2.2 Điều kiện cần đủ cho bài toán tối ưu lồi
2.2.2Bài toán với ràng buộc đẳng thức
Giả sử f là một hàm lồi trên X, C là đa tạp tuyến tính song song với khơng gian conM trongX. Xét bài toán
(P8)
f(x) −→inf x∈C.
Định Lý 2.5.
a) Giả sử f liên tục tại một điểm củaC, x là một nghiệm của bài tốn
(P8). Khi đó
∂f(x)∩M⊥ 6= /0. (2.8)
b) Giả sử(2.8) đúng tại∀x∈C. Khi đó xlà nghiệm của bài tốn(P8).
Chứng minh
Ta chú ý rằng
a) Xét hàm
L(x) = f(x) +δ(x|C).
trong đó:δ(x|M|) là hàm chỉ của tậpC. Khi đóL(x) là hàm lồi trênX. Rõ ràngx là nghiệm của bài toán (P8) khi và chỉ khi hàmL(x) đạt cực tiểu tại x. Theo định lý (2.4) thì
0∈∂L(x).
Do tính liên tục của f, nên ta có thể áp dụng định lý Moreau-Rockafellar, và nhận được
0∈∂L(x) =∂ f(x) +∂δ(x|C).
Từ ví dụ(2.3.3), ta lại có
∂δ(x|C) =N(x|C) =M⊥.
Do đó ta có: ∂f(x)∩M⊥6= /0.
b) Giả sử∂ f(x)∩M⊥6= /0 vớix∈C. Khi đó,∃x∗ ∈∂f(x)∩M⊥. Vì x−x∈M vớix∈C, cho nên
0=hx∗,x−xi 6= f(x)− f(x), (∀x∈C).
Do đóxlà nghiệm của bài tốn(P8).
Định Lý 2.6.
ChoX là khơng gian Banach, x∗i ∈X∗, αi∈R, (i=1, . . . ,m)và
C ={x∈X :hx∗i,xi=αi, (i=1, . . . ,m)}.
Giả sử f là hàm lồi trên X và liên tục tại một điểm củaC. Khi đó,xđạt cực tiểu của hàm f trênCkhi và chỉ khi tồn tại các sốλi∈R, (i=1, . . . ,m)
sao cho
λ1x∗1+···+λmx∗m∈∂ f(x).
Bổ Đề 2.1.
Giả sửX là không gian Banach, x∗i ∈X∗, (i=1, . . . ,m). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Đặt
M ={x∈X :hx∗i,xi=0, i=1, . . . ,m}.
Khi đó
M⊥=lin{x∗1, . . . ,x∗m}.
trong đólinlà kí hiệu bao tuyến tính.
Chứng minh
Khơng mất tính tổng qt, ta có thể xem nhưx∗1, . . . ,x∗n là độc lập tuyến tính. Xét tốn tử tuyến tính λ : X −→Rm được xác định như sau
x−→λx= hx∗1,xi, . . . ,hx∗m,xi
.
Khi đó, Imλ =Rm. Theo bổ đề (1.1) ta có
(Kerλ)⊥=Imλ∗.
Ta lại có
(Kerλ)⊥=M⊥, Imλ∗ =lin{x∗1, . . . ,x∗2}.
Do đó M⊥=lin{x∗1, . . . ,x∗m}.
Chứng minh định lý 2.6.
Đa tạp tuyến tínhC song song với không gian conM : M ={x∈X :hx∗i,xi=0, i=1, . . . ,m}.
Từ định lý (2.5) suy ra: x đạt cực tiểu hàm f trên C khi và chỉ khi ∃x∗ ∈ ∂ f(x)∩M⊥. Theo bổ đề(2.1), ta có
x∗ ∈M⊥=lin{x∗1, . . . ,x∗2}.
Do đó, tồn tại các số λ1, . . . ,λm sao cho