Định nghĩa 2.2. Cho X là không gian topo, f : X → X là ánh xạ. Một điểm x ∈ X được gọi là điểm bất động của X nếu f(x) =x.
Định nghĩa 2.3. Không gian topo X được gọi là có tính chất điểm bất động nếu mỗi ánh xạ liên tục f :X →X đều có điểm bất động.
Định lý 2.8. (Brouwer)(Xem [7]) Mọi ánh xạ liên tục từ hình cầu đơn vị đóng trong Rn vào chính nó đều có điểm bất động.
Định lý 2.9. (Schauder)(Xem [7]) Cho C là tập lồi của một không gian định chuẩn X. Khi đó mọi ánh xạ compact f : C →C đều có ít nhất một điểm bất động.
Ví dụ 2.1. Đoạn [a, b] trong R thì có tính chất điểm bất động.
Chứng minh
Cho ánh xạ liên tục bất kì f : [a, b] →[a, b] ta cần chứng minh tồn tại
x0 ∈ [a, b] sao cho f(x0) = x0.
Giả sử ngược lại ta có f(x) 6= x,∀x ∈ [a, b]
⇒f(a) 6= a và f(b) 6= b.
⇒f(a) > a và f(b) < b
Đặt g(x) =f(x)−x,∀x ∈ [a, b]. Suy ra g liên tục trên [a,b] và
g(a) =f(a)−a > 0
g(b) =f(b)−b < 0
Theo định lí Bolzano-Cauchy suy ra tồn tại c ∈ (a, b) sao cho g(x) = 0. Từ đó ta có f(c) = c (mâu thuẫn).
Suy ra tồn tại x0 ∈ [a, b] sao cho f(x0) = x0. Do vậy f có điểm bất động.
Nên [a,b] là không gian có tính chất điểm bất động. Ví dụ 2.2. R không có tính chất điểm bất động. Chứng minh Cho ánh xạ liên tục f : R → R x 7−→ x2 + 2 không có điểm bất động
Giả sử f có điểm bất động tức là tồn tại x0 ∈ R mà
f(x0) =x0 ⇒ x20 + 2 = x0.
Suy ra phương trình x2 −x+ 2 = 0 có nghiệm (vô lí).
Vậy f không có điểm bất động . Suy ra R không có tính chất điểm bất động.
Định lý 2.10. Cho X,Y là hai không gian đồng phôi với nhau, khi đó nếu X có tính chất điểm bất động thì Y có tính chất điểm bất động và ngược lại.
Chứng minh
Gọi f là phép đồng phôi từ X lên Y.
Giả sử X có tính chất điểm bất động. Phải chứng minh Y cũng có tính chất điểm bất động.
Cho g là một ánh xạ liên tục bất kì từ Y → Y, lúc đó ánh xạ
f−1gf :X →X liên tục.
Do tính chất điểm bất động của x nên suy ra tồn tại x ∈ X:
f−1gf(x) = f−1(g(f(x))) = x
Suy ra g(f(x)) = f(x).
Trong đó f(x) ∈ Y, vậy f(x) là điểm bất động của g hay Y cũng có tính chất điểm bất động.
Đổi vị trí của X và Y cho nhau, ta thấy nếu Y có tính chất điểm bất động thì X cũng có tính chất điểm bất động.