4. Ứng dụng của tích phân kép 4.1. Ứng dụng hình học a) Diện tích miền D. D D S dxdy b) Tính thể tích vật thể
i) Vật thể được giới hạn trên bởi z f x y( , ), giới hạn dưới bởi miền D và giới hạn xung quanh bởi các đường thẳng song song với Oz, tựa trên biên D.
( , )
D
D
V f x y dxdy
ii) Vật thể được giới hạn trên bởi z1 f x y1( , ), giới hạn dưới bởi z2 f x y2( , ) và giới hạn xung quanh bởi các đường thẳng song song với Oz, tựa trên biên D.
1 2
[ ( , ) ( , )]
D
D
I. TÍCH PHÂN KÉP
VÍ DỤ
Ví dụ 19. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
2, 2 , 2 2, 3 2
y x y x x y x y .
Ví dụ 20: Tính thể tích vật thể V giới hạn bởi:
2 2 1; 2 2 và 1.
x y x y z z
Ví dụ 21: Tính thể tích vật thể V giới hạn bởi phần hình tru ̣
2 2 1
x y và hai mặt phẳng x y z 5 0, z 2.
Ví dụ 22. Tính thể tích vật thể V giới hạn bởi phần hình tru ̣
2 2 2
I. TÍCH PHÂN KÉP4. Ứng dụng của tích phân kép 4. Ứng dụng của tích phân kép
4.1. Ứng dụng hình học
c) Diện tích mặt cong
Mặt cong S trơn, có phương trình z f x y( , ). Hình chiếu vuông góc của S trên Oxy là D. Khi đó diện tích mặt S được tính theo công thức: 2 2 1 x y D S z z dxdy VÍ DỤ
Ví dụ 23. Tính diện tích phần mặt z 4 x2 y2 nằm trong hình trụ 2 2 2
x y .
Ví dụ 24. Tính diện tích của phần hình trụ x2 y2 a2 bị cắtt bởi hình trụ x2 z2 a2 .
I. TÍCH PHÂN KÉP
4. Ứng dụng của tích phân kép
4.2. Ứng dụng cơ học
a) Tính khối lƣợng của một bản phẳng không đồng chất. Cho một bản phẳng chiếm miền D trong Oxy . Hàm khối lượng riêng ( , )x y . bản phẳng chiếm miền D trong Oxy . Hàm khối lượng riêng ( , )x y . Khối lượng m của bản phẳng cho bởi công thức:
( , )
D
m x y dxdy
b) Trọng tâm của bản phẳng. Cho một bản phẳng chiếm miền D trong
Oxy . Hàm khối lượng riêng là ( , )x y . Gọi G x y( ,G G)là trọng tâm của bản phẳng. Khi đó
( , ) ( , ) ; ( , ) ( , ) D D G G D D x x y dxdy y x y dxdy x y x y dxdy x y dxdy
1. Định nghĩa tích phân bội 3.
2. Các tính chất tích phân bội 3.
3. Cách tính tích phân bội 3.
4. Ứng dụng tích phân bội 3.