Phân tích động của một biến số trong kinh tế đòi hỏi ta xác định hàmy =y(t)vớitlà biến số thời gian. Trên thực tế, việc đo đạc và phân tích các biến số được tiến hành rời rạc theo thời gian: theo giờ, ngày, tháng, ... tức là theo các thời kì đều đặn.
1. Các khái niệm
a. Sai phân:
Sai phân (cấp 1) của hàm số y=yt là độ chênh lệch giá trị của hàm số này tại 2 thời kì kế tiếp. Kí hiệu: ∆yt. Vậy
∆yt=yt+1−yt
Sai phân cấp n của hàm sốy =yt là sai phân của sai phân cấpn−1của hàm số đó. Kí hiệu: ∆nyt. Vậy ∆nyt= ∆(∆n−1 yt) = ∆n−1 yt+1−∆n−1 yt Tôn Thất Tú 2/27 Ví dụ 1
Hãy biểu diễn sai phân cấp 2 và cấp 3 của hàm số y=yt quayt, yt+1, yt+2, yt+3.
Giải. Ta có:
∆yt=yt+1−yt
∆2yt= ∆(yt+1−yt) = ∆yt+1−∆yt= (yt+2−yt+1)−(yt+1−yt) =yt+2−2yt+1+yt ∆3
yt= ∆yt+2−2∆yt+1+ ∆yt=yt+3−3yt+2+ 3yt+1−yt
Công thức sai phân tổng quát ∆nyt= n X i=0 (−1)iCniyt+n−i Tôn Thất Tú 3/27 Ví dụ 2
Cho hàm số yt=t3 vớit= 0,1,2,3, . . .. Tìm sai phân cấp 1, 2 và 3 của hàm số này.
Giải. Ta có: ∆yt=yt+1−yt= (t+ 1)3−t3= 3t2+ 3t+ 1 ∆2 yt= ∆(3t2 + 3t+ 1) = 3(t+ 1)2 + 3(t+ 1) + 1−(3t2 + 3t+ 1) = 6t+ 6 ∆3yt= ∆(6t+ 6) = 6(t+ 1) + 6−(6t+ 6) = 6 ∆4 yt= ∆5 yt=...= 0 Nhận xét
ChoPn(x)là một đa thức bậcn. Khi đó:∆Pn(x),∆2Pn(x), ...,∆nPn(x)là các đa thức bậc n−1, n−2, ...,0. Do đó:
- Phương trình sai phânlà phương trình chứa biến sốt∈N, hàm sốytchưa biết và các sai phân các cấp của yt, tức là phương trình có dạng
F(t, yt,∆yt,∆2
yt, . . . ,∆nyt) = 0
- Cấp cao nhất của sai phân của hàm số yt có mặt trong phương trình gọi là cấp của phương trình sai phân.
Ta có thể viết phương trình sai phân cấp ndưới dạng: F(t, yt, yt+1, . . . , yt+n) = 0
- PTSP được gọi là phương trình ôtônôm nếu nó không chứa biếnt.
Tôn Thất Tú 5/27
c. Nghiệm của phương trình sai phân
- Nghiệm của phương trình sai phân cấpn là một hàm sốyt mà khi thay nó và các sai phân các cấp của nó vào phương trình ta được một đồng nhất thức.
- Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân cấp n là hàm số có dạng yt = f(t, C1, C2, . . . , Cn) với C1, C2, . . . , Cn là các hằng số tùy ý thỏa mãn phương trình này.
- Nghiệm riêng của phương trình sai phân cấp n là hàm số suy ra từ nghiệm tổng quát bằng cách cho mỗi hằng sốCi, i= 1, n một số thực xác định cụ thể nào đó.
Tôn Thất Tú 6/27
2. Phương trình sai phân cấp 1
2.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 Phương trình có dạng:
ayt+1+byt=c (1)
với t= 0,1,2,3, . . .,a, b, c có thể phụ thuộc vàot,a6= 0, b6= 0.
+ Nếuc≡0 thì phương trình được gọi làPTSP tuyến tính cấp 1 thuần nhất. + Nếuc6≡0 thì phương trình được gọi làPTSP tuyến tính cấp 1 không thuần nhất. Ta chỉ xét phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 với hệ số hằng. Khi đó phương trình (1) có thể viết dưới dạng:
yt+1=pyt+qt, trong đó p là hằng số.
2.2 PTSP tuyến tính cấp 1 thuần nhất với hệ số hằng Xét phương trình sai phân:
yt+1 =pyt Nghiệm tổng quát của nó là:
yt=C·pt Ví dụ 3
Giải PTSP:
a)yt+1+ 6yt= 0 b)yt+1−7yt= 0
Giải.
a) yt=C.(−6)t, C =const b) yt=C.7t, C =const
Tôn Thất Tú 8/27
2.3 PTSP tuyến tính cấp 1 không thuần nhất với hệ số hằng Xét phương trình sai phân:
yt+1 =pyt+qt
Các bước giải:
- Bước 1: Tìm nghiệm tổng quátyt của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất liên kết:
yt=C·pt - Bước 2: Tìm nghiệm riêngy∗
t của phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất.
- Bước 3: Tìm nghiệm tổng quát yt:
yt=yt+y∗
t
Tôn Thất Tú 9/27
Phương pháp hệ số bất định để tìm nghiệm riêng
Dạng 1: qt=Qk(t)αt và α6=p,Qk(t) - đa thức bậc ktheot Khi đó nghiệm riêng có dạng:
y∗
t = (aktk+ak−1tk−1
+....+a1t+a0)αt
Lưu ý: Nếu qt=Qk(t) thì ta có thể viếtqt=Qk(t)·1t Ví dụ 4
Giải các PTSP sau
a)yt+1−15yt= 8 b)yt+1−2yt= 2t+ 1 c)yt+1 = 3yt+t2t d)yt+1−2yt= 3t
a) Nghiệm TQ của PTTN: y¯t=C.15t Nghiệm riêng có dạng: y∗
t =A. Thay vào: A−15A= 8⇔A=−4/7. Nghiệm TQ của PT ban đầu: yt= ¯yt+y∗
t =C.15t−4/7, C =const. b) Nghiệm TQ của PTTN: y¯t=C.2t
Nghiệm riêng có dạng: y∗
t =At+B.
Thay vào: A(t+ 1) +B−2(At+B) = 2t+ 1⇔A=?, B=?. Nghiệm TQ của PT ban đầu: yt= ¯yt+y∗
t =?, C =const. c) Nghiệm TQ của PTTN:y¯t=C.3t Nghiệm riêng có dạng: y∗ t = 2t(At+B). Thay vào: 2t+1 (At+A+B) = 3∗2t(At+B) +t∗2t⇔A=?, B=?. Nghiệm TQ của PT ban đầu: yt= ¯yt+y∗
t =?, C =const. d) Tự giải.
Tôn Thất Tú 11/27
Phương pháp hệ số bất định để tìm nghiệm riêng
Dạng 2: qt=Qk(t)αt và α=p,Qk(t) - đa thức bậc ktheot Khi đó nghiệm riêng có dạng:
y∗ t =t(aktk+ak−1tk−1+....+a1t+a0)αt Ví dụ 5 Giải các PTSP sau a)yt+1 =yt+ 2 b)yt+1−yt=t+ 1 c)yt+1= 2yt+ 2t d)yt+1−7yt= 7.7t Tôn Thất Tú 12/27 Giải. a) Nghiệm TQ của PTTN: y¯t=C Nghiệm riêng có dạng: y∗ t =At.
Thay vào: A(t+ 1) =At+ 2⇔A= 2. Nghiệm TQ của PT ban đầu: yt= ¯yt+y∗
t = 2t+C, C =const. b) Nghiệm TQ của PTTN: y¯t=C
Nghiệm riêng có dạng: y∗
t =t(At+B).
Thay vào: (t+ 1)(At+A+B)−t(At+B) =t+ 1⇔A=?, B=?. Nghiệm TQ của PT ban đầu: yt= ¯yt+y∗
t =?, C =const. c) Nghiệm TQ của PTTN:y¯t=C.2t Nghiệm riêng có dạng: y∗ t =A2tt. Thay vào: A2t+1 (t+ 1) = 2∗A2tt+ 2t⇔A=?. Nghiệm TQ của PT ban đầu: yt= ¯yt+y∗
Định lý: (Nguyên lý chồng chất nghiệm)
Cho PTSP tuyến tính không thuần nhất cấp 1 có dạng: yt+1+pyt=q1(t) +q2(t) (1) Giả sử y∗
t1, y∗
t2 lần lượt là nghiệm riêng của các PTSP sau: yt+1+pyt=q1(t) yt+1+pyt=q2(t) Khi đó y∗
t =y∗
t1+y∗
t2 là một nghiệm riêng của PTSP (1).
Tôn Thất Tú 14/27 Ví dụ 6 Giải PTSP sau: yt+1−3yt= 2t−1 + 6.3t Giải. Nghiệm TQ của PTTN: y¯t=C.3t
Nghiệm riêng của PT yt+1−3yt= 2t−1 có dạng: y∗
t1=A1t+B1. Thay vào: A1(t+ 1)−3(A1t+B1) = 2t−1⇔A1 =?, B1=?. Nghiệm riêng của PT yt+1−3yt= 6.3t có dạng: y∗
t2 =A23tt. Thay vào: A23t+1(t+ 1)−3A23tt= 6.3t⇔A2 =?.
Nghiệm TQ của PT ban đầu: yt= ¯yt+y∗
t1+y∗
t2 =?, C =const.
Tôn Thất Tú 15/27
3. Phương trình sai phân cấp 2 3.1 PTSP tuyến tính cấp 2
- Dạng tổng quát của PTSP tuyến tính cấp 2 là:
yt+2+ptyt+1+qtyt=rt (2) trong đó pt, qt, rtlà các hàm số theot= 0,1,2, ....
- Nếurt≡0(rt6≡0) thì phương trình (2) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất (không thuần nhất).
Ta chỉ xét phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng, tức là phương trình có dạng:
yt+2+pyt+1+qyt=rt trong đó p, q là các hằng số.
yt+2+pyt+1+qyt= 0 (3) - Bước 1: Lập phương trình đặc trưng của (3):
k2+pk+q= 0 (∗)
- Bước 2: Tìm nghiệm của (*) trong tập hợp phức Ctheo biến k - Bước 3:
+ Nếu (*) có 2 nghiệm thực phân biệt k1, k2 thì nghiệm tổng quát của (3) là: yt = C1·kt
1+C2·kt 2
+ Nếu (*) có nghiệm kép k1 = k2 =k thì nghiệm tổng quát của (3) là: yt = (C1+ tC2)·kt
+ Nếu (*) có 2 nghiệm phức k1,2 = α±βi (β > 0) thì nghiệm tổng quát của (3) là yt=rt·(C1costϕ+C2sintϕ), trong đó r=pα2+β2, cotϕ= α
β (0< ϕ < π)
Tôn Thất Tú 17/27
Ví dụ 7
Giải các phương trình sai phân sau: a) yt+2−5yt+1+ 6yt= 0 b) yt+2+ 6yt+1+ 9yt= 0 c) yt+2+ 2yt+1+ 2yt= 0 Giải. a) PT đặc trưng k2 −5k+ 6 = 0 có nghiệm k1= 2, k2= 3.
Nghiệm TQ của PTTN: yt=C12t+C23t, C1, C2 =const
Tôn Thất Tú 18/27
b) PT đặc trưng
k2
+ 6k+ 9 = 0 có nghiệm kép k1 =k2=−3.
Nghiệm TQ của PTTN: yt= (C1+C2t)(−3)t, C1, C2=const c) PT đặc trưng k2+ 2k+ 2 = 0 có nghiệm phức k1,2 =−1±i. Ta cóα =−1, β= 1 và r=pα2+β2=√ 2 cotϕ= α β =−1⇒ϕ= 3π 4
3.3 PTSP tuyến tính cấp 2 không thuần nhất với hệ số hằng yt+2+pyt+1+qyt=rt (4)
- Bước 1: Tìm nghiệm tổng quátyt của phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất liên kết.
- Bước 2: Tìm nghiệm riêngy∗
t của phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 không thuần nhất.
- Bước 3: Tìm nghiệm tổng quátyt của phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 không thuần nhất:
yt=yt+y∗
t
Tôn Thất Tú 20/27
Phương pháp hệ số bất định để tìm nghiệm riêng
Dạng 1:Nếurt=Pk(t)αtvàα không là nghiệm của phương trình đặc trưng thì nghiệm riêng của (4) có dạng
y∗
t = (aktk+ak−1tk−1
+· · ·+a1t+a0)αt.
Dạng 2:Nếurt=Pk(t)αtvà αlà 1 nghiệm đơn của phương trình đặc trưng thì nghiệm riêng của (4) có dạng
y∗
t =t(aktk+ak−1tk−1+· · ·+a1t+a0)αt.
Dạng 3: Nếu rt =Pk(t)αt và α là nghiệm kép của phương trình đặc trưng thì nghiệm riêng của (4) có dạng
y∗
t =t2(aktk+ak−1tk−1+· · ·+a1t+a0)αt.
Tôn Thất Tú 21/27
Ví dụ 8
Giải các phương trình sai phân sau: a) yt+2+ 4yt+1+ 3yt= 16 b) yt+2−8yt+1+ 15yt= 10t5t c) yt+2−4yt+1+ 4yt= (t+ 1)2t d) yt+2+ 5yt+1−6yt= 4
Đọc thêm:
Trang 441 đến 446: - Mô hình Cobweb
- Mô hình thị trường có hàng hóa tồn đọng - Mô hình Harrod
- Mô hình thu nhập có trễ Trang 450 đến 452:
- Phân tích định tính PTSP Ôtônôm bằng biểu đồ pha Trang 468 đến 473:
- Mô hình hệ số gia tốc của Samuelson - Mô hình Cobweb
Tài liệu: Toán cao cấp cho các nhà kinh tế. Phần 2: Giải tích toán học. Lê Đình Thúy.
Tôn Thất Tú 23/27
4.1 Mô hình Cobweb
Xét lượng cung một loại hàng hóa ở thời kỳ t+ 1phụ thuộc vào giáp ở thời kỳ t. Mô hình cân bằng thị trường của hàng hóa đó ở thời kì t+ 1có dạng sau:
Qd,t+1 =Qs,t+1 Qd,t+1 =α−β·Pt+1 Qs,t+1 =−γ+δ·Pt trong đó α, β, γ, δ >0 cho trước.
Câu hỏi: Hãy tìmP =Pt(giá hàng hóa này tại thời kì t) khi biết rằngP(0) =p◦. Nếu ta thay Qd,t+1, Qs,t+1 vào phương trình cân bằng ta được
Pt+1+ δ βPt=
α+γ β Đây là PTSP tuyến tính cấp 1 với hệ số hằng.
Tôn Thất Tú 24/27
4.2 Mô hình thị trường có hàng hóa tồn đọng Các giả thiết:
i) Cả lượng cung Qs và lượng cầu Qd đều không bị trễ và đều là hàm tuyến tính của giá cả ở mỗi thời kỳ:
Qd=α−βPt, Qs=γ+δPt, α, β, γ, δ >0
ii) Giá cả được điều chỉnh theo nguyên tắc: Nếu theo mức giá kì trước mà hàng hóa còn tồn đọng thì người bán đặt giá thấp hơn cho kì hiện tại và ngược lại.
iii) Lượng điều chỉnh giá từ thời kì này sang thời kì khác tỉ lệ lượng dư cung theo chiều ngược lại:
Pt+1−Pt=−λ(Qst−Qdt)
4.3 Mô hình hệ số gia tốc của Samuelson
Xét mô hình kinh tế vĩ mô: Yt=Ct+It+Gtvới các giả thiết:
i) Tiêu dùng của thời kìt phụ thuộc vào thu nhập của thời kì trước: Ct=αYt−1
với α là xu hướng tiêu dùng cận biênα ∈(0,1).
ii) Đầu tư ở thời kìt là hàm số của lượng tăng tiêu dùng: It=β(Ct−Ct−1)
với β >0là hệ số gia tốc.
iii) Chi tiêu của chính phủ không đổi:G=G0.
Tôn Thất Tú 26/27
Từ giả thiết i) và ii) suy ra:
It=αβ(Yt−1−Yt−2) Thay lại vào phương trình cân bằng, ta được:
Yt=α(1 +β)Yt−1−αβYt−2+G0 Phương trình này được viết lại:
Yt+2−α(1 +β)Yt+1+αβYt=G0
Mô hình hệ số gia tốc của Samuelson được biểu diễn dưới dạng phương trình sai phân ôtônôm tuyến tính cấp 2 như trên.