2 Kiến thức nền tảng
2.1.4 Biến đổi wavelet
Biến đổi wavelet [15] ưu việt hơn STFT ở chỗ nó cung cấp một kỹ thuật lấy cửa sổ với kích thước cửa sổ có thể thay đổi được. Biến đổi wavelet cho phép sử dụng khoảng thời gian dài trên một đoạn tín hiệu mà chúng ta mong muốn có thơng tin tần số thấp chính xác hơn. Và ngược lại sử dụng khoảng thời gian ngắn hơn ở nơi mà chúng ta muốn có thơng tin tần số cao rõ ràng hơn. Nói cách khác, phân tích wavelet cung cấp khả năng định vị tần số và định vị thời gian tốt hơn.
Ý tưởng cơ bản của phép biến đổi wavelet là phép biến đổi làm thay đổi vị trí, độ giãn nở của một sóng trên miền thời gian mà khơng thay đổi hình dạng của sóng đó. Từ đó dẫn đến một điểm chú ý ở đây là biến đổi wavelet khơng ánh xạ tín hiệu sang miền thời gian và tần số mà thay vào đó là miền thời gian và tỷ lệ (time-scale).
Với hàm số ψ ∈ L2(R) được gọi là wavelet mẹ, wavelet này là một sóng nhỏ được định vị, thay vì dao động mãi mãi, nó suy giảm nhanh về khơng. Thơng thường nó bắt đầu thời điểmt =0 và kết thúc tại t =N. Ta có thể xây dựng một họ các wavelet{ψjk :j,k ∈Z}với j là hệ số dịch chuyển của wavelet và k là hệ số giãn của wavelet như sau
ψjk(t) = 2j2ψ2jt−k.
Wavelet được dịch chuyển ψ0k(t) bắt đầu tại t = k và kết thúc tại
t = k+N, đồ thị của chúng được dịch chuyển sang phải k lần. Wavelet tỷ lệ ψj0(t) bắt đầu tại t= 0 và kết thúc tại t =N.2j, đồ thị của chúng được nén lại 2j lần.
Wavelet là những hàm cơ sở ψjk(t) liên tục theo thời gian. Cơ sở là tập các hàm độc lập tuyến tính dùng tạo ra hàm f(t) được biểu diễn như sau
f(t) =
∞
X
j,k=−∞
cjkψjk(t).
Hình 2.3: So sánh giữa STFT và biến đổi wavelet (nguồn [16])
Biến đổi wavelet liên tục.Với f(t) là một hàm tín hiệu một chiều, biến đổi wavelet liên tục (continuous wavelet transform - CWT) của f(t)sử dụng tích phân với hàm wavelet ψ được biểu diễn như sau
Wψ(a,b) = 1 |a|1/2 Z ∞ −∞x(t)ψ¯ t−b a ! dt. Trong đó
• ψ¯ là hàm liên hợp phức của wavelet ψ được gọi là hàm wavelet phân tích
• a là hệ số tỷ lệ (a ∈ R∗), b là hệ số dịch chuyển (b ∈ R) của hàm wavelet ψ.
Khi đó ta có những hệ số wavelet cjk được tính như sau
cjk =Wψ(2−j,k2−j).
Biến đổi wavelet liên tục là tổng trên suốt khoảng thời gian của tín hiệu được nhân bởi phiên bản tỉ lệ và dịch chuyển của wavelet. Quá trình này tạo ra các hệ số wavelet là hàm của tỉ lệ và vị trí. Có năm bước để tạo ra CWT
1. Lấy một wavelet và so sánh với khởi đầu của một tín hiệu gốc
2. Tính tốn giá trịc, đặc trưng cho tương quan gần của wavelet với đoạn
tín hiệu này:c càng lớn, càng có sự tương tự. Chính xác hơn, nếu năng lượng của tín hiệu và wavelet là bằng nhau,ccó thể hiểu là hệ số tương quan. Kết quả sẽ phụ thuộc vào wavelet mẹ
3. Dịch chuyển wavelet về phía bên phải và lặp lại bước 1 và 2 cho đến khi hết tín hiệu
4. Định tỉ lệ kéo dãn wavelet là lặp lại tự bước 1 đến bước 3 5. Lặp lại các bước từ 1 đến 4 cho mọi tỉ lệ.
Sau khi hoàn thành, ta sẽ có các hệ số ở các tỉ lệ khác nhau bởi các đoạn khác nhau của tín hiệu. Các hệ số tạo thành kết quả hồi quy của tín hiệu gốc thực hiện trên các wavelet. Để cảm nhận các hệ số đó, ta có thể tạo ra đồ thị với trục x thể hiện vị trí của tín hiệu theo thời gian, trục y đại diện
cho tỉ lệ, màu sắc ở mỗi điểm (x, y) đại diện cho độ lớn của hệ số c. Đồ thị
này còn được gọi là Scalogram của biến đổi wavelet liên tục. Các hệ số của biến đổi wavelet liên tục vẽ ra chính xác hình ảnh thời gian và tỉ lệ của tín hiệu.