II. VÍ DỤ MINH HỌA:
Giải bài toán về phương trình hệ quả
I. PHƯƠNG PHÁP:
Cho hai phương trình: f(x, m) = 0 (1)
g(x, m) = 0 (2)
Với yêu cầu: “Tìm điều kiện của tham số m để pt (1) là hệ quả
của pt (2)” (nói cách khác: “Để mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm
của (2)”), ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Điều kiện cần
Giải và tìm nghiệm x = x0 của (1).
Để phương trình (1) là hệ quả của pt (2), trước hết cần x = x0
cũng là nghiệm của (2), tức là: g(x0, m) = 0 ⇒ m = m0
Vậy m = m0 chính là điều kiện cần.
Bước 2: Điều kiện đủ
Với m = m0
(1) ⇔ f(x, m0) = 0 ⇒ nghiệm của (1) (2) ⇔ g(x, m0) = 0 ⇒ nghiệm của (2)
Kết luận
II. VÍ DỤ MINH HỌA:
VD1: [3]Cho hai phương trình:
sin x + m . cos x = 1 (1) m . sin x + cos x = m2 (2)
Tìm m để mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2).
Giải: Điều kiện cần:
Nhận xét rằng với mọi m (1) luôn có nghiệm x = π
2 + 2kπ, k ∈ Z
Do đó để mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2) trước hết cần x = π
m . sin π + 2kπ + cos π + 2kπ = m2 2 2 ÷ ÷ ⇔ ⇔ m = 0 m = 1
Đó chính là điều kiện cần của m.
Điều kiện đủ:
Với m = 0, ta được: (1) ⇔ sin x = 1
(2) ⇔ cos x = 0
Suy ra mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2).
Với m = 1, ta được: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
(1), (2) ⇔ sin x + cos x = 1
Suy ra mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2). Vậy với m = 0 hoặc m = 1 thỏa mãn điều kiện đầu bài.
Chú ý: Tồn tại những bài toán mà không thể chỉ ra được dạng nghiệm tường minh cho phương trình (1) khi đó ta cần đánh giá thông qua tính chất nghiệm của các phương trình lượng giác, thí dụ như pt sin x = m có nghiệm x0 thì cũng nhận π – x0 làm nghiệm, khi đó bằng cách thay vào (2) cả x0 và π – x0 vào (2) ta sẽ tìm được điều kiện cần cho tham số. Cụ thể ta đi xem xét ví dụ sau:
VD2:[2] Cho hai phương trình: cos(x + y) = a (1) sin(x + y) = b (2)
Tìm a, b để mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2).