2 Một số ứng dụng của số học trong lý thuyết mật mã
2.1.2Hệ Mã Khối
Nguyên lý thực hiện
Hệ mã này không mã hoá từng chữ cái của văn bản, mà mã hóa từng khối chữ cái. Trước tiên ta xét tập hợp mã khối hai chữ. Với mỗi phép khối hai chữ ta chọn một ma trận cấp hai làm chìa khóa của mã. Chẳng hạn:
A=
a11 a12
a21 a22
aij nguyên thuộc đoạn [1;29]
Khi đó các khối hai số P1P2 trong văn bản được chuyển thành các khối hai số C1C2 trong văn bản mật theo công thức:
C1 ≡a11P1 +a12P2 (mod 29)
C2 ≡a21P1 +a22P2 (mod 29)
Một cách tổng quát ta có thể lập các mã khối n chữ cái, ta chọn một ma trận cấp n làm chìa khoá và tính (Ci) ≡(P1P2. . . Pn) a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã an1 an2 . . . ann (mod 29) hay (Ci) ≡ (Pi).A (mod 29)
Để giải mã ta cần giải hệ phương trình đồng dư nói trên để tìm P1P2 nhờ định lý sau.
Định lý: Cho hệ phương trình đồng dư
(
a11x+a12y ≡C1 (mod m)
a21x+a22y ≡C2 (mod m)
Đặt ∆ = a11a22−a12a21 (mod m). Khi đó, nếu (∆, m) = 1 thì hệ phương trình đang xét tồn tại nghiệm duy nhất modulo m, cho bởi công thức sau:
x = ∆−1(a22C1 −a12C2) (mod m)
y = ∆−1(a11C2 −a21C1) (mod m)
Như vậy, một cách tổng quát, việc giải mã tiến hành nhờ công thức:
(Pi) ≡ A−1(Ci)
Độ an toàn
Việc sử dụng mã khối đã nâng cao rất nhiều tính bảo mật, có 29n khối tiếng Việt, nhưng nếu n nhỏ vẫn có khả năng khám phá ra khóa của mã nhờ máy tính hiện đại qua việc nghiên cứu tần suất xuất hiện của các khối chữ
cái. Tuy nhiên với độ dài lớn người ta vẫn có thể giải mã nhờ công cụ thám mã hiện đại.