tròn giao tuyến có bán kính nhỏ nhất
Cho mặt cầu(S)có tâm I, bán kính Rvà điểm Anằm trong mặt cầu (I A < R). Gọi (P)là mặt phẳng qua điểm Avà cắt mặt cầu theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Ta tìm véc tơ pháp tuyến của(P)
như sau:
• GọiHlà hình chiếu vuông góc của Ilên(P)thì
I H = d(I, (P)); r là bán kính đường tròn giao tuyến. Ta có công thức liên hệ
r =»R2−d2(I, (P))
• Nhận xét rmin khi và chỉ khi d(I, (P))max hay
I Hmax. Điều này xảy ra khi H trùng với A. Khi đóI A ⊥(P). Suy ra(P)là mặt phẳng qua Avà nhận # » I Alàm véc tơ pháp tuyến. P I H A 1. Ví dụ minh họa
d Ví dụ 8. Trong không gianOxyz, cho mặt cầu(S) : x2+y2+z2 =9và điểmA(0,−1, 2). Gọi (P) là mặt phẳng qua A và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có chu vi nhỏ nhất. Phương trình mặt phẳng(P)là
A. y−2z−5=0. B. x−y+2z−5=0.
C. −y+2z+5=0. D. −y+2z−5=0.
Lời giải.
Mặt cầu(S)có tâmI(0; 0; 0), bán kínhR=3. XétI A =√
5<Rnên Anằm trong mặt cầu(S). Nhận xét rằng chu vi đường tròn giao tuyến nhỏ nhất thì bán kínhr của đường tròn đó phải nhỏ nhất.
Theo kết quả của Bài toán 6 thìrminkhiI A ⊥ (P)⇒ # »
I A =(0;−1; 2) là véc tơ pháp tuyến của
(P). Vậy phương trình mặt phẳng(P)lày−2z+5=0.
Chọn đáp án D
2. Bài tập tương tự
Bài 16. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2;−1; 2) và mặt cầu(S) : (x−1)2+y2+z2 = 9. Mặt phẳng qua M cắt(S)theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất có phương trình là
A. x−y+2z−7=0. B. x−y+2z−5=0.
C. 2x−y+z−7=0. D. x+y+2z−5=0.
Bài 17. Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) : (x−1)2+(y−2)2+(z−3)2 = 9 và điểm
A(0; 0; 2). Gọi(P) là mặt phẳng đi qua A và cắt mặt cầu(S) theo thiết diện là hình tròn(C)có diện tích nhỏ nhất. Phương trình mặt phẳng(P)là
A. (P) : 3x+2y+2z−4=0. B. (P) : x−2y+3z−6=0.
C. (P) : x+2y+3z−6=0. D. (P) : x+2y+z−2=0.
BÀI TOÁN