Cho lƣợc đồ khối = (R, Fh), R = (id; A1, A2,…, An) và X, U0, UK, UI, là các tập thuộc tính chỉ số
n (i) i 1
id
; đối với lƣợc đồkhối , ta ký hiệu: - U0 là tập hợp các thuộc tính không khóa.
- UK là tập hợp các thuộc tính khóa
- UI là tập hợp các thuộc tính nằm trong mọi khóa.
Cho các lƣợc đồ khối = (R, Fh), R = (id; A1, A2,…, An), = (S,G), = \X. Khi đó, ta ký hiệu:
x = (Rx, Fhx) là lƣợc đồ lát cắt của = (R, Fh) tại điểm x, x = (Sx, Gx) là lƣợc đồ lát cắt của = (S, G) tại điểm x,
Mệnh đề 2.2[4]
Cho lƣợc đồ khối = (R, Fh), R = (id; A1, A2,…, An) và X, Y, Q
n (i) i 1
id
, X = {x(i), x id, i A}, Y = {x(i), x id, i B}, Q = {x(i), x id, i C}; A, B, C {1, 2, .., n}, = (S, G), = \X. Khi đó:
a) Nếu Y là siêu khóa của thì Y\X là siêu khóa của .
b) Nếu Y là siêu khóa của thì Yx\ Xx là siêu khóa của x =(Sx,Gx), x id, ở đây Xx = {x(i), i A}, Yx = {x(i), i B}.
c) Nếu Q là siêu khóa của thì XxQx là siêu khóa của x, x id, ở đây Qx = {x(i), i C}. Trƣờng hợp X chỉ gồm các thuộc tính không khóa của và Q là siêu khóa của thì Qx chính là siêu khóa của x, x id.
Chứng minh
a) Giả sử Y là siêu khóa của , đặt P = Y\X P Q = và Y XP. Theo giả thiết Y là siêu khóa của , do đó:
X( n (i) i 1 id \X)= n (i) i 1 id =Y+Fh (XP)+Fh = X(P)+Fh\X. Mà: X ( n (i) i 1 id \X) = , X P+Fh\X = P+Fh\X = n (i) i 1 id \X(1) Từ (1), ta thấy P = Y\X chính là siêu khóa của = \X.
b) Giả sử Y là siêu khóa của , theo kết quả của a) ta có Y\X là siêu khóa của = \X. Từ đó, ta có: Yx\Xx là siêu khóa của x = (Sx, Gx), x id.
c) Giả sử Q là siêu khóa của thì: Q X= , Q+Fh\X=
n (i) i 1 id \X Suy ra: (XQ)+Fh = X(Q)+Fh\X =X( n (i) i 1 id \X) = n (i) i 1 id Vậy, XQ là siêu khóa của .
Nếu X chỉ gồm các thuộc tính không khóa của thì việc loại bỏ từ siêu khóa XQ các thuộc tính không khóa X vẫn cho ta siêu khóa Q của .
d) Giả sử Q là siêu khóa của , thì theo c) ta có XQ là siêu khóa của . Từ đó, ta có XxQx là siêu khóa của x, x id.
Trƣờng hợp X chỉ gồm các thuộc tính không khóa của , thì suy ra Xx là tập các thuộc tính không khóa của x, do đó Qx = XxQx\Xx chính là siêu khóa của x, x id.
Mệnh đề 2.3[4]
Cho lƣợc đồ khối = (R, Fh), R = (id; A1, A2,…, An) và X, Q
n (i) i 1
id
,
X = {x(i), x id, i A}, Q = {x(i), x id, i C}; A, C {1, 2, .., n}, = (S, G), = \X+. Khi đó, nếu Q là siêu khóa của thì:
a) XQ là siêu khóa của .
b) XxQx là siêu khóa của x, x id.
Chứng minh
a) Giả sử Q là siêu khóa của , theo mệnh đề 2.2, ta có X+Q là siêu
khóa của , khi đó (X+Q)+ =
n (i) i 1 id . Mà ta có: (XQ)+ = (X+Q)+ = n (i) i 1 id XQ là siêu khá của .
b) Giả sử Q là siêu khóa của thì theo a) ta có XQ là siêu khóa của . Từ đó, ta có: XxQx là siêu khóa của x, x id.
Mệnh đề 2.4[4]
Cho lƣợc đồ khối = (R, Fh), R = (id; A1, A2,…, An) và X, K
n (i) i 1
id
,
X = {x(i), x id, i A}, K={x(i), x id, i B}; A, B {1, 2, .., n}, = (S, G), = \X.
Khi đó,
b) Nếu K là khóa của thì Kx\Xx là khóa của x = (Sx, Gx), x id. Ở đây, Kx = {x(i), i B}, Xx = {x(i), i A}.
Chứng minh
a) Giả sử, K là khóa của K là siêu khóa của , theo mệnh đề 2.2, ta có K\X là siêu khóa của . Nếu K\X không phải là khóa của thì M K\X là siêu khóa của , theo mệnh đề 5.2 ta lại có XM là siêu khóa của .
Mà XM X(K\X)=K, điều này mâu thuẫn với giả thiết K là khóa của . Do đó, K\X là khóa của .
b) Giả sử K là khóa của , khi đó, theo a) ta có K\X là khóa của . Vậy ta có Kx\Xx là khóa của x, x id.
Mệnh đề 2.5[4]
Cho lƣợc đồ khối = (R, Fh), R = (id; A1, A2,…, An) và X, K
n (i) i 1
id
,
X = {x(i), x id, i A}, K = {x(i), x id, i B}; A, B {1, 2, .., n}, X U0, = (S, G), = \X. Khi đó,
a) Nếu K là khóa của thì K là khóa của
b) Nếu Kx là khóa của x = (Sx, Gx), Kx = {x(i), i B}, x id thì K là khóa của .
Chứng minh
a) Giả sử K là khóa của K là siêu khóa của theo mệnh đề 2.2, ta có K là siêu khóa của (vì giả thiết X U0). Ta chứng minh K là khóa của
.
Giả sử K không là khóa của , khi đó K’ K mà K’ là siêu khóa của . Theo mệnh đề 2.2, ta có K’ =K’\X (vì giả thiết X U0) là siêu khóa của , điều này mâu thuẫn với giả thiết K là siêu khóa của . Vậy K là khóa của .
b) Giả sử Kx là khóa của x= (Sx, Gx), Kx = {x(i), i B}, x id, khi đó, ta có K là khóa của , từ đó, dựa vào kết quả của a) ta có K là khóa của .
Mệnh đề 2.6 (điều kiện cần và đủ)[4]
Cho lƣợc đồ khối = (R, Fh), R = (id; A1, A2,…, An) và X, K
n (i) i 1
id
,
X = {x(i), x id, i A}, K = {x(i), x id, i B}; A, B {1, 2, .., n}, X U0, = (S, G), = \X. Khi đó,
a) K là khóa của khi và chỉ khi thì K là khóa của
b) K là khóa của khi và chỉ khi Kx là khóa của x = (Sx, Gx), Kx = {x(i), i B}, x id.
Chứng minh
a) K là khóa của K là khóa của
Thật vậy, từ giả thiết K là khóa của , X U0 và mệnh đề 2.4 ta suy ra K =K\X là khóa của
K là khóa của K là khóa của
Giả sử K là khóa của , vì X U0 theo mệnh đề 2.5 ta suy ra K là khóa của
b) Giả sử K là khóa của theo kết quả của câu a) ta suy ra K là khóa của ta có Kx là khóa của x = (Sx, Gx), Kx = {x(i), i B}, x id.
Ngƣợc lại, nếu Kx là khóa của x = (Sx, Gx), Kx = {x(i), i B}, x id. ta có K là khóa của
Từ đó, áp dụng kết quả của câu a) K là khóa của .