Xét ĐSGT của A,A = (XA, G, C, H, ≤), trong đó = { ( ), ( )} chỉ gồm hai gia tử. Dấu của các từ và gia tử như sau:
- + Ta thấy rằng,≤ +. Từ đó, ta định nghĩa − và + ( có xu thế ngữ nghĩa trái ngược nhau vì− ) = −1 và ( + ) = +1. −≤ − và
- Từ+≤+ ≤+ (hoặc− ≤− ≤−), đặt ( ) = −1 và ( )=+1.
- Hơn nữa, các bất đẳng thức V+ ≤+ ≤+ có nghĩa là khi tác động lên+ thì nó làm thay đổi ngữ nghĩa của từ+ theo cùng hướng với khi tác động lên+. Do đó, ta có
( , ) = +1 và được gọi là dấu quan hệ giữa V và L. Tương tự, ta thấy rằng+ ≤+ ≤+, tức là thay đổi ngữ nghĩa của+ theo hướng ngược với khi tác động lên+. Do đó, ta có
( , ) = −1.
- Với mọi = ℎ … ℎ1 , ∈ {−,+}, ta có thể xác định dấu của x như sau: ( ) =(ℎ , ℎ −1 ) × … ×(ℎ2, ℎ1) ×(ℎ1) ×( ). (1.1)
Do đó, ý nghĩa của dấu ( ) của từ được thể hiện qua Mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.1 [58]. (ℎ ) = +1 thì ≤ ℎ , và (ℎ ) = −1 thì ℎ ≤ .
Bảng 1.1. Ví dụ quan hệ dấu của một số gia tử.
sign(k, h E V M R L
Giả sử,− = { , ( ℎ )} và + = { ( ), } là hai tập gia tử âm và dương được sử dụng để cảm sinh các từ ngôn ngữ của biến ngôn ngữ A, chúng ta có các tính chất các từ ngôn ngữ và mô hình tính mờ của chúng như sau:
10
• {0} ≤ ( −) ≤ { } ≤ ( +) ≤ {1} và ( −) ∪ ( +) = \
•()=()∪()∪{}∪( )∪()
•()=+1⇒()≤()≤{}≤()≤()
•()=−1⇒()≤()≤{}≤()≤()
Định lý 1.1.[58] Cho tập H- và H+ là các tập sắp thứ tự tuyến tính của ĐSGT A =
(XA, C, G, H, ≤). Khi đó ta có các khẳng định sau:
(1) Với mỗi u XA thì H(u) là tập sắp thứ tự tuyến tính.
(2) Nếu XA được sinh từ G bởi các gia tử và G là tập sắp thứ tự tuyến tính thì
XA cũng là tập sắp thứ tự tuyến tính. Hơn nữa nếu u < v, và u, v là độc lập với nhau,
tức là u H(v) và v H(u), thì H(u) H(v).
Trong luận án này, khi nhắc đến ĐSGT mà không giải thích gì thêm thì mặc định là ĐSGT tuyến tính.
Điều cốt yếu ở đây là mọi biến ngôn ngữ đều liên quan đến một cấu trúc đại số tương hợp với bản sao biến số có cấu trúc toán học của nó. Do đó, cần phải thiết lập cơ sở hình thức tính toán trên biến số thay vì trên biến ngôn ngữ để có thể cài đặt được trên các công cụ tính toán nhưng vẫn bảo toàn được ngữ nghĩa định tính vốn có của các từ ngôn ngữ sau các thao tác trên biến số.