Để làm giải tốt các bài toán về chia hết, chúng ta cần sử dụng linh hoạt các phương pháp đã nêu trên, ở nhiều bài toán chia hết chúng ta có thể giải bằng nhiều phương pháp, nhưng có khi cũng một bài toán nhìn có vẻ tương tự như vậy nhưng chỉ có một phương pháp có thể giải quyết. Để mô phỏng về điều này tôi sẽ trích một bài viết của tác giả Nguyễn Đức Tấn trên tạp chí Toán học và tuổi trẻ:
Bài toán: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n n2+ +1 không chia hết cho 9.
Cách 1:(Sử dụng phương pháp xét sốdư)
Ta xét các trường hợp sau:
- Trường hợp 1: n = 3k(k Z∈ ) thì n2+ + =n 1 3k k 1 1( + +) - Trường hợp 2: n = 3k + 1 (k Z∈ )thì n2+ + =n 1 9k k 1 3( + +) - Trường hợp 3: n = 3k + 2 (k Z∈ )thì n2+ + =n 1 3 3k( 2+5k 2 1+ )+
Từ 3 trường hợp trên suy ra n n2+ +1 không chia hết cho 9 với mọi số nguyên n.
Cách 2:(Sử dụng phương pháp tách tổng)
Ta có: n n2+ + =1 (n−1)(n+ +2 3)
Do (n + 2) – (n – 1) = 3 nên (n + 2) và (n – 1) đồng thời hoặc không đồng thời chia hết cho 3 Nếu (n+2 3;) ( n−1 3) ⇒(n−1)(n+2 9) nên (n−1)(n+2 3)+ sẽ không chia hết cho 9.
Nếu (n + 2) và (n – 1) đề không chia hết cho 3 thì (n−1)(n+2 3)+ sẽ không chia hết cho 9. Vậy n n2 + +1 không chia hết cho 9 với mọi số nguyên n.
Cách 3:(Sử dụng phương pháp phản chứng)
Giả sử (n n2+ +1 9.) Đặt n n2+ + =1 9m m Z( ∈ )⇒n n2+ + −1 9m=0 *( ) Phương trình (*) có ∆ =36m− =3 3 12( m−1)
Ta thấy ∆ không thể là số chính phương do chỉ chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9 nên (*) không có nghiệm . Vô lý!
Vậy n n2 + +1 không chia hết cho 9 với mọi số nguyên n.
Cách 4: Ta có: ( 2 ) ( )2
4 n n+ + =1 2n+1 +3 Nếu ( ) ( )2
2n+1 3 ⇒ 2n+1 9 nên ( )2
2n+1 +3sẽ không chia hết cho 9.
Nếu (2n + 1) không chia hết cho 3 thì ( )2
2n+1 không chia hết cho 9 nên ( )2
2n+1 +3sẽ không chia hết cho 3 vì thế cũng sẽ không chia hết cho 9 .
Vậy 4(n n2 + +1) không chia hết cho 9 nên n n2+ +1sẽ không chia hết cho 9 với mọi số nguyên n.
Các bạn rèn luyện khảnăng sử dụng các phương pháp trong chứng minh các bài toán về chia hết thông
qua các bài toán tương tựsau:
1) Chứng minh: n2+11n+39 không chia hết cho 49. 2) Chứng minh: n2+3n+5 không chia hết cho 49. 3) Chứng minh: n2+5n+16 không chia hết cho 169.
Tuy nhiên với bài toán:
Chứng minh: 9n3+9n2+3n−16 không chia hết cho 343 với mọi số nguyên n. Ta dễ thấy với các cách 1, 2, 3 có lẽ chúng ta phải bó tay, khai thác các giải 4 chú ý 343 7= 3
ta có lời giải thật “dễthương” sau: ( )3 3 2 9n +9n +3n−16= 3n+1 −49. Nếu ( ) ( )3 3 3n+1 7 ⇒ 3n+1 7 =343 nên ( )3
3n+1 −49sẽ không chia hết cho 343. Nếu (3n + 1) không chia hết cho 7 thì ( )3
3n+1 −49 không chia hết cho 7 nên ( )3
3n+1 −49 không chia hết cho 343 7= 3 .
Vậy 9n3+9n2+3n−16sẽ không chia hết cho 343 với mọi số nguyên n.
Do đó để giỏi toán chúng ta cần linh hoạt và nắm vững các phương pháp giải để có thể vận dụng tốt ở các bài toán khác nhau!