C. LUYỆN TẬP (Giao về nhà)
b) Tam giác FEM và tam giác ABM đồng dạng.
Theo câu a, tứ giác MFEC nội tiếp nên (tính chất) (1) Tứ giác nội tiếp ABCM nội tiếp nên (tính chất) (2) Từ (1) và (2) (cùng bù với )
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung FM) (3) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM) (4)
Từ (3) và (4) suy ra Xét và có: c) và . Từ câu b ta có: (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) Xét và có: (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
Lại có (hai góc tương ứng)
(hai góc tương ứng) Mà
Bài 7. Cho tam giác nhọn . Đường tròn tâm đường kính cắt các cạnh lần lượt tại các điểm ( ). Gọi là giao điểm của và ; là giao điểm của và .
1. Chứng minh tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn. 2. Chứng minh .
3. Trong trường hợp đặc biệt khi tam giác đều cạnh bằng . Tính chu vi đường tròn ngoại tiếp tứ giác theo .
4. Từ điểm kẻ các tiếp tuyến và của đường tròn tâm đường kính ( là các tiếp điểm). Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
+ Chỉ ra được
nên M và N cùng thuộc đường tròn đường kính AH. ( hoặc ) + Vậy tứ giác AMHN nội tiếp được trong một đường tròn.
+ Tứ giác AMPC có (do H là trực tâm tam giác ABC) và nên tứ giác AMPC nội tiếp đường tròn đường kính AC
(Hoặc hai tam giác BMC và tam giác BPA đồng dạng) Chỉ ra được
Từ đó suy ra BM.BA = BP.BC
Đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMHN có đường kính AH
Tam giác ABC đều nên trực tâm H cũng là trọng tâm ( hoặc
tính được bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMHN là )
( Hoặc tính chu vi đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMHN theo công thức ) Kết luận : Vậy chu vi đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMHN bằng
Ta có AH.AP = AM.AB = AE2 .
Hai tam giác và có và chung nên tam giác đồng dạng với
tam giác suy ra (1) Tương tự, ta có: (2)
Mặt khác: tứ giác AFOP và AEOF nội tiếp đường tròn đường kính nên năm điểm A,E,P,O,F cùng thuộc đường tròn đường kính .
Suy ra tứ giác AEPF nội tiếp đường tròn nên (3).
Từ (1),(2) và (3) .
Vậy ba điểm E, H, F thẳng hàng.
Bài 8. Cho đường tròn đường kính , các điểm nằm trên đường tròn đó sao cho nằm khác phía đối với đường thẳng , đồng thời . Gọi điểm chính giữa của các cung nhỏ , lần lượt là ; giao điểm của với lần lượt là ; giao điểm của
và là .
a) Chứng minh . Từ đó suy ra tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh song song với .
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa sđ và sđ để song song với .
HD
Ta có .
Xét tứ giác có (do ). Do đó, tứ giác nội tiếp.
Do tứ giác nội tiếp nên .
Suy ra, (hai góc đồng vị).
Ta có ; .
cân tại mà .
Do đó, cân tại .
Vì là phân giác góc nên .
Suy ra, .
Bài 9.
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O đường kính BC. Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Goi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB, AC.
1) Chứng minh
2) Chứng minh tứ giác BCNM nội tiếp và
3) Đường thẳng đi qua A cắt tia HM tại E và cắt tia đối của tia NH tại F. Chứng minh
Bài 10.
Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), AH là đường cao của tam giác ABC. Kẻ đường kính AD của đường tròn (O). Từ hai điểm B và C kẻ
tại E, tại F
a) Chứng minh tứ giác ABHE nội tiếp đường tròn b) Chứng minh HE // CD
Bài 11.
Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC và đường cao AK. Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC. Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) , (M, N là các tiếp điểm, M và B nằm trên cùng nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AO). Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng MN và AK. Chứng minh rằng
a) Tứ giác AMKO nội tiếp b) KA là tia phân giác của
c)
BÀI TẬP TỔNG HỢP ( giao về nhà)
Bài 1. Cho nửa đường tròn đường kính . Gọi là tiếp tuyến của tại . Trên cung lấy điểm tùy ý. ( không trùng với và ), tia cắt đường thẳng
tại . Gọi là trung điểm của , tia cắt tại . 1. Chứng minh là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh và .
3. Xác định vị trí điểm trên cung để tổng đạt giá trị nhỏ nhất. HD
Lại có:
là trung điểm của là trung điểm của
là đường trung bình của
- Xét tứ giác ta có : (tính chất tiếp tuyến) ( do )
là tứ giác nội tiếp ( đpcm).
2. Xét ta có: O là trực tâm ( đpcm) - Ta có: Mà Nên Từ đó suy ra (dpcm)
Đẳng thức xảy ra Mà
Nên là trung điểm Xét ta có:
là điểm chính giữa cung . Bài 2
có ba góc nhọn ( ), dựng vuông góc với tại điểm . Gọi theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của trên . Đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm . Trên nửa mặt phẳng bờ chứa điểm , vẽ nửa đường tròn đường kính . Qua kẻ đường thẳng vuông góc với , cắt nửa đường tròn trên tại điểm .
a. Chứng minh tứ giác là tứ giác nội tiếp. b. Chứng minh .
c. Chứng minh .
Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . Chứng minh
a. Vì , lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên ,
.
Xét tứ giác có: .
Do đó tứ giác nội tiếp đường tròn.
b. Vì (gt), (vì ) // . (hai góc so le trong) (1)
Tứ giác nội tiếp (cmt) (hai góc nội tiếp cùng chắn ) (2)
Từ (1) và (2) suy ta , hay . c. Ta có: (hai góc đối đỉnh) (3)
vuông tại có (gt) (cùng phụ với )
Hay (5)
Từ (3), (4) và (5) suy ra .
Xét và có: chung; (cmt)
(g.g) . (6)
d. nội tiếp đường tròn đường kính vuông tại .
Áp dụng hệ thức lượng trong vuông tại , , ta có: . (7)
Từ (6) và (7) suy ra .
Xét và có: chung; (cmt)
(c.g.c) (2 góc tương ứng). Xét có: và tia nằm giữa hai tia và . Do đó là tiếp tuyến của .
Cho đường tròn tâm đường kính và điểm ( không trùng với và ). Lấy điểm thuộc đoạn ( không trùng với và ). Tia cắt cung nhỏ tại điểm
, tia cắt tia tại điểm N.
1. Chứng minh là tứ giác nối tiếp. 2. Chứng minh .
3 Gọi là giao điểm thứ hai của hai đường tròn ngoại tiếp của tam giác và tam giác . Chứng minh ba điểm thằng hàng.
Lời giải
1. Có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Nên suy ra nên là tứ giác nội tiếp 2. Có đồng dạng (g-g) nên
Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). .
Theo chứng minh câu 1, là tứ giác nội tiếp nên ta có: (2 góc nội tiếp cùng chắn cung ).
(1)
Xét đường tròn tâm có (2 góc nội tiếp cùng chắn cung ). (2)
Từ (1) và (2), ta có: . Mặt khác, ta có:
Tam giác vuông tại nên . Tam giác vuông tại nên .
Do đó, ta có: .
Mà (chứng minh trên), nên ta có: . Do là tứ giác nội tiếp nên ta có: hay
Suy ra .
Vậy, các điểm , , thẳng hàng Bài 4.
a) Chứng minh rằng tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh rằng .
c) Chứng minh rằng tam giác và tam giác đồng dạng.
d) Gọi là diện tích tam giác là diện tích tam giác Chứng minh rằng
Lời giải
a) Ta có (gt)
Mà hai góc ở vị trí đối nhau, nên tứ giác là tứ giác nội tiếp (dhnb) b) Xét tam giác và có:
(do tứ giác nội tiếp ) (2 góc đối đỉnh)
Suy ra (g.g) .
c) Ta có (do tứ giác nội tiếp) mà (do tứ giác nội tiếp) suy ra .
suy ra
Xét hai tam giác và có: (cmt)
(cmt)
Suy ra (g.g)
d) Gọi là diện tích tam giác .
Vì nên
Vẽ
và có chung cạnh đáy nên:
Từ và suy ra
(đpcm) Bài 5.
Cho điểm nằm bên ngoài đường tròn . Từ điểm kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn đó ( là các tiếp điểm ). Qua điểm kẻ đường thẳng song song với cắt đường tròn tại . Nối cắt đường tròn tại . Tia cắt tại .
b) Chứng minh
c) Xác định vị trí của điểm để .
Lời giải
Lưu ý: Hình vẽ chỉ cần vẽ đúng đến câu là được điểm.
( 1,0 điểm )
Xét tứ giác có ( là các tiếp tuyến của ) .
.
(1,0 điểm)
Xét và có chung và (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung ) .
.
Xét và có chung.
Mà (so le trong).
Mặt khác (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung ).
.
.
Từ .
(0,5 điểm)
Mà .
Ta có
.
đi qua và là điểm chính giữa cung nhỏ .
đều vuông tại có .
BUỔI 4. CA 14+15. SỐ ĐO CUNG. ĐỘ DÀI CUNG TRÒN. DIỆN TÍCH HÌNH TRÒN, HÌNH QUẠT. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
1. Ổn định lớp
9A1: 9A2: 9A3:
2. Kiểm tra 3. Bài mới A. KIẾN THỨC