Bản đồ chiếm dụng và sự biểu diễn robot

Một bản đồ chiếm dụng được tạo ra bởi sự phân chia một cách xấp xỉ các ô có kích thước 𝑒𝑐𝑒𝑙𝑙, là những ô mà biểu diễn trừu tượng của tập phần tử 𝑀 = {1, … , 𝑀}

tương ứng với hệ tọa độ Đề Các, lấy tâm là ô trung tâm 𝑐𝑖 ∈ 𝑅2, 𝑖 ∈ 𝑀. Mỗi ô chứa thông tin chiếm dụng của phần môi trường nó phủ lên. Một hàm chiếm dụng có trọng số 𝜊 𝑖 ∈ 1,2, … , 𝑀𝑐 + 1,∞ , 𝑖 ∈ 𝑀 được sử dụng cho việc đại diện tập tất cả các chướng ngại trong môi trường được ký hiệu bởi 𝑂 = 𝑖 ∈ 𝑀 ∨ 𝑜 𝑖 = ∞ và tập các ô chưa bị chiếm dụng được ký hiệu là N = M\O. Hàm số thể hiện sự chiếm dụng được định nghĩa như sau:

𝑜 𝑖 = 𝑚𝑎𝑥 1, 𝑀𝑐 + 2 − 𝑚𝑖𝑛𝑗 ∈𝑂 𝑐𝑖 − 𝑐𝑗 ∞ if i0

∞ 𝑖𝑓 𝑖 ∈ 𝑂 (1)

Hàm số trên thể hiện thủ tục sinh mặt nạ chi phí an toàn xung quanh các chướng ngại vật bằng cách giảm dần giá trị chiếm dụng tính từ vị trí có chướng ngại vật cho đến vùng không gian trống. Kích thước của mặt nạ chi phí an toàn này được định nghĩa bởi số nguyên định trước của các ô𝑀𝑐. Mặt nạ chi phí an toàn của bản đồ lưới chiếm dụng có trọng số 𝑀𝑐 = 4 ô được thể hiện ở hình bên dưới:

27

Hình 12: Mặt nạ chi phí an toàn của bản đồ lưới chiếm dụng có trọng số 𝑴𝒄 = 𝟒

Ở đây ta giả sử rằng công cụ lau dọn gắn lên robot là một hình vuông có kích thước bằng kích thước của số nguyên các ô và lớn hơn kích thước của robot. Trong tường hợp đó, robot được đại diện bằng một mặt nạ hình vuông trên bản đồ có kích thước bao quát được chu vi của robot. Để cho phép robot được đứng ở bất kỳ một ô nào chưa bị chiếm dụng, tất cả các vật cản được mở rộng cho số nguyên của ô 𝑀𝑅. Ví dụ, robot được biểu diễn bởi mặt nạ hình vuông có kích thước 2 ∙ 𝑀𝑅+ 1 ô. Hình thực của robot và mặt nạ chiếm dụng của nó được mô tả ở hình trên. Vị trí của robot được bố trí ở ô R. Vị trí của vật cản được biểu diễn bởi ô màu đen.

Đồ thị có trọng số không liên kết 𝐺 𝑁, 𝐸, 𝑊 được tạo ra từ bản đồ chiếm dụng bằng cách cho rằng tất cả các ô chưa bị chiếm dụng 𝑁 đại diện cho tập các nút trong đồ thị. Ngoài ra hai nút 𝑖, 𝑗𝜖𝑁 là hàng xóm của nhau nếu 𝑐𝑖 − 𝑐𝑗 ∞= 𝑒𝑐𝑒𝑙𝑙 . Tập các cạnh được định nghĩa là 𝐸 = 𝑖, 𝑗 ∨ 𝑖, 𝑗𝜖𝑁, 𝑖 𝑣à 𝑗 𝑙à 𝑕à𝑛𝑔 𝑥ó𝑚 𝑐ủ𝑎 𝑛𝑕𝑎𝑢 .

Tập các trọng số 𝑊 = 𝑤𝑖,𝑗𝜖𝑁, 𝑖 𝑣à 𝑗 𝑙à 𝑕à𝑛𝑔 𝑥ó𝑚 được định nghĩa là chi phí di chuyển giữa hai hàng xóm, giá trị được xác định như sau:

28

Một đường trong đồ thị 𝐺 𝑁, 𝐸, 𝑊 được định nghĩa là một chuỗi các nút. Ví dụ đường 𝑃 có độ dài 𝐿 được định nghĩa như sau:

𝑃 = 𝑛1,𝑛2,….,𝑛𝐿 nếu 𝑛𝑖, 𝑛𝑖+1 𝜖𝐸, 𝑖 = 1,2, … , 𝐿 − 1 (3)

Chi phí của đường 𝑃là tổng các trọng số của các cạnh nằm trên đường đi đó:

𝑐 𝑃 = 𝐿−1𝑤𝑛𝑖,𝑛𝑖+1

𝑖=1 (4)

Chi phí tối ưu của đường đi từ S tới G được ký hiệu là 𝑔 𝑆, 𝐺 là chi phí tối thiểu trong các đường có thể đi từ S đến G. 𝑔 𝑆, 𝐺 = ∞ nếu không có đường đi từ S đến G. Để ngắn gọn, hàm này sẽ được ký hiệu là g(n) ≡ 𝑔 𝑛, 𝐺 . [5]