M A= O − OA= O R Nên
HBC HAC HAB ABCABC ABC
S S S HD HE HF AD+ BE +CF = S +S +S = Chứng minh tương tự ta có: KF FH ; HE EN Do đó: HD HE HF 1 AD+ BE +CF = MD NE KF 1 AD BE CF ⇔ + + = MD 1 NE 1 KF 1 1 3 AD BE CF ⇔ + + + + + = + D 4 MD A NE BE KF CF AD BE CF + + + ⇔ + + = 4 AM BN CK AD BE CF ⇔ + + = (đpcm).
Bài 80. Cho tam giác ABC nhọn (AB>AC), nội tiếp đường tròn (O R; ). Các tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại M. Gọi H là giao điểm của OM và BC. Từ M kẻ đường thẳng song song với AC, đường thẳng này cắt ( )O tại E và F (E thuộc cung nhỏ BC), cắt BC tại I, cắt AB tại K.
a) Chứng minh: MO⊥BC và ME MF. =MH MO. .
b) Chứng minh rằng tứ giác MBKC là tứ giác nội tiếp. Từ đó suy ra năm điểm , , , ,
M B K O C cùng thuộc một đường tròn.
c) Đường thẳng OK cắt ( )O tại N và P (N thuộc cung nhỏ AC). Đường thẳng PI
cắt ( )O tại Q (Q≠P ). Chứng minh ba điểm M N Q, , thẳng hàng.
Lời giải
a) +) Vì MB=MC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
OB=OC (cùng bằng bán kính)
Suy ra OM là đường trung trực của BC Nên OM ⊥BC
+) Xét ∆MEB và ∆MFB có:
BME là góc chung
EBM =BFE ( cùng chắn cung EB ) Suy ra: ∆MEB∽∆MBF(g.g)
2
. ⇒ME = MB ⇒MB =ME MF
MB MF (2)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OBM đường cao BH có: 2
.
MB =MH MO (1)
Từ (1) và (2) ta suy ra MH MO. =ME MF.
b) MKB =BAC do MF AC( // );MCB =BAC ( cùng chắn cung BC )
MKB M CB
⇒ = cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa đường thẳng MB và cùng nhìn
MB
Suy ra tứ giác MBKC là tứ giác nội tiếp
Lại có, tứ giác MBOC nội tiếp vì: 0
90
MBO=MCO= Vậy năm điểm M B K O C, , , , cùng thuộc một đường tròn. c) Xét ∆KIB và ∆CIM có:
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
KIB=CIM ( đối đỉnh)
BKI =ICM ( cùng chắn cung BM )
Suy ra: ∆KIB∽∆CIM (g.g)⇒ IM = IC ⇒IB IC. =IM IK. (*)
IB IK
Xét ∆IBP và ∆ICQ có:
PIB=CIQ ( đối đỉnh)
IBP=QCB ( cùng chắn cung QB )
Suy ra: ∆IBP∽∆IQC(g.g) IP IB IB IC. IP IQ. (**) IC IQ ⇒ = ⇒ = Từ (*) và (**) ta có: IM IK. IP IQ. IM IQ IP IK = ⇒ = Xét ∆IMQ và ∆IPK có IM IQ
IP = IK và MIQ =PIK(đối đỉnh) Suy ra ∆IMQ∽∆IPK (c.g.c) ⇒MKP =MQP
Mà 0 90 MKP= (kề bù với MKO) 0 90 MQP ⇒ = Hơn nữa NQP= °90 180 NQM ⇒ = ° Vậy N Q M, , thẳng hàng.
Bài 81. Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O R; ) với OA<2R. Vẽ hai tiếp tuyến ,
AD AE với ( )O (D E, là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của DE và AO. Lấy điểm M thuộc cung nhỏ DE (M khác D, khác E, MD<ME). Tia AM cắt đường tròn (O R; ) tại N. Đoạn thẳng AO cắt cung nhỏ DE tại K.
a) Chứng minh AO⊥DE và AD2 = AM AN.
b) Chứng minh NK là tia phân giác của góc DNE và tứ giác MHON nội tiếp. c) Kẻ đường kính KQ của đường tròn (O R; ). Tia QN cắt tia ED tại C. Chứng minh: MD CE. =ME CD. .
Lời giải