b) Điểm B biểu diễn số nguyên nào ?
183. Cho A={x∈Z x/ > −9}
B={x∈Z x/ < −4}
C={x∈Z x/ ≥ −2}
Tìm A∩B; B∩C; C∩A
184. Viết tập hợp 3 số nguyên liên tiếp trong đĩ cĩ số 0.
185. Số nguyên âm lớn nhất cĩ 3 chữ số và số nguyên âm nhỏ nhất cĩ hai chữ số cĩ phải là hai số nguyên liền nhau khơng ?
186. Tìm các giá trị thích hợp của a và b :
a) 00a > −111 b) −a99> −600 c) −cb3> −cba d) −cab>c85 .
187. Cho 3 số nguyên a, b và 0. Biết a là một số âm và a < b. Hãy sắp xếp 3 số đĩ theo thứ tự tăng dần.
188. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai ? a) Nếu a = b thì a = b b) Nếu a = b thì a = b c) Nếu a < b thì a < b . 189 Tìm x biết : a) x + = −5 37 b) −6 .x = 54. 190. Tìm x, y, z ∈ Z biết x + y + z =0. 191. Tìm x ∈ Z biết :
a) x <10 b) x >21 c) x > −3 d) x < −1
§ 2: Phép cộng hai số nguyên
Tính chất phép cộng hai số nguyên Kiến thức cơ bản
1. Cộng hai số nguyên cùng dấu : Ta cộng hai giá trị tuyệt đối rồi đặt trước kết quả dấu chung
2. Cộng hai số nguyên khác dấu:
- Cộng hai số nguyên đối nhau : Tổng bằng 0
- Cộng hai số nguyên khác dấu khơng đối nhau : Ta tìm hiệu hai giá trị tuyệt đối và đặt trước kết quả dấu của số cĩ giá trị tuyệt đối lớn hơn.
3. Tính chất của phép cộng các số nguyên
- Tính chất giao hốn : Với mọi a, b ∈ Z thì a + b = b + a
- Tính chất kết hợp : Với mọi a, b, c ∈ Z thì a + (b + c) = (a + b) + c - Cộng với số 0 : Với mọi a ∈ Z thì a + 0 = a
- Cộng với số đối : Nếu a và b đối nhau thì a + b = 0 Ngược lại , nếu a + b = 0 thì a = -b; b = -a
Chú ý: Phép cộng nhiều số nguyên cĩ các tính chất giao hốn , kết hợp tổng quát.
Nâng cao
1. Người ta thường viết ( 0)
( 0) a a a a a ≥ = − <
2. Ta chứng minh được rằng giá trị tuyệt đối của một tổng hai số nguyên thì nhỏ hơn hoăc bằng tổng các giá trị tuyệt đối của chúng :
Với mọi a, b ∈ Z thì a+ ≤b a + b
(dấu = xảy ra khi và chỉ khi a và b cùng dấu hoặc khi a = 0 hoặc khi b = 0).
Thí dụ 28 : Tính tổng S = (-351) + (-74) + 51 + (-126) + 149 Giải: Cách 1: S = [(-351) + (-74) + (-126)] + (51 + 149) S = -551 + 200 = -351 Cách 2: S = [(-351) + 51] + [ (-74) + (-126)] + 149 S = (-300) + (-200) + 149 = -500 + 149 = -351 Nhận xét :
- Trong cách giải thứ nhất để cộng nhiều số ta cộng số âm với số âm, số dương với số dương rồi cộng hai kết quả lại . Cách này cĩ ưu điểm là đỡ nhầm dấu.
- Trong cách giải thứ hai, ta kết hợp từng nhĩm cĩ tổng là một số trịn trăm . Cách giải này cĩ ưu điểm là cĩ thể nhẩm ra kết quả.
BÀI TẬP 192. Cho x ∈ {-3; -2; -1; 0; 1; 2; ...; 10} y ∈ { -1; 0; 1; 2; ...; 5}. Biết x + y = 3, tìm x và y 193. Tính nhanh a) -37 + 54 + (-70) + (-163) + 246 ; b) -359 + 181 + (-123) + 350 + (-172) ; c) -69 + 53 + 46 + (-94) + (-14) +78. 194. Tính tổng các số nguyên x biết : a) − ≤ ≤17 x 18; b) x ≤25. 195. Cho S1 = 1 + (-3) + 5 + (-7) + ... + 17 ; S2 = -2 + 4 + (-6) + 8 + ... + (-18) Tính S1 + S2 .
196. Cho x và y là những số nguyên cĩ ba chữ số. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tổng x + y.
197. Chứng minh rằng số đối của tổng hai số bằng tổng hai số đối của chúng
198. Cho x =5 ; y =11 . Tính x + y.
199*. Cho x, y là hai số nguyên cùng dấu . Tính x + y biết x + y =10.
200. Tính tổng:
a) S1 = a+ a với a ∈ Z ;
201. Cho 18 số nguyên sao cho tổng của 6 số bất kì trong các số đĩ đều là một số âm. Giải thích vì sao tổng của 18 số đĩ cũng là một số âm ?Bài tốn cịn đúng khơng nếu thay 18 số bởi 19 số .
§ 3 . Phép trừ hai số nguyên
Kiến thức cơ bản
Hiệu hai số nguyên a và b là tổng của a và số đối của b. a – b = a + (-b)
Nâng cao : Ta chứng minh được với a, b ∈ Z thì : 1) a > b ⇔ a – b > 0: a < b ⇔ a – b < 0
2) Giá trị tuyệt đối của một hiệu hai số nguyên lớn hơn hoặc bằng hiệu các giá trị tuyệt đối của chúng
a b− ≥ a −b
(Dấu = khi và chỉ khi a≥ ≥b 0 hoặc a≤ ≤b 0
Thí dụ 29:
Chứng minh rằng với a, b ∈ Z thì : a) a – b và b – a là hai số đối nhau b) a b− = −b a
Giải:
a) Để chứng minh a – b và b – a là hai số đối nhau ta chứng minh tổng của chúng bằng 0 Ta cĩ (a – b) + (b – a) = [a + (-b)] + [b + (-a)]
= [a + (-a)] + [b + (-b)] = 0
b) a – b và b – a là hai số đối nhau nên cĩ giá trị tuyệt đối bằng nhau. Vậy a b− = −b a
Nhận xét: Do a – b và b – a là hai số đối nhau nên nếu biết hiệu a – b thì khơng cần làm phép trừ ta cũng tìm được hiệu b – a một cách nhanh chĩng .
Chẳng hạn 10 – 1 = 9 thế thì 1- 10 = -9
202. Cho a và b các giá trị trong bảng sau . Tìm hiệu a – b. Khơng cần thực hiện phép tính cho biết b – a a b a – b b - a 77 55 -29 1 -13 -6 0 -19 203. Tìm x biết (x + 153) – (48 – 193) = 1- 2 – 3 – 4 204. Cho x =7; y =20với x, y ∈ Z. Tính x - y 205. Cho x ≤3; y ≤5với x, y ∈ Z. Biết x – y = 2, tìm x và y. 206. Tìm x ∈ Z biết a) x+ =8 6 b) x− =a a với a ∈ Z 207. Tìm x ∈ Z biết 1< − <x 2 4. 208. Tìm x , y∈ Z biết x+45 40− + +y 10 11− ≤0. 209*. Cho x < y < 0 và x − y =100, tính x – y. 210. Cho x ∈ {-2; -1; 0; 1; ... ; 11} y ∈ {-89; -88; -87; ... ; -1; 0; 1}
Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hiệu x – y.
211. Cho x, y ∈ Z
a) Với giá trị nào của x thì biểu thức A = 1000 - x+5 cĩ GTLN; tìm GTLN đĩ. b) Với giá trị nào của y thì biểu thức B = y− +3 50 cĩ GTNN; tìm GTNN đĩ.
c) Với giá trị nào của x và y thì biểu thức C = x−100+ +y 200−1 cĩ GTNN; tìm GTNN đĩ.
§4. Quy tắc “Chuyển vế”. Quy tắc “Dấu ngoặc”
Kiến thức cơ bản:
1. Tính chất của đẳng thức .
a= ⇔ + = +b a c b c
2. Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức ta phải đổi dấu số hạng đĩ: dấu “+” đổi thành dấu “–” và dấu “–” thành dấu “+”.
Khi bỏ dấu ngoặc cĩ dấu “+” đằng trước thì các số hạng trong ngoặc vẫn giữ nguyên. 3. Quy tắc dấu ngoặc: Khi bỏ dấu ngoặc cĩ dấu “–” đằng trước ta phải đổi dấu tất cả các số hạng trong dấu ngoặc” dấu “+” thành dấu “–”; dấu “–” thành dấu “+”.
Nâng cao: Tính chất của đẳng thức và quy tắc “chuyển vế” vẫn đúng đối với bất đẳng thức.
a b a c b c a b c m a b m c > ⇔ + > + − + > ⇔ − > − Thí dụ 30: Cho A= − + +a b c 1; B= +a 2với a, b, c∈Z.
Biết A = B, chứng minh rằng b và c là hai số nguyên liền nhau.
Giải: Vì A = B nên a− + + = +b c 1 a 2
⇔ − + + =b c 1 2 (bỏ a ở hai vế) c= + −b 2 1 (quy tắc chuyển vế)
c= +b 1.
Vậy c là số liền sau của b.
Thí dụ 31: Cho M= − +( a b)−(b+ −c a)+ −(c a)
Trong đĩ b, c ∈ Z cịn a là một số nguyên âm. Chứng minh rằng biểu thức M luơn luơn dương.
Giải: M a b b c a c a M ( a a) ( b b) ( c c) a M a = − + − − + + − = − + + − + + − + − = −
Vì a là số nguyên âm nên – a là số nguyên dương. Vậy M luơn luơn dương.
Nhận xét:
- Quy tắc “chuyển vế” giúp ta đỡ phải nhớ cách tính thành phần của một tổng hay hiệu. - Quy tắc “dấu ngoặc” giúp ta đỡ phải nhớ các tính chất cộng, trừ với một tổng hay một hiệu.
BÀI TẬP
212. Tính bằng cách hợp lí nhất. a) −2003+ − +( 21 75+2003).
b) 1152−(374 1152)+ + − +( 65 374).
213.Đặt dấu ngoặc một cách thích hợp để tính các tổng đại số sau: a) 942 2567 2563 1941.− + − b) 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1− + + − + − − + − + + − 214. Tìm x biết: a) 461 (x+ −45)=387 b) 11 (53− +x)=97 c) − +(x 84)+213= −16. 215. Chứng minh đẳng thức: ( a b c) (b c 1) (b c 6) (7 a b) x − − + + + + − = − + − − + + 216. Cho A= + −a b 5 B= − − +b c 1 C= − −b c 4 D = −b a Chứng minh rằng A B+ = +C D 217. Cho a > b ; tính S biết: S= − − − + − + +(a b c) ( c b a)−(a+b)
219. Viết 5 số nguyên vào đỉnh của một ngơi sao năm cánh sao cho tổng của hai số tại hai đỉnh liền nhau luơn bằng – 6. Tìm 5 số nguyên đĩ.
§5. Phép nhân hai số nguyên
Kiến thức cơ bản: 1. Quy tắc nhân ∗ a . 0= 0 . a =0 ∗ Nếu a, b cùng dấu thì a . b= a . b ∗ Nếu a, b khác dấu thì a . b= −( a . b ) Chú ý: Nếu a . b 0= thì hoặc a=0 hoặc b 0= . Nếu đổi dấu một thừa số thì tích đổi dấu.
Nếu đổi dấu hai thừa số thì tích khơng đổi. 2. Tính chất của phép nhân:
Các tính chất giao hốn, kết hợp, nhân với 1, tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng các số tự nhiên đều cĩ thể mở rộng cho phép nhân hai số nguyên.
Chú ý:
• Phép nhân cĩ tính chất phân phối đối với phép trừ. a (b− =c) ab−ac
• Phép nhân nhiều số cĩ tính chất giao hốn, kết hợp tổng quát.
• Nếu số thừa số âm chẵn thì mang dấu “+”. Nếu số thừa số âm lẻ thì tích mang dấu “–”.
Nâng cao:
1. Lũy thừa bậc chẵn của một số âm là một số dương; Lũy thừa bậc lẻ của một số âm là một số âm.
2. a≥ ⇔b ac≥bc nếu c>0
a≥ ⇔b ac≤bc nếu c<0
3. Giá trị tuyệt đối của một tích các giá trị tuyệt đối, nghĩa là a . b = a . b 4. Với a∈Zthì 2
Thí dụ 32:
Tìm a, b∈Z biết a . b 24= và a+ = −b 10
Giải: Ta thấy ab 0> nên 2 số a và b cùng dấu a+ <b 0 nên 2 số a và b cùng âm.
Do đĩ: a . b 24 ( 1) . ( 24) ( 2) . ( 12) ( 3) . ( 8) ( 4) . ( 6).= = − − = − − = − − = − −
Trong trường hợp trên chỉ cĩ ( 4) . ( 6)− − = −10.
Vậy a= −4 ; b= −6 hoặc a= −6 ; b= −4.
Nhận xét: Trong bài tập trên ta cĩ thể biểu diễn số –10 dưới dạng tổng của hai số nguyên âm. Tất cả cĩ 9 trường hợp đĩ, cĩ một trường hợp cho đáp số như trên. Cách này chưa hay vì phải xét nhiều trường hợp hơn.
Thí dụ 33:
Tìm tất cả các cặp số nguyên sao cho tổng bằng tích.
Giải:
Gọi hai số nguyên đĩ là x, y. Theo đầu bài ta cĩ:
xy= +x y ⇔ xy− − =x y 0 ⇔ xy− − + =x y 1 1 ⇔ x(y 1)− −(y 1)− =1 y 1 x 1 1 x 2; y 2 (y 1)(x 1) 1 y 1 x 1 1 x 0; y 0 − = − = = = ⇔ − − = ⇔ ⇔ − = − = − = = BÀI TẬP 220. Tìm x∈Z biết: a) x(x+3)=0 b) (x−2)(5−x)=0
c) (x 1)(x− 2+ =1) 0
221. Thu gọn các biểu thức sau: a) 7x 19x 6x− +
b) ab ab.− −
222. Cho A=(5m2−8m2−9m )( n2 − +3 4n )3 Với giá trị nào của m và n thì A≥0.
223. Tìm x biết: a) −12(x− +5) 7(3−x)=5 b) 30(x+2)−6(x− −5) 24x=100 224. Tìm x∈Z biết: a) 2x− =5 13 b) 7x+ =3 66 c) 5x− ≤2 13. 225. Tìm x, y∈Z biết: a) (x−3)(2y 1)+ =7 b) (2x 1)(3y+ −2)= −55 226. Tìm x∈Z sao cho (x−7)(x+3)<0
227. Tính giá trị của các biểu thức sau bằng cách hợp lí. a) 125. ( 61). ( 2) . ( 1) (n− − 3 − 2n ∈N )*
b) 136. ( 47) 36. 47− +
c) ( 48). 72 36. ( 304).− + −
228. Tìm x∈Z biết:
b) (x− +3) (x−2)+(x 1)− + +... 10 11 11+ =
229. Cho m và n là các số nguyên dương;
2 4 6 ... 2m A ; m + + + + = B 2 4 6 ... 2n n + + + + = Biết A < B, hãy so sánh m và n.
230*. Cho 16 số nguyên. Tích của 3 số bất kì luơn là một số âm. Chứng minh rằng tích của 16 số đĩ là một số dương.
231. Bỏ dấu ngoặc và thu gọn biểu thức: a) (a b) (a b)+ +
b) (a b) (a b)− −
c) (a b) (a b)+ −
232. Chứng minh rằng trong ba số nguyên liên tiếp thì bình phương của số ở giữa hơn tích của hai số kia đúng 1 đơn vị.
233. Cho a= −20 ; b c− = −5 ; hãy tìm A biết A2 =b (a− −c) c (a−b). 234. Biến đổi tổng thành tích: a) ab ac ad− + b) ac+ad−bc−bd. 235. Cho a, b, c∈Z. Biết 2 ab−ac+bc−c = −1. Chứng minh rằng hai số a và b đối nhau.
236*. Tìm x, y∈Z biết: a) xy 3x+ −7y=21 b) xy 3x+ −2y=11.