5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
2.2.2.1. Dãy bị chặn
Ký hiệu Z là tập các số nguyên. Cho n là một số nguyên dương nào đó, giả sử p và q là 2 dãy số nguyên có độ dài n và ký hiệu như sau:
p=( p1 p2…pn), q=(q1 q2…qn)| pi, qi∈ Z, ∀i ∈ 1, …, n Ta có định nghĩa sau:
1. p ≤ q khi và chỉ khi pi ≤ qi∀i∈ (1 … n)
2. p < q khi và chỉ khi ∃ j∈ (1 … n) : pj<qj và pi ≤qi : ∀i∈ (1 … n) và i≠j Bài toán dãy bị chặn được phát biểu như sau:
Cho hai dãy số nguyên s và g có độ dài n, sao cho s < g, hãy tìm tất cả các dãy số t độ dài n sao cho s ≤ t ≤ g.
Giả sử s=(s1 s2… sn) và g=(g1 g2…gn), hai dãy này được gọi là các dãy biên. Các dãy cần tìm t=(t1 t2... tn) phải thỏa mãn:
ti∈ Z ⋀ Si ≤ ti ≤ gi∀ i ∈ (1 … n) (1)
Ví dụ: Cho s=(3 2 1 4) và g= (4 2 2 6) là hai dãy biên, các dãy số nguyên t thỏa s≤t≤g và cho s’=(0 0 0) và g’=(0 1 2) là hai dãy biên và các dãy số nguyên t’ thoải mãn s’≤t’≤g’. Như vậy, t và t’ được sắp xếp theo thứ tự từ điển tăng đần như trong bảng sau:
Bảng 2.2. Ví dụ dãy bị chặn
STT Dãy bị chặn t STT Dãy bị chặn t STT Dãy bị chặn t’
1 3 2 1 4 7 4 2 1 4 1 0 0 0 2 3 2 1 5 8 4 2 1 5 2 0 0 1 3 3 2 1 6 9 4 2 1 6 3 0 0 2 4 3 2 2 4 10 4 2 2 4 4 0 1 0 5 3 2 2 5 11 4 2 2 5 5 0 1 1 6 3 2 2 6 12 4 2 2 6 6 0 1 2
Định lý 1: Cho s=(s1 s2…sn) và g=(g1 g2…gn) là hai dãy biên. Các dãy t=(t1t2...tn) là dãy bị chặn. gọi C là số lượng các dãy t. Khi đó ta có:
C=∏ ( ) (2)
Chứng minh:
Ta có: ở vị trí đầu tiên t1 có thể chọn một trong các giá trị s1, s1+1, s1+2, …, g1. Nên thành phần t1 có g1-s1+1 cách chọn.
Tương tự như vậy, thành phần t2 có g2-s2+1 cách chọn, thành phần n có gn-sn+1 cách chọn. Tương tự lập luận cho ti với i=1..n kết hợp với nguyên lý nhân ta có số lượng các dãy của t là C=(g1-s1+1)x(g2-s2+1)x…x(gn-sn+1)= ∏ ( )