Nhận xét 2.5.1. Với hai đại số Lie g,h và τ ∈Hom(g,Derh), một đại số Lie
f có thể được xây dựng từ tích Đề-các g×h. Đại số Lie mới này có thể là một tổng trực tiếp của hai đại số Lie hoặc là tổng nửa trực tiếp của hai đại số Lie. Có hai khả năng là:
1. Nếu Kerτ =g thì f=g⊕h và
[(A, X),(B, Y)] = ([A, B],[X, Y]), ∀A, B ∈g, ∀X, Y ∈h.
2. Nếu Kerτ 6=g thì f=g⊕τ h và
[(A, X),(B, Y)] = ([A, B],[X, Y] +τ(A)Y −τ(B)X), ∀A, B ∈g, ∀X, Y ∈h.
Định lí Levi cho ta chiều ngược lại. Theo định lí Levi, mọi đại số Lie f đều có dạng là tổng nửa trực tiếp của hai đại số Lie thành phần g và h, trong đó g thay cho một đại số Lie nửa đơn, gọi là nhân tử Levi, và h là iđêan giải được cực đại, gọi là căn. Từ đó đại số Lie cong có thể tác động lên iđêan h và dẫn đến hai trường hợp:
1. Nếu [g,h] = 0 thì f=g⊕h.
2. Nếu [g,h]6= 0 thì tồn tại một biểu diễn τ của đại số Lie con h.
Khi đó, adA(X) = τ(A)X với mọi A∈g, X ∈h và f=g⊕τ h.
Hệ quả 2.5.2. Nếu g= Kerτ thì từ Định lí 2.3.3 ta có
Z(g⊕τ h) =Z(g)∩Kerτ ×Z(h)∩Kerτ(g).
Nói cách khác, với mọi A∈g và với mọi B ∈h, ta có:
(A, B)∈Z(g⊕τ h) nếu và chỉ nếu
A∈Z(g) và τ(A)h= 0; B ∈Z(g) và τ(g)B = 0.
Chứng minh. Vì g= Kerτ nên τ(A) = 0, τ(X) = 0, ∀A, X ∈g.
• Với mọi (A, B),(X, Y)∈Z(g⊕τ h). Vì [(A, B),(X, Y)]τ = 0 nên ta có ([A, X],[B, Y] +τ(A)Y −τ(X)B)) = (0,0).
Khi đó
([A, X],[B, Y]) = (0,0). Từ đây suy ra [A, X] = 0 và [B, Y] = 0.
Hơn nữa A∈g= Kerτ và B ∈Kerτ(g).
Suy ra (A, B)∈Z(g)∩Kerτ×Z(h)∩Kerτ(g).
Vậy Z(g⊕τ h)⊂Z(g)∩Kerτ ×Z(h)∩Kerτ(g).
• Với mọi (A, B)∈Z(g)∩Kerτ ×Z(h)∩Kerτ(g), ta có:
A∈Z(g)∩Kerτ suy ra A∈Z(g) và A∈Kerτ.
Từ đó ta có [A, X] = 0, ∀X ∈g và τ(A) = 0.
Ngoài ra, B ∈Z(h)∩Kerτ(g) suy ra B ∈Z(h) và B ∈Kerτ(g).
Do đó [B, Y] = 0, ∀Y ∈h.
Với mọi (X, Y)∈Z(g⊕τ h) ta có
[(A, B),(X, Y)]τ = ([A, X],[B, Y] +τ(A)Y −τ(X)B) = (0,0).
Suy ra (A, B)∈Z(g⊕τ h).
Do đó
Z(g)∩Kerτ ×Z(h)∩Kerτ(g)⊂Z(g⊕τ h).
Vậy
Z(g⊕τ h) =Z(g)∩Kerτ ×Z(h)∩Kerτ(g).
Nhận xét 2.5.3. Tổng nửa trực tiếp của các đại số Lie dạng Kerτ ⊕τ h là
đại số Akivis. Đại số Akivis trong lý thuyết đại số không kết hợp đóng vai trò như là đại số Lie trong lý thuyết đại số kết hợp.
Đại số Akivis có thể được xây dựng như sau: Cho một không gian vectơ V trên trường K, một hoán tử song tuyến tính [ , ] và một liên hợp tam tuyến tính [ , , ], trong đó các quan hệ sau đây đúng với mọi A, B, C ∈V:
(i) [A, B] =ABBA,
(ii) [A, B, C] = (AB)CA(BC),
(iii) [[A, B], C] + [[B, C], A] + [[C, A] +B] =
= [A, B, C] + [B, C, A] + [C, A, B]−[A, C, B]−[B, A, C]−[C, B, A].
Quan hệ (iii) được gọi là đồng nhất thức Akivis và quy về đồng nhất thức Jacobi với đại số kết hợp. Do đó đại số Akivis là một sự mở rộng của đại số Lie.
Hệ quả 2.5.4. Với mọi X ∈g ta có
adX×τ(X)∈Der(g⊕τ h), ∀X ∈g.
Chứng minh. Với mọi X, A∈g ta có
τ[X, A] = [τ(X), τ(A)]. Suy ra
τ(adX(A)) = [τ(X), τ(A)].
Do đó
(τ ◦adX)(A) = [τ(X), τ(A)].
Áp dụng Định lý 2.3.5 ta được adX×τ(X)∈Der(g⊕τ h).
Nhận xét 2.5.5. Ta đã biết rằng với mọi đại số Lie g, tập hợp adg các đạo
hàm trong củag tạo thành một iđêan của Der(g), tức là [∂,adA] = ad∂(A), ∀∂ ∈Der(g), ∀A∈g.
Ta cũng có điều tương tự cho tổng nửa trực tiếp của các đại số Lie.
Bổ đề 2.5.6. Cho tổng nửa trực tiếp g⊕τ h của đại số Lie g và h. Khi đó,
[τ(A),adB] = adτ(A)B, ∀A∈g, ∀B ∈h.
Chứng minh. Lấy Y ∈h. Vì τ(A)∈Derh nên ta có [τ(A),adB](Y) =τ(A)◦adBY −adB◦τ(A)Y
=τ(A)[B, Y]−[B, τ(A)Y]
= [τ(A)B, Y] + [B, τ(A)Y]−[B, τ(A)Y] = [τ(A)B, Y]
= adτ(A)BY.
Nhận xét 2.5.7. Theo Định lí Engel, đại số Lie hữu hạn chiều g là lũy linh
nếu và chỉ nếu adg là đại số Lie lũy linh.
Từ đó suy ra rằng nếu glà đại số Lie lũy linh và h là đại số Lie con của g thì tổng nửa trực tiếp g⊕adh cũng là đại số Lie lũy linh. Vì mọi đại số Lie lũy linh đều giải được nên g⊕adh cũng giải được.