Điều khiển tối ƣu là phƣơng pháp điều khiển nhằm xác định luật điều khiển cho hệ thống động cho trƣớc sao cho tối thiểu hóa một chỉtiêu chất lƣợng nào đó. Điều khiển toàn phƣơng tuyến tính LQR (Linear Quadratic Regulator) là phƣơng pháp điều khiển tối ƣu để ố t i thiểu hóa hàm mục tiêu dạng toàn phƣơng.
Đối tƣợng tuyến tínhđƣ c mô tảợ bởi phƣơng trình trạng thái:
t x t u t (3.62)
Trong đó:
t [ t t t]: vector trạng thái t [ t t t ]: vector tín hiệu điều khiển
Bộ điều k ển này hi tínhtoán tín hiệu điều khiển uđể tối thiểu hóa hàm mục tiêu
dạng toàn phƣơng:
∫ (3.63)
Trong đó: Qlà ma trận bán xác định dƣơng và R > 0 chứa các hệ sốdo ngƣời thiết kế chọn trƣớc. Do tín hiệu điều khi n ể theo nguyên lý bộ ph n h i tr ng ả ồ ạ thái nhƣ Hình 3.8.
Hình 3.8. Sơ đồđiều khiển ph n h i trả ồ ạng thái
Nên từcông thức (3.62) dẫn tới:
x t t (3.64)
Với K lấy ra đƣợc từ bi u thể ức:
(3.65)
Và Plà nghiệmcủa phƣơng trình đại số Riccati:
(3.66)
Hàm Hamilton:
Điều kiện cần để có lời giải tối ƣu: - Phƣơng trình trạng thái: t x t u t (3.67) - Phƣơng trình đồng trạng thái: (3.68) - Điều ki n d ng: ệ ừ =0 (3.69) Cách tìm lời giải tối ƣu: - Rút u(t) từ (3.69): (3.70) - Thay (3.70) vào phƣơng trình (3.67) ta đƣợc:
(3.71)
- Kết hợp các phƣơng trình (3.71) và (3.68) ta đƣợc:
[ ] [ ] [ ] (3.72) - Giải phƣơng trình vi phân (3.72), tìm đƣợc và .
- Thay vào phƣơng trình (3.70) ta tìm đƣợc lời giải tối ƣu. Tín hiệu điều khiển tối ƣu:
(3.73)
Trong đó: với P(t) là nghiệm bán xác định dƣơng của phƣơng trình vi phân Ricatti:
(3.74)
3.3.2. Xác định các giá trị L, Q, R
Đểxác định các trọng số L, Q, R theo [20], có các cách sau: Cách 1: Gán giá trị bằng ma trận đơn vị
Chọn Q = I, R = ρIvà ‖ ‖ ‖ ‖. Với Ilà ma trận đơn vị, thay đổi ρ để
có đáp ứng mong đợi.
Cách 2: Xác định các ma trận chéo Q và R là các ma trận chéo
| |, | |
Ví dụ: x1là khoảng cách tính theo mét, x 3là góc quay tính theo radian.
- 1 cm là lỗi cho phép
Suy ra
vì khi - rad là lỗi cho phép
Suy ra vì khi
Tƣơng tự khi xác định các giá trị . Dùri ng đểđiều chỉnh tín hiệu đầu vào và
trạng thái cân bằng.
Cách 3:Xác định dựa vào đầu ra mong muốn
Cho là đầu ra mà chúng ta mong muố ởn giá trị nh . Gi s ỏ ả ử (A, H) có thể quan sát đƣợc.
; . Cân chỉnh ‖ ‖ ‖ ‖ Cách 4: Thử và cân chỉnh:
Xác định Q và R rồi thay đổi các giá trị để đƣợc đầu ra mong muốn. Đây là cách thƣờng đƣợc sử dụng nhất để xác định các giá trị Q, R.
3.3.3. Điều khiển LQR 2 vòng kín [21]
Bộ điều khiển LQR mang lại đáp ứng điều khiển tối ƣu xung quanh điểm cân bằng. Tuy nhiên tín hiệu điều khiển không chứa thành phần tín hiệu đặt từ bên ngoài u
nên hệ thống không có khả năng đáp ứng đƣợc các yêu cầu từ tín hiệu đặt. Trong bài toán nâng hạ vật bằng từ trƣờng này, ta không thể điều khiển đối tƣợng đến vị trí mong muốn(hoặc điều khiển để đáp ứng đầu ra đến giá trị mong muốn). Bộ điều khiển LQR chỉ đóng vai trò làm bộ điều chỉnh tại điểm cân bằng.
Để đồng thời điều khiển cân bằng và điều khiển để đƣa đáp ứng đầu ra đến giá trị đặt, ta phảithiết kế thêm một mạch vòng phản hồi bên ngoài thông qua một biến trạng thái đƣợc đặt thêm vào Biến trạng thái đặt thêm vào phải liên quan đến đáp ứng đầu . ra.
Giả sử mô hình có n biến trạng thái, biến trạng thái xn+1đƣợc đặt thêm liên quan đến đáp ứng đầu ra và đƣợc phản hồi về tạo thành mạch vòng thứ 2. Lúc này hệ có 2
mạch vòng, vòng ngoài phản hồi đáp ứng đầu ra và vòng trong phản hồi bi n tr ng ế ạ thái.
Tín hiệu ra cần điều khiển là :
(3.75)
Đặt thêm biến trạng thái
(3.76)
Hình 3.9. Sơ đồđiều khiển LQR 2 vòng kín
TừHình 3.9 tín hiệu điều khiển tác động đến vật cần điều khiển có 2 vòng kín là:
(3.77)
Ta có thể viết lại phƣơng trình trạng thái của hệ thống 2 vòng phản hồi nhƣ sau: [ ] * +[ ] * + (3.78) Đặt: [ ], * +, * +, [ ] Phƣơng trình có thể viết thành { (3.79)
Với phƣơng trình trên, ta có thể áp dụng thuật toán LQR xung quanh điểm cân bằng X0. Tại vị trí cân bằng, xn+1 = 0 nên sai lệch của giá trị phản hồi và giá trị đặt đƣợc triệt tiêu. Kết quả là, mô hình thực hiện đƣợc điều khiển đầu ra đến giá trị đặt với bộ điều khiển LQR.
3.4. BỘ LỌC KALMAN (KALMAN FILTER)
Bộ lọc Kalman đƣợc đặt theo tên của Rudolf E. Kalman, ngƣời đã công bố lý thuyết này năm 1960. Đây là thuật toán sử dụng chuỗi các giá trị đo lƣờng, bị ảnh hƣởng bởi nhiễu và sai số, để ƣớc đoán biến số nhằm tăng độ chính xác so với việc sử dụng duy nhất một giá trị đo lƣờng. Bộ lọc Kalman thực hiện phƣơng pháp truy hồi
đố ới v i chuỗi các giá trịđầu vào bị nhiễu, nhằm tối ƣu hóa giá trịƣớc đoán trạng thái
của hệ thống.
3.4.1. Bộ lọc Kalman th i gian rờ ời rạc (Discrete-time Kalman Filter) 2] [2
3.4.1.1.Quy trình ước lượng
Bộ lọc Kalman đƣợc xây dựng đểƣớc lƣợng trạng thái của một bộđiều khiển thời gian gián đoạn có trạng thái của hệ thống theo công thức:
Với một đo lƣờng
(3.81)
Các biến tùy ý và lần lƣợt là các nhiễu của quá trình và nhiễu đo lƣờng.
Các nhiễu này đƣợc giả sửlà độc lập với nhau, trắng và có phân bố chuẩn tắc:
(3.82)
(3.83)
3.4.1.2.Các công thứ tính toánc bộ lọc Kalman
Ta đặt là trạng thái trƣớ ƣớc lƣợc ng của quá trình trƣớc bƣớc k, và là trạng thái ƣớc lƣợng của quá trình tại bƣớc k với đo lƣờng . Chúng ta có
thểđịnh nghĩa các sai lệch:
v{ (3.84)
(3.85)
Các hiệp phƣơng sai:
[ ] (3.86)
[ ] (3.87)
Công thức ƣ c lƣớ ợng trạng thái của bộ lọc Kalman:
(3.88)
Kết quả trong công thức (3.83) thể hiện sự sai lệch giữa giá trịđo lƣờng dựđoán và giá trị đo lƣờng thực tế . Nếu kết quả này bằng 0 nghĩa là 2
giá trị đo lƣờng hoàn toàn khớp với nhau.
Ma trận K trong công thức (3.83) đƣợc chọn để tối thiểu trong công thức (3.82).
(3.89)
Theo công thức (3.84), khi ma trận R bằng 0 thì lim
Còn trong trƣờng h p ợ bằng 0 thì: lim
Qua việc xác định giá trị K cho th y r ng n u hiấ ằ ế ệp phƣơng sai R càng tiến đến 0
thì giá trị đo lƣờng thực tế thì càng chính xác trong khi giá trị ƣớc lƣợng càng ít chính xác. Ngƣợc lại, khi hiệp phƣơng sai càng tiến dần về 0 thì giá trịđo thực tế
ng
3.4.2. Bộ lọc Kalman thời gian liên tục (Continuous – time Kalman Filter) [23]
Nếu các giá trị đo lƣờng rời rạc thì bất kể là chúng xuất phát từ hệ gián đoạn hay
hệ liên tục, bộ lọc Kalman thời gian gian rời rạc sẽ đƣợc dùng. Bộ lọc Kalman thời gian liên tục đƣợc sử dụng khi các giá trị đo lƣờng là hàm liên tục.
Lọc Kalman thời gian liên tục có thể lấy dựa theo lọc Kalman thời gian rời rạc với thời gian lấy mẫu tiến đến 0.
Giả s ử ta có biểu di n c a mễ ủ ột mô hình thời gian liên tục:
t x t u t t (3.90
a)
t x t v t (3.90
b) Với t và v t trắng; x ; t , v t , và x
khôngtƣơng quan lẫn nhau. Nếu chu k thỳ ời gian l y m u T nhấ ẫ ỏ, chúng ta có thể ử s dụng x p xấ ỉEuler để chuyển công thức 3.90 v d ng rề ạ ời rạc hóa nhƣ sau:
T Tu (3.91
a)
(3.91
b)
Với T và T trắng; x ; , , và x không tƣơng quan lẫn nhau.
Theo [23] các hiệp phƣơng sai của công thức (3.91) là:
(3.92 ) ( 3.93) (3.94 )
Ta sử dụng các công thức này và để cho T tiến đến 0 để tìm các hiệp phƣơng sai liên tục và hệ số Kalman. Từ công thức (3.93): (3.95) Vì vậy: (3.96) Suy ra: l (3.97)
Từcông thức (3.92) ta đƣợc:
(3.98)
Với: là đại hàm liên quan đến .
Thaycông thức (3.94) vào (3.98) và chia cho T, ta đƣợc:
(3.99)
Khi hiệp phƣơng sai P(t) thỏa mãn:
(3.100)
Khi T tiến dần đến 0 trong công thức (3.99) ta có kết quảlà:
(3.101)
Đây chính là công thức Riccati của hiệp phƣơng sai P(t).
Công thức gián đoạn xấp xỉ của công thức (3.91) là:
[ ] (3.102) Chia cho T ta đƣợc: [ ] (3.103) Khi sẽ: (3.104) t u t t [z t t ] (3.105)
Đây là phƣơng trình cập nhật ƣớc tính và là phƣơng trình vi phân cho ƣớc tính
t với điều kiện ban đầu . Nếu định nghĩa hệ sốKalman liên tục là
(3.106) Khi , ta có:
(3.107)
Và:
Các công thức (3.101), (3.107) và (3.108) là các công thức lọc Kalman thời gian liên tục cho hệ thống theo phƣơng trình (3.90).
KẾT LUẬN CHƢƠNG 3
Chƣơng 3 giới thiệu chung về lý thuyết điều khiển bằng PID, lý thuyết điều khiển
RST vàđiều khiển LQR. Trong đó, chƣơng này giới thiệu chi tiết về hai phƣơng pháp điều khiển RST theo mô hình chuẩn và RST thích nghi theo mô hình chuẩn, chi tiết về phƣơng phƣơng pháp điều khiển LQR hai vòng kín.
Chƣơng 3 cũng giới thiệu về chỉ tiêu chất lƣợng của hệ thống điều khiển trong đó có chỉ tiêu chất lƣợng ITAE dùng làm mô hình chuẩn cho bộ điều khiển RST.
Chƣơng 3 cũng giới thiệu về bộ lọc Kalman và đƣợc sử dụng trong bộ điều khiển
LQR khi có nhiễu.
Cuối cùng các cơ sở lý thuyết này sẽ đƣợc sử dụng để thiết kế các bộ điều khiển nâng hạ vật trong từ trƣờng trong chƣơng 4.
CHƢƠNG 4
THIẾT K B Ế Ộ ĐIỀU KHI N CHO H Ể ỆTHỐNG NÂNG
HẠĐĨA SẮT BẰNG TỪTRƢỜNG 4.1.GIỚI THIỆU CHUNG
Chƣơng 4 sẽ trình bày các bƣớc thiết kế các bộ điều khiển cho hệ thống nâng hạ vật bằng từ trƣờng. Đầu tiên sẽ thiết kế bộ điều khiển PID để mô phỏng lại kết quả của bài báo [1]. Sau đó, tác giả sẽ lần lƣợc thiết kế các bộ điều khiển RST theo mô hình chuẩn và RST thích nghi theo mô hình chuẩn. Cuối cùng bộ điều khiển LQR sẽ đƣợc thiết kế theo mô hình phản hồi 2 vòng kín. Kết quả của các bộ điều khiển RST và LQR sẽ đƣợc phân tích đánh giá để đƣa ra kết luận về khả năng áp dụng các phƣơng pháp này cho mô hình nâng hạ vật trong từ trƣờng.
4.2.THIẾT KẾ BỘĐIỀU KHIỂN PID
Quá trình thiết kế bộ điều khiển chủ yếu tập trung vào việc xác định các thông số của bộ điều khiển PID là Kp, K , Ki d. Các thông số trong đề tài này sẽ lấy giống nhƣ trong bài báo [1] đƣa vào Simulink để mô phỏng.
Các giá trị của bộ PID của bài báo [1]đƣợc đƣa ra nhƣ Bảng 4.1bên dƣới.
Bảng 4.1: Thông số bộ PID
Tham số Giá trị
Proportional (P) Kp 10 Integral (I) Ki 4 Derivative (D) Kd 0.2
Sơ đồ mô phỏng trên Simulink của điều khiển PID khá đơn giản với với bộ điều khiển PID và đối tƣợng, sơ đồ mô phỏng này đƣợc trình bày nhƣ Hình 4.1.
Hình 4.1. Mô hình PID– levitation system
Kết quả mô phỏng của bộ điều khiển PID đƣợc thể hiện trong Hình 4.2.
Hình 4.2. Kết quảmô phỏng hệ thống khi điều khiển PID
Trong Hình 4.2, đƣờng đặc tính ở hình trên thể hiện cho giá trị đặt của tínhiệu đầu vào (biến thiên điện áp sensor, Delta e), giá trị đặt thay đổi 0.05V so với vị trí cân bằng e0 = 4.2V tại các giây thứ 11 và giây thứ 5. Đƣờng đặc tính bên dƣới thể hiện đáp ứng đầu ra (giá trị thay đổi của biến thiên điện áp Delta e) theo tín hiệu đặt đầu vào. Kết quả đáp ứng đầu ra của bộ PID cho kết quả là thời gian đáp ứng rất nhanh (0.5ms) và độ quá điều chỉnh nhỏ (2%). Ở trạng thái xác lập tuy đáp ứng đầu ra dao động nhƣng rất nhỏ chỉ khoảng 4 .10-5V (1 phần nghìn so với giá trị đặt) nhƣ Hình 4.3.
Hình 4.3. Dao động Delta e của đáp ứng đầu ra với bộđiều khiển PID
Tuy vậy, để đánh giá chính xác về chất lƣợng của bộ điều khiển, ta xét thêm về điện áp đặt vào đối tƣợng khi có sự thay đổi về tín hiệu đặt. Kết quả mô phỏng điện áp đặt vào đối tƣợng đƣợc điều khiển nhƣ trong Hình 4.4.
Hình 4.4. Kết quảmô phỏng điện áp đặt vào đối tượng với điều khiển PID
Từ Hình 4.4cho thấy biến thiên điện áp đặt vào đối tƣợng rất lớn khi tín hiệu đặt
lên đến 12.5V. Giá trị này lớn gấp 6.25 lần so với điện áp đặt vào đối tƣợng khi ở trạng thái cân bằng d0 = 20mm (v = 2V). 0
Khi thay đổi các hệ số Kp, K , Ki dthì đáp ứng của hệ cũng không tốt hơn. Nhƣ vậy, mặt dù bộ điều khiển PID mô phỏng với các thông số nhƣ trong bài báo
[1] cóthời gian đáp ứng nhanh nhƣnggặp các hạn chế là biến thiên điện áp đặt vào đối tƣợng lại quá lớn, vƣợt quá khả năng của đối tƣợng. Do đó, điều khiển PID không mang lại đáp ứng tốt cho hệ này, chỉ có ý nghĩa trong mô phỏng.
4.3.THIẾT KẾ BỘĐIỀU KHIỂN RST THEO MÔ HÌNH CHUẨN
Quá trình thiết kế bộ điều khiển RST theo mô hình chuẩn gồm hai phần chính:
- Xác định mô hình chuẩn ( ;
- Xác định các đa thức R, S, T từ việc giải phƣơng trình Diophantine.
Sơ đồ khối của bộ điều khiển RST theo mô hình chuẩn nhƣ Hình 4.5bên dƣới:
Hình 4.5 S: ơ đồ khối của bộ điều khiển RST theo mô hình chuẩn
4.3.1. Xác định mô hình chuẩn
Hàm truyền đạt của đối tƣợng tại điểm cân bằng d0 = 20mmđã đƣợc tuyến tính hóa là:
(4.1)
Cho hàm truyền đạt của mô hình chuẩn Điều ki n t n t i l i giệ ồ ạ ờ ải bài toán điều khiển theo mô hình chuẩn nhƣ phần lý thuyết đã nêu ởChƣơng 3:
Bậc() – bậc() ≥ bậc(M) b– ậc(N) (4.2) Suy ra:
Bậc() – bậc() ≥ 3 - 2 = 1 (4.3)
Theo mô hình chuẩn đã nêu theo công thức (3.21), tất cả các dạng mô hình chuẩn theo ITAE đều thỏa mãn điều kiện này. Tuy vậy mô hình chuẩn theo ITAE 3 có
mẫu sốlà đa thức b c 3 giậ ống nhƣ mẫu s cố ủa hàm truyền đạ ủa đối tƣợng nên trong t c
tính toán này ta chọn mô hình chuẩn theo ITAE3.
(4.4) Chọn công thức (4.4) trởthành: (4.5) 4.3.2. Xác định các đa thức R, S, T
Từ các công thức của mô hình đối tƣợng (4.1) và mô hình chuẩn (4.5) ta có bậc của các đa thức M, N, lần lƣợt là: - Bậc (M) = 3; - Bậc (N) = 2; - Bậc ( = 3; - Bậc ( = 0. Bƣớc 1: Phân tích , (4.6) Ta có: bậc ( = 2 và bậc ( = 0. Bƣớc 2: Kiểm tra các điều ki n tệ ồn tại l i giờ ải: Phân tích (4.7) Suy ra: 27000, bậc( = 0. (4.8)
Điều kiện tồn tại lời giải bài toán điều khiển theo mô hình chuẩn: Bậc() – bậc() ≥ bậc(M) –bậc(N) (4.9)
Tƣơng đƣơng:
3 - 0 ≥ 3 – 2 (4.10)
Điều kiện đƣa ra là đúng nên bài toán điều khiển theo mô hình chuẩn có lời gi i. ả Bƣớc 3:Chọn bậc Bậc( ≥ 2bậc( ) M – bậc() – bậc( – 1 .11) (4 Bậc( ≥ 2 x 3 3 2 1 = 0 – – – Chọn bậc( = 0, chọn (4.12) Bƣớc 4: chọn bậc và S Bậc( = bậc( + bậc() –bậc(M) = 0 + 3 – 3 = 0. (4.13) Bậc(S) = min{[bậc( + bậc( ], [bậc( + bậc() – bậc ( ]} (4.12)
min{[0 + 2],[0 + 3 0]} = – min{2, 3} = 2 = Tổng quát: (4.14) (4.15) Bƣớc 5:tính và S bằng cách giải phƣơng trình Diophantine
)+ = ).1 { { Thay s ố vào, ta đƣợc: { (4.16) Bƣớc 6:tính T và R { (4.17)
4.3.3. Mô hình hóa trên Matlab simulink
Mô hình hóa điều khiển RST theo mẫu cho đối tƣợng đang ở trạng thái cân bằng,
giá trị đặt là biến thiên điện áp sensor (Delta e) là 0.05V, thay đổi tăng và giảm tại các giây thứ 11 và giây thứ 15 để kiểm tra khả năng đáp ứng “bám” theo mẫu của RST.
Hình 4.6. Mô hình hóa điều khiển theo RST theo mô hình chuẩn