Biểu diễn của Dn phụ thuộc vào tính chẵn lẻ của n.[10] 3.3.1. Biểu diễn của nhóm Dn với n chẵn.
Theo Mệnh đề 1.2.2.2, nhóm Dihedrah Dn có n2 + 3 lớp liên hợp: {e}, n an/2 o ,ar, a−r 1≤ r ≤ n 2 −1 , n a2jb,1≤ j ≤ n 2 o , a2j+1b,1≤ j ≤ n2 . Do đó Dn có n2 + 3 đặc trưng bất khả quy. Xét K =< a2 > là nhóm con chuẩn tắc của Dn. Ta có Dn/K ∼= C
2 ×C2 và [Dn, Dn] =< a2 > có n2 phần tử. Suy ra số biểu diễn bất khả quy cấp một của Dn (n chẵn) bằng
[Dn : [Dn, Dn]] = 4.
Bốn đặc trưng bất khả quy cấp một χ1, χ2, χ3, χ4 này củaDn thu được bằng 4 cách đặt tương ứng ±1 với a và b. Các đặc trưng tương ứng được mô tả trong bảng sau:
am bam
χ1 1 1
χ2 1 -1
χ3 (−1)m (−1)m
χ4 (−1)m (−1)m+1
Tiếp theo, ta xét các biểu diễn cấp 2 của nhóm Dn. Đặt w = e2πi/n và định nghĩa biểu diễn ρk của Dn bởi công thức:
ρk(am) = wkm 0 0 w−km , ρk(bam) = 0 w−km wkm 0
biểu diễn, với mọi k. Đặc trưng của biểu diễn này là hàm χ0k sau đây: χ0k(am) = wkm + w−km = 2 cos2πkm n ;χ 0 k(bam) = 0. Từ đó, ta có ρk ∼= ρk+n, ρk = ρn−k. Vì vậy, ta chỉ cần xét k trong khoảng 0≤ k ≤ n/2. Nhận xét rằng: χ00 = χ1 +χ2, χ0n 2 = χ3 +χ4.
Với 0< k < n/2, dễ kiểm tra lại rằng< χ0k, χ0k >= 1, do đó χ0k là một đặc trưng bất khả quy.
Các đặc trưng χ1, χ2, χ3, χ4, χ01, χ02, ..., χ0n
2−1 là hệ đầy đủ các đặc trưng bất khả quy đôi một khác nhau của Dn bởi vì tổng bình phương các cấp của chúng là 4.1 + (n2 −1).4 = 2n và bằng cấp của Dn.
Từ kết quả trên, ta có bảng đặc trưng của nhóm Dn, với n chẵn như sau: e an/2 ar b ab χ1 1 1 1 1 1 χ2 1 1 1 -1 -1 χ3 1 (−1)n/2 (−1)r 1 -1 χ4 1 (−1)n/2 (−1)r -1 1 χ0k 2 2(−1)k 2cos2πkrn 0 0 với 1≤ r ≤ n2 −1, 1≤ k ≤ n2 −1
3.3.2. Biểu diễn của nhóm Dn với n lẻ
Theo Mệnh đề 1.2.2.2, nhóm Dn ứng với n lẻ có đúng n+32 lớp liên hợp là:
{e},ar, a−r (1 ≤ r ≤ n−1
2 ),{asb,0≤ s ≤ n−1}.
quy.
Đồng thời ta có [Dn, Dn] =< a >∼= C
2. Vì Cn / Dn và Dn/Cn ∼= C
2, nên ta theo Định lý 3.1.1, Dn có hai biểu diễn bất khả quy cấp một
Do đó Dn có hai đặc trưng cấp một χ1, χ2 xác định bởi: χ1(am) =χ1(bam) = 1
χ2(am) = 1, χ2(bam) = −1
Các biểu diễn cấp hai ρk(0 < k < n2) được định nghĩa bởi cùng một công thức khi n chẵn. Các đặc trưng χ01, χ02, ..., χ0n−1
2
của ρ1, ..., ρn−21 cùng với χ1, χ2 lập thành hệ đầy đủ các đặc trưng bất khả quy đôi một không đẳng cấu với nhau của Dn, vì
2.1 + n−1
2 .4 = 2n = |Dn| Ta có bảng đặc trưng của Dn ứng với n lẻ như sau:
e ar b χ1 1 1 1 χ2 1 1 -1 χ0k 2 2cos2πkrn 0 với 1≤ r ≤ n−1 2 , 1≤ k ≤ n−1 2 .
3.4. Biểu diễn nhóm quaternionXét nhóm quaternion Q8 Xét nhóm quaternion Q8
Q8 = a, b|a4 = e, a2 = b2, aba= b
Theo Mệnh đề 1.2.2.4, nhóm Q8 có 5 lớp liên hợp được đại diện bởi các phần tử e, a2, a, b, ab, nên nó có 5 biểu diễn bất khả quy đôi một không đẳng cấu với nhau.
Mặt khác, [Q8, Q8] =< a2 > là nhóm cyclic cấp 2 nên
Theo Định lí 3.1.3, Q8 có đúng 4 biểu diễn bất khả quy cấp một đôi một không đẳng cấu với nhau, vì chỉ số [Q8 : [Q8, Q8]] = 4.
Theo Hệ quả 2.2.4.3, biểu diễn bất khả quy thứ 5 của Q8 có cấp bằng √
8−4 = 2
Ta lại có một biểu diễn cấp 2 của Q8, được cho bởi tương ứng a 7→ √ −1 0 0 −√−1 b 7→ 0 1 1 0
Ta có đặc trưng χ5 của biểu diễn này có các tính chất: χ5(e) = 2, χ5(a2) =−2, χ5(a) =χ5(b) =χ5(ab) = 0.
Từ đó suy ra < χ5, χ5 >= 1. Vậy χ5 là một đặc trưng bất khả quy.
Bốn đặc trưng bất khả quy cấp một còn lại của Q8 được tìm theo phương pháp của Định lí 3.1.1. Chúng đều bằng 1 trên các phần tử của nhóm các giao hoán tử [Q8, Q8] = e, a2. Hơn nữa, vì a2 = b2 nên bốn đặc trưng này tương ứng với 4 cách ánh xạ a, b vào ±1, là các căn bậc hai của 1. Cuối cùng, giá trị của mỗi đặc trưng này trên ab bằng tích của hai giá trị của nó trên a và trên b.
Tất cả các đặc trưng bất khả quy đôi một không đẳng cấu của G được cho trong bảng sau, trong đó các số của dòng đầu tiên là số phần tử của lớp liên hợp đại diện bởi phần tử tương ứng ở dòng dưới.
1 1 2 2 2 e a2 a b ab χ1 1 1 1 1 1 χ2 1 1 -1 -1 1 χ3 1 1 -1 1 -1 χ4 1 1 1 -1 -1 χ5 2 -2 0 0 0
3.5. Biểu diễn nhóm đối xứng, nhóm thay phiên.3.5.1. Nhóm đối xứng, nhóm thay phiên. 3.5.1. Nhóm đối xứng, nhóm thay phiên.
Cho T là một tập hợp. Khi đó, tập S(T) gồm tất cả các song ánh trên T cùng với phép hợp thành các ánh xạ lập nên một nhóm. Phần tử đơn vị của S(T) là ánh xạ đồng nhất idT trên T. Phần tử nghịch đảo của phần tử α ∈ S(T) chính là ánh xạ ngược α−1.
Định nghĩa 3.5.1.1. [4]
Nhóm S(T) được gọi là nhóm đối xứng trên tập hợp T. Mỗi nhóm con của S(T) được gọi là một nhóm các phép thế trên T.
Đặc biệt, nếu T = {1,2, ..., n} thì S(T) được kí hiệu đơn giản là Sn và được gọi là nhóm đối xứng trên n phần tử.
Mệnh đề 3.5.1.2. [4] Sn là nhóm hữu hạn và |Sn| = n!. Với n≥ 2, ta đặt ∆n = Y 1≤i<j≤n (j−i) ∈ Z Xét phép thế α ∈ Sn, ta định nghĩa α(∆n) = Y 1≤i<j≤n (α(j)−α(i)) ∈ Z
Khi đó, kí số (hoặc dấu) của phép thế α, kí hiệu là sgn(α), là số sau đây:
sgn(α) = α(∆n)
∆n ∈ {1,−1} Nếu sgn(α) = 1 thì α được gọi là phép thế chẵn.
Mệnh đề 3.5.1.3. [4] Tập gồm tất cả các phép thế chẵn của Sn là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm Sn, kí hiệu là An và được gọi là nhóm thay phiên trên n phần tử. Nhóm An có cấp n2!.
Định nghĩa 3.5.1.4.
i. Giả sử x1, x2, ..., xk là các phần tử đôi một khác nhau trong {1,2, ..., n}. Ta kí hiệu (x1, x2, ..., xk) là phép thế được định nghĩa như sau
x1 7→x2, x2 7→x3, ..., xk−1 7→ xk, xk 7→x1
Khi đó, (x1, x2, ..., xk) được gọi là một xích với độ dài k trên tập nền {1,2, ..., n}.
ii. (x1, x2, ..., xk) được goi là một xích của phép thế α ∈ Sn nếu α tác động giống như (x1, x2, ..., xk) trên các phần tử x1, x2, ..., xk.
Định lý 3.5.1.5. [4]
Mọi phép thế α ∈ Sn đều là tích của tất cả các xích khác nhau của nó. Các tập nền của các xích này là tập con rời nhau của tập (1,2,...,n).
Quy ước: Để cho gọn, khi viết mỗi phép thế thành tích các xích, ta sẽ bỏ qua các xích có đội dài bằng 1. Chẳng hạn phép thế
α = 1 2 3 4 5 6 4 1 6 2 5 3
có thể viết thành các xích như sau α = (5)(3,6)(1,4,2) = (3,6)(1,4,2). 3.5.2. Biểu diễn nhóm đối xứng Sn ( n≤ 4 )
Với n = 2, ta có S2 ∼= C
Với n = 3, nhóm S3 có ba lớp liên hợp, được đại diện bởi các phần tử e, (1,2) và (1,2,3). Vậy S3 có ba biểu diễn bất khả quy đôi một không đẳng cấu với nhau. Mặt khác, S3 có hai biểu diễn cấp một là biểu diễn tầm thường χ1 và biểu biễn signature χ2 định nghĩa như sau
χ2(σ) = sgn(σ), σ ∈ S3.
Biểu diễn bất khả quy thứ ba χ3 có cấp bằng p|S3| − 12 −12 = 2. Nó được xác định bởi phương trình χ1 +χ2 + 2χ3 = rS3, trong đó rS3 là đặc trưng của biểu diễn chính quy của S3.
Ta có bảng các đặc trưng bất khả quy của S3 như sau
1 3 2 e (1,2) (1,2,3) χ1 1 1 1 χ2 1 -1 1 χ3 2 0 -1 Với n = 4: Ta có [S4, S4] = A4.
Thật vậy, với ∀a, b ∈ Sn, [a, b] = a−1b−1ab là một hoán vị chẵn. Cho nên [S4, S4] ⊂ A4.
Mặt khác, với mọi bộ ba hoán vị (i, j, k) ∈ A4 thì (i, j, k) sinh ra A4
và
(i, j)(i, k)(i, j)−1(i, k)−1 = (i, j)(i, k)(i, j)(i, k) = (i, j, k)
Do đó, A4 ⊂[S4, S4]. Vậy [S4, S4] = A4.
Từ đó ta suy ra số biểu diễn bất khả quy cấp một không đẳng cấu với nhau của S4 là [S4 : [S4, S4]] = 2. Ta lại có hai biểu diễn bất khả quy cấp một không đẳng cấu với nhau của S4 là biểu diễn tầm thường χ1 và biểu diễn signature χ2.
Nhóm S4 có 5 lớp liên hợp được đại diện bởi các phần tử e, (1,2), (1,2)(3,4), (1,2,3) và (1,2,3,4). Gọi S3 là nhóm con của S4 gồm các phép thế giữ cố định phần tử 4. Khi đó S4 là tích nửa trực tiếp của S3 bởi nhóm con chuẩn tắc H = [A4, A4]. Nghĩa là ta có:
H / S4, H ∩S3 = {e}, S4 = H.S3
Gọi ρ là một biểu diễn của S3.
Khi đó, vì ρ(h.s) = ρ(s) với ∀h ∈ H, s ∈ S3 nên ρ được mở rộng thành một biểu diễn của S4, cũng kí hiệu là ρ.
Bằng cách đó, ta thu được 3 biểu diễn bất khả quy của S4 có cấp tương ứng là 1, 1 và 2.
S4 đẳng cấu với nhóm con của SO(3) giữ ổn định khối lập phương với tâm tại gốc tọa độ R3. Đẳng cấu này xác định một biểu diễn của S4 trong R3. Cụ thể, S4 được đồng nhất với nhóm con gồm phần tử đơn vị và các phép quay khối lập phương các góc π2, π, −2π xung quanh một trong 3 trục nối tâm của các mặt đối diện, các phép quay các góc 23π,−32π xung quanh một trong 4 trục nối các cặp đỉnh xuyên tâm đối, và các phép quay góc π xung quanh một trong 6 trục nối các cặp cạnh xuyên tâm đối. Mỗi phép quay góc α nói trên có ma trận dạng sau đậy trong một hệ tọa độ phù hợp:
cosα −sinα 0 sinα cosα 0 0 0 1 Phép quay này có cấp bằng |2π α| và có vết bằng 1 + 2cosα. Do đó, nếu kí hiệu đặc trưng của biểu diễn cấp ba trên là χ4, thì giá trị tường minh của χ4 trên các lớp liên hợp được cho trong bảng bên dưới.
Theo Định lí 2.2.3.1, ta có: hχ4, χ4i = 1
24
h
nên χ4 là một đặc trưng bất khả quy của S4.
Cuối cùng, tích tenxơ của các biểu diễn trên với biểu diễn signature một chiều χ2 cũng là một biểu diễn bất khả quy cấp 3 với đặc trưngχ5 = χ2.χ4. Từ đó, tất cả các đặc trưng bất khả quy đôi một khác nhau của S4 được cho trong bảng sau:
1 6 3 8 6 e (1,2) (1,2)(3,4) (1,2,3) (1,2,3,4) χ1 1 1 1 1 1 χ2 1 -1 1 1 -1 χ3 2 0 2 -1 0 χ4 3 -1 -1 0 1 χ5 3 1 -1 0 -1
3.5.3. Biểu diễn nhóm thay phiên A4.
Nhóm thay phiên A4 gồm 12 hoán vị chẵn trên bốn phần tử 1,2,3,4. Theo Mệnh đề 1.2.2.4, nhóm A4 có 4 lớp liên hợp, được đại diện bởi các hoán vị e, (1,2)(3,4), (1,2,3) và (1,3,2).
Vậy A4 có tất cả 4 biểu diễn bất khả quy đôi một không đẳng cấu với nhau. Nhóm các giao hoán tử [A4, A4] gồm bốn phần tử
[A4, A4] = {e,(1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3)}
có chỉ số bằng 3 trongA4. Vì thế, A4 có đúng ba biểu diễn bất khả quy cấp một. Cấp của biểu diễn bất khả quy thứ 4 của A4 bằng p|A4| − 3.12 = 3.
Phần tử a = (1,2,3) sinh ra nhóm cyclic cấp ba K = e, a, a2 .
Đặt H = [A4, A4], ta thấy A4 là tích nữa trực tiếp của K bởi H theo nghĩa sau đây:
Mỗi đặc trưng cấp một χ của K được mở rộng thành một đặc trưng của A4 bằng cách đặt χ(h.k) = χ(k), với ∀h ∈ H,∀k ∈ K. Từ đó, ba đặc trưng cấp một của K ∼= C
3 cho ta 3 đặc trưng cấp một là χ1, χ2, χ3 của A4. Đặc trưng bất khải quy thứ tư χ4 được tìm bằng cách sử dụng phương trình trong Hệ quả 2.2.4.2
χ1 +χ2 +χ3 + 3χ4 = rA4
trong đó rA4 là đặc trưng của biểu diễn chính quy của nhóm A4. Bẳng sau đây mô tả đặc trưng của tất cả các biểu diễn bất khả quy của A4, trong đó w = e2πi/3: 1 3 4 4 e (1,2)(3,4) (1,2,3) (1,3,2) χ1 1 1 1 1 χ2 1 1 w w2 χ3 1 1 w2 w χ4 3 -1 0 0 3.6. Biểu diễn nhóm D3 ×C2 và nhóm A4 ×C2 3.6.1. Biểu diễn nhóm D3 ×C2
Theo Hệ quả 1.2.2.7, nhóm G= D3 ×C2 có 6 lớp liên hợp là {e},a, a−1 ,b, ab, a2b ,
{c},ac, a−1c ,bc, abc, a2bc
Do đó, G có 6 biểu diễn bất khả quy đôi một không đẳng cấu với nhau. Từ bảng đặc trưng của nhóm cyclic tổng quát đã xây dựng từ mục 3.2, ta áp dụng với n = 2 thì có bảng đặc trưng của nhóm cyclic C2 =< c > như sau:
e c
χ1 1 1
χ2 1 -1
Ta nhắc lại bảng đặc trưng của nhóm D3
e a b
ψ1 1 1 1
ψ2 1 1 -1
ψ3 1 2 0
Áp dụng Định lý 2.2.4.10, từ bảng đặc trưng nhóm D3 và C2, ta có bảng đặc trưng của G như sau:
e a b c ac bc ψ1 ×χ1 1 1 1 1 1 1 ψ2 ×χ1 1 1 -1 1 1 -1 ψ3 ×χ1 2 2 0 1 2 0 ψ1 ×χ2 1 1 1 -1 -1 -1 ψ2 ×χ2 1 1 -1 -1 -1 1 ψ3 ×χ2 2 2 0 -1 -2 0 3.6.2. Biểu diễn nhóm A4 ×C2
Theo Hệ quả 1.2.2.8, ta có nhóm G= A4 ×C2 có 8 lớp liên hợp là {e},{a, b, ba},{c, ca, cb, cba},c2, c2a, c2b, c2ba ,
{x},{ax, bx, bax},{cx, cax, cbx, cbax},c2x, c2ax, c2bx, c2bax
Do đó, G có 8 biểu diễn bất khả quy đôi một không đẳng cấu với nhau. Ta nhắc lại bảng đặc trưng của nhóm A4
1 3 4 4 e (1,2)(3,4) (1,2,3) (1,3,2) χ1 1 1 1 1 χ2 1 1 w w2 χ3 1 1 w2 w χ4 3 -1 0 0 Áp dụng Định lý 2.2.4.10, từ bảng đặc trưng nhóm A4 và C2, ta có bảng đặc trưng của G như sau:
(e,e) (u;e) ((123),e) ((132),e) (e,c) (u,c) ((123),c) ((132),c)
ψ1 ×χ1 1 1 1 1 1 1 1 1 ψ2 ×χ1 1 1 w w2 1 1 w w2 ψ3 ×χ1 1 1 w2 w 1 1 w2 w ψ4 ×χ1 3 -1 0 0 3 -1 0 0 ψ1 ×χ2 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 ψ2 ×χ2 1 1 w w2 -1 -1 -w -w2 ψ3 ×χ2 1 1 w2 w -1 -1 -w2 -w ψ4 ×χ2 3 -1 0 0 -1 1 0 0 trong đó u = (12)(34).
KẾT LUẬN
Luận văn “BIỂU DIỄN NHÓM HỮU HẠN VÀ ỨNG DỤNG” đã thực hiện được mục tiêu đề ra, cụ thể là thu thập và đọc hiểu những tài liệu về biểu diễn nhóm hữu hạn, từ đó trình bày lại các vấn đề sau:
1. Trình bày tóm tắt lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn, cùng những kết quả liên quan.
2. Ứng dụng lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn để biểu diễn một số nhóm hữu hạn quen biết, cụ thể là các nhóm cyclic, nhóm dihedral, nhóm