ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU DƯỚI NGÔN NGỮ HÀM

Nếu các hàm g0, g1,. . . , gq trong bài toán P1 là hai lần khả vi liên tục tại x*, thì điều kiện đủ cấp 2 cổ điển cho bài toán P1 cho dưới ngôn ngữ hàm Lagrange.

Ta sẽ trình bày một Định lý về điều kiện đủ tối ưu dưới ngôn ngữ các nhân tử.

Định lý 2.6 [Clarke].

Giả sử x*  W là một cực tiểu địa phương của bài toán P1. Khi đó, tồn tại các số a và các vectơ i* v với i = a, *i 1, ..., q sao cho

(a) a khác không với ít nhất một trong i* {0,1, ..., q};

(b) a ≥ 0 với i = 0,1, ..., m; i*

(d) v i* gi(x*) với mọi i = 0,1, ... q;

(e) 0 = a v0 0* *a v1 1* *...a vq q* *

Dưới đây ta cũng sẽ giả sử

nếu chẳng hạn bài toán P1 là “yên tĩnh” [3]

Nhận xét 2.8

Giả sử x*  W, các hàm gi là bán trơn tại x*, có hàm g0, ..., gma*m+1 gm +1, ..., a*qgq là chính quy dưới vi phân tại x*, và Định lý 2.6 (a) – (f)đúng. (phải nhấn mạnh rằng ta không giả thiết x* là một cực tiểu địa phương).

Bây giờ ta định nghĩa một hàm giá trị thực L trên W

* 0 ( ) ( ), q i i i L x a g x x W    .

Từ Mệnh đề 2.1 ta suy ra L là bán trơn và chính quy dưới vi phân tại x*

và * 0 ( *) ( *) q i i i L x a g x     (2.16) Từ Định lý 2.6 (e)và (2.16) suy ra 0 L (x*). Căn cứ như trong Nhận xét 2.5, ta có thể đưa vào nón lồi đóng

( ) { n: ( *; ) 0}

K K L  dR L x d  .

Định lý 2.7

Giả sử x*  S ∩ W, các hàm gi là bán trơn tại x*, và các hàm g0, g1, ... gm, gma*m+1 gm +1, ..., a*qgq là chính quy dưới vi phân tại x*, trong đó ta giả sử x*, a*, và v*0, v*1, ..., v*q thỏa mãn Định lý 2.6 (a) – (f). Ký hiệu I { :1i  i m, &a*i 0}.

Giả sử

limsup .(vk xk x*)/ |xk x*| 0,

với mọi dãy {xk} và {vk} thỏa mãn các điều kiện:

(i){xk} hội tụ tới x* theo phương d với xk S với mỗi k;

(ii){vk} hội tụ về 0 với vk ∂L(xk) với mỗi k;

(iii) g'i(x*; d) = 0 với mọi i  I

Khi đó, nếu C là một nón đóng mà C int( ) {0}K  tồn tại số dương δ sao cho g0(x)> g0(x*) với mọi x  B x( *, ) (Cx*)S và xx*, ở đây int(K) ký hiệu phần trong của K.

Chứng minh

Giả sử kết luận là sai. Chọn một dãy {δk} các số dương giảm đến

0. Với mỗi số nguyên dương k, tồn tại xk B x( *, ) (Cx*)S sao cho xk  x*và

0( )k 0( *) 0

g x g x  . (2.17)

Đặt tk = | xk – x* |> 0, và dk = (xk – x*) / tk. Mỗi dk C và do đó ta có thể giả sử {dk} hội tụ đến một vectơ đơn vị d trong C. Ta áp dụng Định lý giá trị trung bình của Lebourg và nhận được zk và zki trong phần trong

của các đoạn thẳng nối xk với x*, vectơ vk  ∂L(zk) và vki  ∂gi(xki) sao

cho

( ) ( *) . 1, 0,1,..., .

i k i ki k k

g x g x v t d k  i  q (2.19)

Như trước, ta có thể giả sử {vk} hội tụ đến v~ trong dL x( *) và {vki} hội

tụ đến vi~ trong dg xi( *) (với i = 0, 1, …, p).

Bởi vì mỗi xk S, theo Định lý 2.5 (b), (c), ta có

L(xk) – L (x*) ≤ g0(xk) – g0(x*). Từ (2.17), (2.18) và (2.19) ta suy ra với mọi k

0 . . 0, . 0, . 0, k k k k ki k ki k v d v d v d v d     với iI, với m i q (2.20) Từ (2.20), ta có v d~. 0, .v di~ 0 với i  I{0}, và v d~. 0 với

m <i ≤ q. Bởi vì L là bán trơn và chính quy dưới vi phân tại x*, và

v  ∂d L (x*), 0  ∂L (x*), ta có

~. '( *; ) 0( *; ) 0

v d L x d L x d  .

Từ đó, ta suy ra v d~. 0.

Bây giờ ta muốn chỉ ra rằng v~ 0. Do d  C, d phải thuộc int(K). Nếu v~ khác không, theo Nhận xét 2.2, với số dương t,

L x d0( *; tv~)v~.(d tv~)t v| ~ 2| 0.

Ta suy ra dtv~không thể thuộc K (đối với t > 0). Do đó, d không thể thuộc int (K), mâu thuẫn. Vì vậy, ta đã chỉ ra được v~= 0. Do (2.20), ta có

49 . limsup k k 0 k v d t  . (2.21)

Như vậy, nếu ta có thể chỉ ra rằng g’i(x*; d) = 0 với mọi i  I, thì (2.21) sẽ cho ta mâu thuẫn.

Do v~=0, ta có ~ * ~ * ~ * ~ 0 0 0 0 . ( . ) ( . ) ( . ) q i i i i i i I v d a v d a v d a v d       .

Bởi vì v di~. 0 với mọi i  I {0}, ta suy ra v di~. 0 với mọi i  I. Bởi vì mỗi gi là bán trơn và mỗi vi~  ∂dgi (x*), ta nhận được

~ '

0v di . g x di( *; ) với mọi i I. □

Nhận xét 2.9

Giả sử rằng, trong Định lý 2.6, các hàm gi là khả vi liên tục tại

x*. Khi đó Định lý 2.6 (e) trở thành L x( *) 0 và ta có K = Rn. Trong trường hợp này, ta chọn C = K = Rn và như vậy ta nhận được một điều kiện đủ tối ưu.

Nếu các hàm gilà hai lần khả vi liên tục ở gần x*, ta có thể tiến hành như trong ví dụ 2.2 và từ Định lý 2.6 ta nhận được một điều kiện đủ tối ưu cấp hai cổ điển.

Sử dụng Định lý 2.6 và phương pháp chứng minh của Định lý 2.1 ta nhận được Định lý sau đây:

Định lý 2.8

Giả sử rằng giả thiết của Định lý 2.6 đúng, loại trừ điều kiện liên quan đến nón C, H như trong (2.2) và b(K(L)) là biên của nón K(L). Giả sử 2 .( *) limsup 0 | *| k k k v x x x x    ,

với mọi dãy {xk} và {vk} thỏa mãn điều kiện (i) – (iii) của Định lý 2.1 và điều kiện d b (K(L)).

Khi đó, tồn tại số dương δ sao cho

0( ) 0( *)

KẾT LUẬN

Luận văn đã trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 cho cực tiểu địa phương chặt cấp 2 của Chaney [6,7] cho bài toán với ràng buộc tập và bài toán với hữu hạn ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức, trong đó hàm mục tiêu và các hàm ràng buộc là Lipschitz địa phương. Các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 được phát biểu dưới ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke của hàm bổ trợ cho hàm mục tiêu và hàm quy gọn kiểu Ioffe [9]. Luận văn cũng trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 cho các bài toán trên với các hàm bán trơn theo nghĩa Mifflin [11] và hàm chính quy dưới vi phân theo nghĩa Clarke [5].

Lý thuyết các điều kiện cần và đủ tối ưu cấp 2 cho các bài toán không trơn dưới ngôn ngữ các dưới vi phân khác nhau đã và đang được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

TÀI LIỆU TIẾNG VIỆT

[1] Đỗ Văn Lưu (1999), Giải tích Lipschitz, NXB Khoa học & Kỹ thuật, Hà Nội.

[2] Đỗ Văn Lưu và Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa học & Kỹ thuật, Hà Nội.

TÀI LIỆU TIẾNG ANH

[3] F.H. Clarke, A new approach to Lagrange multipliers, Math. Operations Res, 1(1976), pp.165–174.

[4] F.H. Clarke, Generalized gradients and applications, Trans. Amer. Math. Soc, 205 (1975),pp. 247–262.

[5] F.H. Clarke (1983), Optimization and Nonsmooth Analysis, Wiley Interscience, New York, USA.

[6] R.W. Chaney (1982), Second-order sufficiency conditions for nondifferentiable programming problems, SIAM J. Control and optimization, vol 20, 20 – 33.

[7] R.W. Chaney (1983), A general sufficiency theorem for nonsmooth nonlinear programming, Transactions of the American Mathematical Society, vol 276, 235 – 245.

[8] R. W. Chaney (1982), Second–order sufficiency conditions for nondifferentiable programming problems, SIAM J. Control Optim. vol 7, 463–475.

[9] A.D.Ioffe, Necessary andsufficient conditions for a local minimum . 1: A reduction theorem and first–order conditions, SIAM J. Control and optimization, 17 (1979), pp. 245–250.

[10] A.D.Ioffe, Necessary and sufficient conditions for local minimum. 3; Second–order conditions and augmented duality, SIAM J. Control and optimization, 17 (1979), pp. 266–288.

[11] R. Mifflin (1977),Semismooth and semiconvex functions in constrained optimization, this Journal, 15, pp. 959–972.

[12] R.T. Rockafellar, Convex Analysis, Princeton Univesity Press, Princeton, NJ, 1970.

[13] R.T. Rockafellar, Directionally Lipschitzian functions in and subdifferential calculus, Proc..London Math. Soc., 39 (1979) pp. 331– 355.

[14] R.T. Rockafellar (1982), Lagrange Multipliers and subderivatives of optimal value functions in nonlinear programming, Math. Programming study 17, 28 – 66.