh ∆AIF = ∆AIC (c – c – c)nên FAI =IAC nên FAI =IAC
Suy ra: AI là phân giác của BAC
Mà AD là phân giác BAC (gt)
Suy ra tia AI trùng tia AD Suy ra A, D, I thẳng hàng. I F E D A B C
Bài 58:
a/
Xét tam giác ABC cĩ
BAC +ABC+ACB= 1800( Tổng 3 gĩc tam giác) BAC = 1800-(600+500)=700
Ta cĩ ABI = CBI= ABC : 2 = 0
30 (Bx là phân giác ABC)
AIB = C + IBC ( gĩc ngồi tam giác BIC)
= 0 0 0 80 30 50 + = b/ Xét ∆ABI và ∆DBIcĩ AB= BD (gt)
ABI = DBI ( BI là phân giác ABC ) BI cạnh chung
Vậy: ∆ABI=∆DBI(c.g.c) => IA = ID (cạnh tương ứng)
c/ Gọi H là giaođiểm của BI và AD
Chứng minh 2 tam giác ABH và DBH bằng nhau Suy ra : AH= DH và AHB = DHB
Mà: AHB + DHB = 0
180 ( kề bù)
Suy ra AHB = DHB = 0
90
Suy ra: BI vuơng AD và H là trung điểm AD Nên BI là trung trực AD I B C A D H x
Bài 59
a)∆MAB và ∆MCD cĩ :
MA = MC (M trung điểm AC) AMB=CMD(đđ) MB = MD (gt)
Vậy : ∆MAB= MCD∆ (c-g-c)
b)∆DMN và ∆BMI cĩ: DM = BM; DMN =BMI(đđ); MN = MI (gt). Vậy ∆DMN =∆BMI (c-g-c)
=> NDM =IBM (2 gĩc tương ứng), mà hai gĩc này ở vị trí slt => DN // BI; I∈BC => DN // BC
c)chứng minh: DA//BCmà DN //BC
Suy ra: A, N, Dthẳng hàng
Bài 60: