Vành R được gọi là vành P F phải nếu RR là nội xạ và là vật đối sinh trong phạm trù các R-môđun phải.
Mệnh đề 2.3.1 ([13, Proposition 9]). Cho vành R. R là vành PF phải khi và chỉ khi RR là vật đối sinh và (Zr2)R là CS.
Chứng minh. (⇒) Giả sử R là vành PF phải, ta có R tự nội xạ phải (theo [10, Theorem 1.56]) vì vậy RR tựa nội xạ. Lại theo [10, Proposition 1.22] ta có RR liên tục nên RR là s-CS. Từ đó (Zr2)R là CS (theo Bổ đề 2.2.2).
(⇐) Giả sử (Zr2)R là CS và RR là vật đối sinh tức R đối sinh mọi
R-môđun phải. Suy ra Rđối sinh mọiR-môđun phải đơn suy biến hay mọi
R-môđun phải đơn suy biến nhúng được trong R. Theo Mệnh đề 2.2.18 ta có (Zr2)R hữu hạn đối sinh nên (Zr2)R có soc cốt yếu và hữu hạn sinh (theo [2, Proposition 10.7]).
Hệ quả 2.3.2. Vành R là PF phải khi và chỉ khi RR là vật đối sinh và s-CS phải.
Bổ đề 2.3.3. [[13, Lemma 10]] Cho mR là một R-môđun phải đơn không suy biến. Khi đó mR nhúng được trong R.
Chứng minh. Giả sử mR là một R-môđun phải đơn không suy biến suy ra m 6= 0. Khi đó:
+) r(m) là iđêan cực đại của R.
Xét đồng cấu:
f : R →mR
r 7→f(r) = mr
Ta có R/r(m) ∼= mR mà mR đơn nên r(m) là iđêan cực đại. +) r(m) không cốt yếu trong R.
Giả sử ngược lại r(m) ≤e R suy ra m ∈ Z(mR) = 0 hay m = 0.
+) r(m)∩aR = 0 với 06= a ∈ R nào đó suy ra r(m)⊕aR = R (do
r(m) cực đại). Vậy nên
aR ∼= R/r(m) ∼= mR nghĩa là mR nhúng được trong R.
Theo Mệnh đề 1.7.1, ta có một vành R là nửa hoàn chỉnh khi và chỉ khi mọi R-môđun phải (trái) đơn đều có phủ xạ ảnh. Mở rộng tính chất này với các R-môđun phải suy biến đơn ta có bổ đề sau:
Bổ đề 2.3.4 ([13, Corollary 3]). Vành R là nửa hoàn chỉnh nếu và chỉ nếu mọi R-môđun phải suy biến đơn có phủ xạ ảnh.
Chứng minh. (⇒) Giả sử vànhR nửa hoàn chỉnh. Theo nếu mọi R-môđun phải hữu hạn sinh có phủ xạ ảnh (theo [9]) suy ra mọi R-môđun phải đơn suy biến có phủ xạ ảnh.
(⇐) Giả sử mR là R-môđun phải đơn không suy biến suy ra r(m) là iđêan phải cực đại không cốt yếu. Vì vậy r(m)∩aR = 0 với a 6= 0,a ∈ R
nào đó và r(m)⊕aR = R. Từ đó suy ra
mR ∼= R/r(m) ∼= aR
hay mọi R-môđun phải đơn có phủ xạ ảnh. Vậy R là nửa hoàn chỉnh. Mệnh đề 2.3.5 ([13, Proposition 9]). Nếu vành R là s-CS sao cho mọi R-môđun phải đơn suy biến nhúng được trong (Z2r)R thì R là vành nửa hoàn chỉnh.
Chứng minh.
Giả sử R là vành s-CS. Từ Bổ đề 2.2.2 suy ra (Z2r)R là môđun CS và
R = (Z2r)R ⊕K với K là iđêan phải của R. Ta có (Z2r)R là s-CS và mọi
R-môđun phải đơn suy biến nhúng được trong (Z2r)R suy ra (Z2r)R có soc cốt yếu hữu hạn sinh (Mệnh đề 2.2.18).
Theo giả thiết, tồn tại các môđun con đơn S1, . . . , Sn của (Z2r)R sao cho {S1, . . . , Sn} là tập đầy đủ các phần tử đại diện của các lớp đẳng
cấu các R-môđun phải đơn suy biến. Do (Z2r)R suy biến CS nên tồn tại các môđun con Q1, . . . , Qn của (Z2r)R sao cho (Si)R ≤e (Qi)R với mọi
i = 1, . . . , n. Ta có Qi xạ ảnh suy ra J(Qi) cực đại và J(Qi) Qi (theo [10, Lemma 1.54]) suy raQi/J(Qi)đơn và Qi là phủ xạ ảnh củaQi/J(Qi).
Giả sử Qi ∼= Q
j tức là tồn tại đẳng cấu f : Qi →Qj suy ra
g : Qi/J(Qi) → Qj/J(Qj) q +J(Qi) 7→ f(q) +J(Qj)
đẳng cấu. Ngược lại, giả sử Qi/J(Qi) ∼= Q
j/J(Qj), do mọi môđun có tối đa một phủ xạ ảnh theo quan hệ đẳng cấu nên suy ra Qi ∼= Q
j. Ta cũng có Qi ∼= Q
j khi và chỉ khi Si ∼= S
j và Si ∼= S
j khi và chỉ khi i = j. Hơn nữa, Qj/J(Qj) suy biến. Vì vậy, {Q1/J(Q1), . . . , Qn/J(Qn)} là tập đầy đủ các phần tử đại diện của các lớp đẳng cấu các R-môđun phải suy biến đơn. Suy ra mọi R-môđun phải đơn suy biến có một phủ xạ ảnh. Theo Bổ đề 2.3.4 ta có vành R nửa hoàn chỉnh.
Định lý 2.3.6 ([13, Theorem 3]). Cho R là vành s-CS phải và CF
phải. Khi đó, R là vành Artin phải.
Chứng minh. Giả sử R là vành s-CS phải và CF phải, từ Mệnh đề 2.3.5 ta có R là vành nửa hoàn chỉnh. Lấy S1, . . . , Sn là một tập đầy đủ các phần tử đại diện của quan hệ đẳng cấu các lớp R-môđun phải đơn không suy biến, suy ra (Si)R xạ ảnh vói mọi i.
Do R là vành s-CS phải nên suy ra RR = Z2r⊕N (theo Bổ đề 2.2.2). Vì S1 xạ ảnh nên S1 ∼= A ≤⊕ R (theo [1, Định lý 3.4.7]) suy ra tồn tại toàn cấu f1 : RR → (S1)R. Ta có f1|N : N → S1 cũng là toàn cấu mà S1
xạ ảnh nên f1|N chẻ ra (theo [1, Mệnh đề 3.4.3]) tức là
Ker(f1|N) ≤⊕ N = X1 ⊕N1
với X1 ∼= S
1 = Im(f1|N) và Ker(f1|N) =N1.
Tồn tại toàn cấu f2 : RR → (S2)R. Ta có f2|N1 : N1 → S2 cũng toàn cấu mà S2 xạ ảnh nên N1 = X2 ⊕N2 với X2 ∼= S2 và Ker(f2|
Tiếp tục quá trình trên, ta được RR = Z2r ⊕X1 ⊕. . .⊕Xn ⊕Y với
Xi ∼= S
i,với mọi i = 1, n. Lấy Q = Z2r⊕X1⊕. . .⊕Xn.Khi đó, QR là hữu hạn sinh xạ ảnh, CS môđun chứa bản sao của mọi R môđun phải đơn.
+) Môđun QR là CS.
Ta có Z2r là CS môđun và Xi ∼= S
i đơn suy ra mọi môđun con của
QR cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của QR. Vì vậy QR là CS. +) Môđun QR là xạ ảnh.
Ta có QR ≤⊕ RR = QR ⊕Y và R tự do suy ra QR xạ ảnh (theo [1, Định lý 3.4.7]).
+) Môđun QR hữu hạn sinh.
Ta có Xi đơn nên Xi hữu hạn sinh với mọi i và Z2r ≤⊕ RR. Suy ra
Z2r = eR với e2 = e ∈ R (theo Mệnh đề 1.1.6) vì vậy QR hữu hạn sinh. Vì vậy R hữu hạn đối sinh phải (theo [10, Theorem 7.29]) suy ra mọi
R-môđun phải cyclic là hữu hạn đối sinh (vì nó nhúng được trong môđun tự do). Từ đó ta có mọi môđun thương của RR là hữu hạn đối sinh nên vành R là Artin phải (theo [10, Lemma 1.52]).
Các tác giả Gómez Pardo và Guil Asensio đã chứng minh được rằng mọi vành CS phải và FGF phải là vành QF phải, sử dụng định lý trên chúng ta có thể mở rộng kết quả này cho trường hợp vành s-CS.
Hệ quả 2.3.7 ([13, Corollary 4]). Cho R là vành s-CS phải, F GF
phải. Khi đó vành R là QF.
Chứng minh. Giả sử R là vành s-CS phải, FGF phải. Ta có R là vành CF phải. Từ Định lý 2.3.6 suy ra vành R là Artin phải. Và từ đó suy ra vành
KẾT LUẬN
Nội dung của luận văn được chia thành hai chương. Trong đó chương 1 là một số kiến thức cơ bản về vành và môđun. Chương này tôi đã trình bày một số kết quả liên quan đến môđun, môđun suy biến và không suy biến, môđun con đóng, môđun nội xạ, môđun mở rộng và một số vành liên quan như vành Artin, vành Nơte, vành Kasch, vành QF, ...
Chương 2 trình bày nội dung chính của luận văn. Chương này bao gồm ba phần. Phần thứ nhất đưa ra định nghĩa và các ví dụ về môđun và vành s-CS. Trong đó có Ví dụ 2.1.8 chỉ ra sự khác biệt giữa vành s-CS và vành s-nội xạ. Phần thứ hai trình bày các tính chất đặc trưng của của môđun s-CS. Không phải lúc nào tổng trực tiếp của hai môđun s-CS cũng là môđun s-CS, điều này được chứng tỏ qua Ví dụ 2.2.6. Bổ đề 2.2.7 đã chứng minh được rằng nếu M1, M2 là các môđun s-CS thì M1 ⊕M2 cũng là môđun s-CS khi M1 là s-M2-nội xạ. Trong phần thứ ba tôi đã trình bày các tính chất liên quan đến vành s-CS. Trong phần này có đưa ra điều kiện để một vành s-CS trở thành vành nửa hoàn chỉnh, nội dung này được trình bày ở Mệnh đề 2.3.5. Theo [10], ta có mọi vành CS phải và FGF phải là vành QF. Kết quả này cũng được mở rộng cho vành s-CS và đó chính là Hệ quả 2.3.7. Mọi vành s-CS phải và FGF phải là vành QF.
Luận văn là sự tổng hợp đồng thời chi tiết hóa các chứng minh định lý, mệnh đề, hệ quả và một số ví dụ về môđun và vành s-CS. Để tiếp tục cho đề tài này, chúng tôi hướng đến việc mở rộng môđun s-CS bằng cách thay các môđun con suy biến trong định nghĩa môđun s-CS bằng các môđun con suy biến hữu hạn sinh. Tức là một môđun mà mọi môđun con suy biến hữu hạn sinh đều cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp nào đó của nó. Chúng tôi hy vọng sẽ thu được một vài kết quả về vấn đề này.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt:
[1] T. C. Quỳnh, L.V. Thuyết (2013), Lý thuyết vành và môđun, NXB Đại học Huế.
Tiếng Anh:
[2] F. W. Anderson, K. R. Fuller (1992),Rings and Categories of Modules, Berlin - Heidelbeng - New York (2rd edition).
[3] N. V. Dung, D. V. Huynh, P. F. Smith, R. Wisbauer (1996),Extending Modules, Pitman London.
[4] K. R. Goodearl (1972), Singular torsion and the splitting properties, American Mathematical Society.
[5] K. R. Goodearl (1976), Ring theory: Nonsingular rings and modules, CRC Press, Mar 1, Mathematics.
[6] D. V. Huynh, S. K. Jain, S. R. López-Permouth (1996), "When is a simple ring Noetherian?", J. Algebra, 184, pp. 786-794.
[7] F. Kasch, Modules and Rings (1982), L.M.S. Monograph No. 17, Aca- demic Press, New York.
[8] T. Y. Lam, (1998), Lectures on Modules and Rings, Grad. texts in Math. 189, Springer.
[9] B. J. Mueller (1970), "On semi-perfect rings", Illinois J. Math. 14(3), pp. 464-467.
[10] W. K. Nicholson, M. F. Yousif (2003), Quasi-Frobenius rings, Cam- bridge Univ. Press.
[11] P. F. Smith (1993), "Modules for which every submodule has a unique closure", Ring Theory, World Sci. Publ., River Edge, pp. 302–313. [12] F. L. Sandomierski (1968), "Nonsingular rings", Proc. Amer. Math.
Soc., 19, pp. 225-230.
[13] N. Zeyada, N. Jarboui (2013), "s-CS modules and rings", Int. J. of Algebra, 7(2), pp. 49-62.