2 MỘT SỐ TÍNH TOÁN TRÊN IĐÊAN CHIỀU
2.2.1 Vành tọa độ
Định nghĩa 2.2.1. Cho V là đa tạp trong kn và IV là iđêan tập điểm của V. Khi đó vành thương k[X]/IV được gọi là vành tọa độ của đa tạp V và được kí hiệu là k[V].
Ví dụ 2.2.2.
1) Nếu V =kn thì IV = 0 nên ta có vành tọa độ k[V]∼=k[X]/0∼=k[X].
2) Nếu V ={a = (a1, ..., an)/a1, ..., an ∈ k} thì IV =hx1−a1, ..., xn−ani. Suy ra vành tọa độ k[V]∼=k[X]/I
V ∼=k.
3) Nếu V là tập các điểm trên parabol x2 −y = 0 thì ta có vành tọa độ
k[V]∼=k[x, y]/
x2−y∼=k[x].
4) NếuV ={(0, ...,0, ad+1, ..., an)/ad+1, ..., an ∈k}thìIV =hx1, ..., xdinên vành tọa độ k[V]∼=k[X]/hx
1, ..., xdi ∼=k[xd+1, ..., xn].
Trước khi trình bày cách tính số chiều của vành tọa độ thì chúng tôi nhắc lại về thuật toán chia trên k[x1, ..., xn]: Cho quan hệ thứ tự trên k[x1, ..., xn] và
G={g1, ..., gt} ⊂k[x1, ..., xn]. Khi đó:
∀f ∈k[x1, ..., xn] :f =h1g1+h2g2+...+htgt+fG (2.1) trong đó fG là tổ hợp tuyến tính của các đơn thức xα ∈/ LT(I). Hơn nữa, vì
G là cơ sở Gr¨obner nên f ∈I khi và chỉ khi fG = 0 và phần dư được xác định duy nhất với mọi f. Điều này có nghĩa:
fG=gG ⇔f −g ∈I (2.2)
Vì đa thức đóng với phép cộng và phép nhân nên khi cho f, g ∈ k[x1, ..., xn] ta có: fG+gG=f +gG fG.gG G =f gG và fG.gG G là phần dư .
Nhắc lại: Cho f ∈k[x1, ..., xn] [f] =f +I ={f+h:h∈I} và tính chất quan trọng [f] = [g]⇔f−g ∈I (2.3) k[x1, ..., xn]/I ={[f] :∀f ∈k[x1, ..., xn]}. Từ (2.1) ta có: fG=f−(h1g1+...+htgt) mà (h1g1+...+htgt)∈I.
Suy ra: fG∈[f]. Từ (2.2) và (2.3) cho tương ứng 1 : 1 phần dư←→ lớp
fG ←→[f].
Khi đó, với tương ứng trên ta có:
fG+gG ←→[f] + [g]
fG.gG
G
←→[f].[g].
Vì vậy khi cộng và nhân các phần tử của k[x1, ..., xn]/I cho hằng số (lớp [c] với c∈k) thì k[x1, ..., xn]/I có cấu trúc không gian vectơ trên trường k. Khi đó vành thương cũng là một k− đại số. Đại số k[x1, ..., xn]/I được kí hiệu là A.
Phần dư được nêu ở trên là tổ hợp tuyến tính của các đơn thứcxα ∈/
LT(I). Xem Mệnh đề 2.2.3, ta thấy tập hợp các đơn thức này là độc lập tuyến tính trong A nên có thể được xem là cơ sở của A. Nói cách khác, các đơn thức
B ={xα:xα ∈/
LT(I)}
tạo thành cơ cở của A, các phần tử của B gọi là đơn thức cơ sở.
Vì vậy vành tọa độ có cấu trúc của không gian vectơ và chiều của vành tọa độ được kí hiệu là dimk[V]. Do đó để tính số chiều của vành tọa độ ta áp dụng dimk[x1, ..., xn]/I = dimk[x1, ..., xn]/LT(I).