Trong thực tế, để giải được bài toán nhiều khi cần tính đƒnh mức của ma trận, giải hệ phương trình tuyến tính, tìm ma trận nghƒch đảo, …
Giả sử cần giải hệ phương trình tuyến tính: AX = B
Giải thuật Gauss thể hiện tinh thần của chiến lược biến thể để trƒ thể kiểu “đơn giản hóa thể hiện” (instance simplification)
Phương pháp khử Gauss dùng cách biến đổi hệ thống n phương trình tuyến tính với n biến thành một hệ thống tương đương (tức là có cùng lười giả như hệ phương trình ban đầu) với một ma trận tam giác trên (một ma trận có các hệ số zero dưới đường chéo chính) rồi giải hệ tam giác này và không cần phải tính giá trƒ đƒnh thức đƒnh thức.
Phương pháp khử Gauss được thực hiện qua 2 quá trình: - Quá trình thuận: Biến đổi ma trận A về ma trận tam giác trên:
AX = B
Trong đó: , là phần tử ở hàng j cột j của ma trận A và phần tử thứ i của ma trận B sau bước biến đổi thứ k.
Hệ phương trình đã cho tương đương với: - Quá trình nghƒch: Lần lượt tính nghiệm theo cách:
Các bước thực hiện: Để minh họa, ta sử dụng phương pháp Gauss để giải hệ sau: - Quá trình thuận:
Bước 1:
Khử trong phương trình thứ i = 2, 3, 4, …, n bằng cách: Thay dòng i bởi dòng i – dòng 1 *. Ngh„a là:
với j = 1, n Và
Hệ đã cho tương đương với:
Bước 2:
Giả sử , chia dòng 2 cho . Hệ đã cho tương đương với:
Với , , j = 1, 2, …, n
Khử ở phương trình thứ i = 3, 4, 5, …, n bằng cách: Thay dòng i = dòng i – dòng 2 *. Ngh„a là:
với j = 1, 2, …, n Và
Hệ đã cho tương đương với:
Tiếp tục thực hiện như trên cho đến khi đưa được ma trận hệ số về ma trận tam giác trên. Hệ đã cho tương đương với:
- Quá trình thuận:
Từ phương trình thứ 1, ta có: Vậy nghiệm của hệ là: , ,