Đường thẳng d đi qua điểm E song song với A O, cắt BC tại K Chứng minh

//

HK DC.

Lời giải

a) Chứng minh bốn điểm A B O H, , , cùng nằm trên một đường trịn.

Tứ giác ABOH cĩ: ABO 90 (tính chất của tiếp tuyến), lại cĩ H là trung điểm của đoạn thẳng DE OH DE (quan hệ vuơng gĩc với đường kính và dây)

 90

AHO

    tứ giác ABOHnội tiếp đường trịn đường kính AO bốn điểm , , ,

A H O B cùng nằm trên đường trịn đường kính AO.

b) Chứng minh AB BD

AE  BE .

Xét ABD và AEB cĩ: 

BAD chung;

 ABDAEB (gĩc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và gĩc nội tiếp cùng chắn BD)

 .  AB BD

ABD AED g g

AE BE

  ”    (hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).

c) Đường thẳng d đi qua điểm E song song với AO , cắt BC tại K. Chứng minh

//

HK DC .

Ta cĩ  AEKHAO (hai gĩc so le trong d AO// ), mà HAO HBO (hai gĩc nội tiếp cùng chắn OH, tứ giác ABOHnội tiếp)  AEKHBO

tứ giác BHKE cĩ hai đỉnh B E, cùng nhìn cạnh HK dưới gĩc bằng nhau nên là tứ giác nội tiếp

 

HKI HEB

  (hai gĩc nội tiếp cùng chắn HB), lại cĩ  HEBDCB (hai gĩc nội tiếp cùng chắn BD) HKIDCBHEB mà hai gĩc này ở vị trí đồng vị nên HK DC .//

d K H E D C B O A I

Bài 39. Cho đường trịn  O ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Gọi M N, lần lượt là điểm chính giữa của cung nhỏ AB BC, . Hai dây AN CM, cắt nhau tại I . Dây MN cắt các cạnh

,

AB BC lần lượt tại các điểm H K, .

a) Chứng minh bốn điểm C N K I, , , cùng thuộc một đường trịn. b) Chứng minh 2

.

NB NK NM .

c) Chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi.

Lời giải

a) Chứng minh bốn điểm C N K I, , , cùng thuộc một đường trịn.

Vì M là điểm chính giữa ABMAMB (1). Vì N là điểm chính giữa BCNBNC (2).



NIC là gĩc cĩ đỉnh nằm trong đường trịn    2 sd NC sd MA NIC    (3).  NKC là gĩc cĩ đỉnh nằm trong đường trịn    2 sd NC sd MB NKC    (4).

Từ (1); (3); (4) ta cĩ  NICNKC  tứ giác CNKI cĩ hai đỉnh K I, cùng nhìn cạnh

NC dưới gĩc bằng nhau nên là tứ giác nội tiếp  bốn điểm C N K I, , , cùng thuộc một đường trịn. b) Chứng minh 2 . NB NK NM . Xét NBK và NMB cĩ:  BNK chung;  1  2 NBK sd NC (gĩc nội tiếp chắn NC);  1  2 NMB sd NB (gĩc nội tiếp chắn NB); mà N là điểm chính giữa BCNBNC NBK NMB 2 . NB NK NBK NMB NB NK NM NM NB   ”      .

c) Chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi.

Ta cĩ:

 1  1  

2 2

MAI  sd MN sd MBsd NB (gĩc nội tiếp chắn MB) (5).

KH I H I N M O C B A

 1  

2

MIA sd MAsd NC (gĩc cĩ đỉnh nằm trong đường trịn) (6).

Từ (1); (2); (5); (6) ta cĩ MAI MIA MIA cân tại M MIMA mà MAMB

 

MI MB MA

   (7).

Chứng minh tương tự ta cĩ NINBNC (8).

Từ (7) và (8) ta cĩ MN là trung trực của BIMN BI hay HKBI. Do tứ giác CNKI nội tiếp nên IKCINC (hai gĩc nội tiếp cùng chắn IC) mà

 

INCABC (hai gĩc nội tiếp cùng chắn AC) IKC ABC (mà hai gĩc này ở vị trí đồng vị) BH KI// .

Chứng minh tương tự, tứ giác AMHI nội tiếp AHIABCAMIBK HI//  tứ giác BHIK cĩ các cạnh đối song song nên là hình bình hành, lại cĩ HKBI nên hình bình hành BHIK cĩ hai đường chéo vuơng gĩc nên là hình thoi.

Bài 41. Cho đường trịn ( )O và điểm A nằm ngồi đường trịn. Kẻ các tiếp tuyến AB,AC với đường trịn (B,C là các tiếp điểm ).

a) Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp.

b) Gọi E là giao điểm của BC, AO. Chứng minh BE⊥OAvà R2 =OA OE. . c) Trên cung nhỏ BC của đường trịn lấy điểm K bất kỳ (K ≠B C, ). Tiếp tuyến tại

K của đường trịn cắt AB,AC lần lượt tại P, Q. Chứng minh chu vi tam giác APQ

khơng đổi khi K di chuyển trên cung nhỏ BC

Lời giải

Chứng minh

a)Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp.

Ta cĩ AB,AC là các tiếp tuyến với đường trịn ( )O tại B và C OB AB ⇒ ⊥ và OC⊥ AC ABO 90 ⇒ = °và ACO= °90 Xét tứ giác ABOC cĩ:   0 0 0 ABO OCA+ =90 +90 =180

mà 2 gĩc ở ví trí đối nên tứ giác ABOC nội tiếp đường trịn