D A= I J = E
b) Đường thẳng qu aG song song với BC cắt AD A E, theo thứ tự tại IJ , Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của G lên BC Chứng minh rằng tam giác IHJ vuơng cân.
Lời giải
a)Ta cĩ BD=BA ABD cân nên BAD=BDA
Mà BAD+KAC= =90 BDA BKD+ =BDA+AKCKAC=AKC
ACK
cân nên CA=CL Tương tự ABL cân nên BA=BL
b)Áp dụng định lý Ta let và hệ quả của nĩ ta cĩ:
CH GE CE CA CK CK CH HK BH GB BD BA BL BL BH HL − = = = = = = − (Giả sử ABAC) Suy ra HK CE GC IK HL = BD=GD = ID hay HK IK HI DL// HL = ID
Ta lại cĩ BD=BL nên tam giác BDL vuơng cân BLD= 45 JIH =BHI =BLD= 45 Chứng minh tương tự ta cũng có IJH = 45 IHJ vuơng cân tại H.
Câu 25( HSG Phú Yên 17-18)
Cho tam giác ABC vuơng cân tại A. Điểm M chuyển động trên cạnh BC (M khác B C, ). Gọi
,
H K lần lượt là hình chiếu vuơng gĩc của M lên AB AC, . Vẽ các đường trịn (H HM; ) và
(K KM; ).
a) Chứng minh rằng hai đường trịn ( )H và ( )K luơn cắt nhau;
b) Gọi N là giao điểm thứ hai của hai đường trịn ( )H và ( )K . Chứng minh rằng MN luơn đi qua một điểm cớ định.
Lời giải x y J I L K G E D B A C
93
a)Ta cĩ HM−KM HK HK+KM nên 2 đường trịn( )H và ( )K luơn cắt nhau. b)Ta cĩ NHM =NCB NMK; =NBC
Do AKMH là chữ nhật nên
90 90 90
NHM+NKM = NCB+NBC= BNC=
Vẽ hình vuơng ABEC ta cĩ A N B E C, , , , cùng thuộc đường tròn đường kính BC cớ định.
Ta lại cĩ NEB=NCB mà NCB=NMH NEB, =NHM , do MH EB// nên ba điểm N M E, ,
thẳng hàng. Vậy MN luơn đi qua điểm E cớ định.
Câu 26( HSG Quãng Ninh 17-18)
Cho đoạn thẳng AB, điểm C nằm giữa hai điểm A và B. Trên cùng một nửa mặt phẳng bở là đường thẳng AB, vẽ nửa đường tròn đường kính AB và nửa đường tròn đường kính BC. Lấy điểm
M thuộc nửa đường tròn đường kính BC (M B M; C) . Kẻ MH vuơng gĩc với BC (HBC) , đường thẳng MHcắt nửa đường tròn đường kính ABtại K. Hai đường thẳng AK và CM giao nhau tại E.
a) Chứng minh rằng HKB=CEB và 2
. ;
BE =BC AB
b) Từ C kẻ CN⊥AB (N thuộc nửa đường tròn đường kính AB), đường thẳng NK cắt CE tại
.
P Chứng minh rằng NP=PE;
c) Chứng minh rằng khi NE là tiếp tuyến của nửa đường tròn đường kính AB thì NE=2NC.
Lời giải E N H K C A B M
94
a)Ta cĩ 0
90
BME=BKE= nên BMKE nội tiếpHKB=CEB mà HKB=BAE (cùng phụ với
)
HKA nên CEB=BAE
Xét BEC vàBAE cĩ: CEB=BAE và ABE chung nên đồng dạng 2 . . BE BC BE BC AB AB BE = =
b)Xét tam giác ABN vuơng tại N cĩ NC⊥AB Suy ra BN2 =BC AB. BN =BE
Hay BNE cân tại BBNE=BEN (1)
Theo câu a) thì CEB=BAE mà BAE=BNPCEB=BNP (2). Từ (1) và (2) PNE =PEN PNE cân tại PNP=PE. c)Gọi Q là giao điểm của tia BP và NE
Vì BP=BE và PN=PE nên BQ⊥NE
NE là tiếp tuyến của ( )O nên ON⊥NE. Do đó ON/ /BQBNO=Q NB
Mà BNO=NBOQBN =NBO hay BN là tia phân giác của CBQ mà NQ⊥BQ và
NC⊥BC nên NQ=NC. Vì BQ là đường trung trực của NE nên NE=2.NQ suy ra
2 .
NE= NC
Câu 27( HSG Thanh Hĩa 17-18)
Cho tam giác ABC cĩ ( ),( ),( )O I Ia theo thứ tự là các đường trịn ngoại tiếp, đường trịn nội tiếp và đường trịn bàng tiếp đới diện đỉnh A của tam giác với các tâm tương ứng là
, , a
O I I . Gọi D là tiếp điểm của ( )I với BC, P là điểm chính giữa cung của ( )O ,
a
PI cắt ( )O tại điểm K. Gọi Mlà giao điểm của PO và BC, N là điểm đới xứng với P
qua O. Q P N E K H O' O A B C M BAC
95
a) Chứng minh IBI Ca là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh NIa là tiếp tuyến của đường trịn ngoại tiếp tam giác I MPa . c) Chứng minh DAI =KAIa.
Lời giải
a) Ialà tâm đường trịn bàng tiếp đới diện đỉnh A và I là tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC, từ đó suy raBIa ⊥BI CI, a ⊥CI
( Phân giác trong và phân giác ngồi cùng một gĩc thì vuơng gĩc với nhau). Xét tứ giác IBI Ca cĩ 0
180
a a
IBI +ICI =
Từ đó suy ra tứ giác IBI Ca là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính IIa.
b) Nhận thấy bớn điểm A I N I, , , a thẳng hàng (vì cùng thuộc tia phân giác của BAC). DoNP là đường kính của ( )O nên 0
90
NBP= , M là trung điểm của BC nên PN⊥BC tại
M
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuơng PBN ta cĩ 2
.