Điều kiện ổn đinh MPC bền vững cho hệ bất định tham số

Giả sử hệ thống là x  f x  với f . không nhất thiết phải liên tục và giả sử hệ bị nhiễu có được mô tả như saux  f x  e w. Ta cũng định nghĩa S  x là tập hợp nghiệm cho hệ thống khi bị nhiễu với giá trị trạng thái đầu là x và chuỗi nhiễu loạn là e:e     0 ,e 1 ,e 2 ,... vàww 0 , w 1 , w 2 ,...       thỏa mãn

 

max e , w , trong đó với mọi chuỗi v, v được hiểu là chuẩn sup,

 

0

supk v k . Ta có định nghĩa của tính bền vững (Teel 2004)

Định nghĩa 3.1 (Ổn định toàn cục tiệm cận bền (GAS)) Cho là tập compact, và cho d x , : min aax a  và x :d x , . Tập là bền vững GAS cho x  f x  nếu tồn tại một lớp hàm  . sao cho với mỗi  0 và mỗi tập compact C, luôn tồn tại  0 thỏa mãn xC và mỗi S x làm cho

 k x; x ,k k 0

Chương 3: Điều khiển dự báo mô hình phi tuyến

37

Chọn tập là tập chỉ bao gồm điểm gốc thì x  x ta thấy rằng nếu điểm gốc là ổn định tiệm cận bền đối với x  f x , thì với mỗi  0 luôn tồn tại  0 sao cho mọi quĩ đạo nhiễu của hệ thống x  f x  e wvới maxe , w đều hội tụ về  ( là hình cầu đơn vị đóng); đây là một tính chất rất đáng chú ý. Nếu trạng thái đầu thỏa mãn 1 

,0

x   thì    1  

; ,0 ,0 2

k x

       với

mọi k£ và cho mọi 0 S.

Ta quay lại với câu hỏi ban đầu: cần điều kiện gì để hệ ổn định tiệm cận bền?

Mệnh đề 3.2 (Hàm Lyapunov và GAS bền vững). Giả sử là tập compact và

 .

f có lân cận bị chặn. Tập là ổn định toàn cục tiệm cận bền cho hệ x  f x 

khi và chỉ khi hệ tồn tại một hàm Lyapunov toàn cục cho .

Chúng ta đã biết, đối với hệ x  f x V R , : n R0 là ổn định Lyapunov toàn cục cho tập nếu tồn tại một hàm  1 . và 2 . và một hàm liên tục xác định dương  . thỏa mãn với mọi xRn

              1 x V x 2 x V f x V x x       

Trong MPC, khó khăn đối với điều khiển tối ưu với của sổ hữu hạn là việc tính toán trực được sử dụng như một hàm Lyapunov. Trong những trường hợp cụ thể, ví dụ với hệ tuyến tính với nhiều ràng buộc, hàm giá trị sẽ là liên tục. Mệnh đề 3.2 đã đưa ra điều kiện ổn định bền phù hợp hơn, vì vùng ta quan tâm đôi khi không phải toàn cục.

Kết quả này có khả năng vận dụng hạn chế do nó chỉ áp dụng được đối với những hệ thống tồn tại  0 xác định rõ giới hạn của nhiễu. Trong phần tiếp theo ta sẽ chỉ ra cách để một hệ bất định với nhiễu bị giới hạn có thể được ước lượng.

Mệnh đề 3.2[4]: đặc trưng cho tính ổn định bền của tập cho hệ x  f x 

38

liên tục cho hệ thống. Mệnh đề thay thế sau đề cập đến tính ổn định bền của cho hệ x  f x  (Teel, 2004)

Mệnh đề 3.3[4]: (Robust GAS and regularization) Giả sử rằng là compact và

 .

f có lân cận bị chặn. Tập là GAS bền cho hệ x  f x  khi và chỉ khi là ổn định toàn cục tiệm cận cho xF x , hợp thức của x  f x 