~E(⃗r,ω−ω
0)=−∞∫∞ E⃗(⃗r,t)exp[i(ω−ω0)t]dt (1.31)
được tìm thấy để thỏa mãn phương trình Helmholtz:
∇2~E+ε(ω)k02~E=0 (1.32)
trong đó k0=ω/c=2π/λ và
là hằng số điện môi có thành phần phi tuyến εNL được trình bày trong biểu thức (1.30).
Hằng số điện môi có thể được sử dụng để xác định chiết suất ~n và hệ số hấp thụ ~α . Khi đó chúng ta đặt:
~n=n+n
2|E|2 , ~α=α+α2|E|2 (1.34)
Bằng cách sử dụng ε=(~n+i~α+2k0)2 trong các biểu thức (1.30) và (1.33) khi đó chiết suất phi tuyến n2 và hệ số hấp thụ hai photon α2 được biểu diễn dưới dạng:
n2=83nRe(χ(xxxx3) ) , α2=34ωnc0Im(χ(xxxx3) ) (1.35)
Sử dụng phương pháp tách biến để giải phương trình (1.32), và giả sử nghiệm của phương trình có dạng:
~E(⃗r ,ω−ω
0)=F(x , y)~A(z,ω−ω0)exp(iβ0z) (1.36) trong đó ~A(z,ω)
là hàm thay đổi chậm của z, β0 là hằng số lan truyền và
F(x, y) là phân bố theo không gian. Phương trình (1.30) dẫn đến hai phương
trình dưới đây cho F(x, y)và~A(z,ω)
: ∂2F ∂x2+ ∂ 2F ∂y2+[ε(ω)k02−~β2]F=0 (1.37) 2iβ0∂~∂Az +(~β2−β02)~A=0 (1.38) Khi thu được phương trình (1.50), đạo hàm thứ hai ∂2~A/∂z2 đã được bỏ qua vì ~A(z,ω)
được coi là hàm thay đổi chậm của z. Hằng số điện môi ε(ω) trong phương trình (1.37) có thể được tính gần đúng theo công thức sau:
ε=(n+Δn)2≈n2+2nΔn (1.39) trong đó Δn là một nhiễu loạn nhỏ được xác định bởi:
Δn=n2|E|2+2i~kα
0
Trong trường hợp tuyến tính β =~β
.Ngược lại, trường hợp phi tuyến ~β
được xác định bằng hằng số lan truyền β cộng với nhiễu loạn nhỏ:
~β(ω)=β(ω)+Δβ (1.41)
Trong đó nhiễu loạn nhỏ được tính theo công thức:
Δβ=k0∫∫−∞∞ Δn|F(x, y)|2dxdx
∫∫−∞∞ |F(x, y)|2dxdx
(1.42)
Sử dụng phương trình (1.25) và (1.34), khi đó điện trường E(r,t) có thể
được viết lại dưới dạng: ⃗
E(⃗r ,t)=12 ^χ{F(x , y)A(z,t)exp[i(β0z−ω0t)]+c.c.} (1.43).
Biến đổi Fourier ~A(z ,ω−ω