Phƣơng phỏp PCA ở trờn cũn cú nhƣợc điểm là chỉ làm nổi bật lờn cỏc đặc trƣng của từng ảnh mà chƣa quan tõm đến cỏc ảnh đú là của cựng một ngƣời hay của những ngƣời khỏc nhau. Phƣơng phỏp phõn tỏch tuyến tớnh [4] (LDA - Linear Discriminant Analysis) cú thể khắc phục đƣợc những nhƣợc điểm đú. Nhiệm vụ chớnh của phƣơng phỏp là tớnh sự biến thiờn giữa cỏc ảnh của những ngƣời khỏc nhau và tớnh sự biến thiờn giữa cỏc ảnh của cựng một ngƣời, sau đú tỡm một phộp biến đổi để làm cực đại tỷ số của hai sự biến thiờn trờn. Nghĩa là, tập ảnh huấn luyện sẽ đƣợc biến đổi sang một khụng gian mới sao cho sự khỏc nhau giữa cỏc ảnh của những ngƣời khỏc nhau đƣợc tăng lờn tối đa, cũn sự giống nhau giữa cỏc ảnh của cựng một ngƣời đƣợc làm cực đại. Hỡnh 2.6 là một vớ dụ minh họa trực quan ý nghĩa của phộp biến đổi này. Hỡnh 2.6 (a) là một cỏch biến đổi khụng tốt khi cỏc hỡnh chiếu của cỏc điểm thuộc hai lớp vẫn lẫn lộn với nhau; hỡnh 2.6 (b) là một cỏch biến đổi khỏ tốt khi hỡnh chiếu của cỏc điểm thuộc cựng một lớp gần nhau, cũn hỡnh chiếu của cỏc điểm khỏc lớp xa nhau.
50
Số hoỏ bởi Trung tõm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
Hỡnh 2.6. Vớ dụ minh họa LDA
Thụng thƣờng trong phƣơng phỏp LDA, sự phõn bố ngoại và sự phõn bố nội đƣợc dựng làm tiờu chớ để phõn lớp. Ma trận phõn bố nội đƣợc tớnh nhƣ sau [5]:
w 1 1 1 C Nj T j j i j i j j i S X X N (15) Trong đú: - j i X là ảnh thứ i của lớp j.
- j là giỏ trị trung bỡnh của lớp j.
- C là số lƣợng lớp.
- Nj là số lƣợng ảnh trong lớp j.
- N là tổng số ảnh trong tập huấn luyện. Ma trận phõn bố ngoại: 1 1 C T b j j j S C (16) Trong đú: là giỏ trị trung bỡnh của tất cả cỏc lớp.
Khụng gian mới của LDA đƣợc hỡnh thành từ tập vector W = [W1,..,Wd], thỏa món: T b T w W S W W = argmax = W S W (17)
Ma trận phõn bố nội Sw biểu diễn sự phõn bố gần nhau của cỏc ảnh trong cỏc lớp và ma trận phõn bố ngoại Sb mụ tả sự tỏch biệt của cỏc lớp. Khi cỏc ảnh đƣợc chiếu lờn cỏc vector của W, cỏc ảnh sẽ đƣợc phõn bố gần nhau trong mỗi lớp và sẽ đƣợc tỏch biệt giữa cỏc lớp, càng nhiều càng tốt. Núi cỏch khỏc, cỏc vector này cực tiểu húa mẫu số và cực đại húa tử số của cụng thức (17). Nếu ma trận Sw là khả nghịch, tỷ số ở cụng
51
Số hoỏ bởi Trung tõm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
thức (17) sẽ đạt cực đại khi cỏc vector của W là cỏc vector riờng của -1 w b
S S . Đối với bài toỏn nhận dạng mặt ngƣời, ma trận Sw thƣờng khụng khả nghịch, vỡ số lƣợng ảnh nhỏ hơn rất nhiều so với số chiều biểu diễn ảnh. Cú nhiều phƣơng phỏp khỏc nhau để giải quyết vấn đề của LDA nhƣ phƣơng phỏp giả nghịch đảo, phƣơng phỏp khụng gian con hoặc phƣơng phỏp khụng gian null.
Trong luận văn này, phƣơng phỏp giả nghịch đảo đƣợc dựng để giải quyết vấn đề trờn. Vỡ ảnh gốc cú kớch thƣớc 112ì92, mỗi ảnh cú thể coi là một điểm trong khụng gian 10304 chiều, số chiều này quỏ lớn để cú thể thực hiện LDA nờn trƣớc hết cần sử dụng phƣơng phỏp PCA để giảm bớt số chiều của khụng gian này. Sau đú, ỏp dụng phƣơng phỏp giả nghịch đảo với tập dữ liệu mới để tỡm ma trận biến đổi W.
Để tớnh ma trận giả nghịch đảo + w S , Sw đƣợc phõn tớch nhƣ sau: w 1 1 T S Q Q (18) Trong đú:
- = diag(1, .., k) chứa cỏc giỏ trị riờng dƣơng của Sw, nghĩa là cỏc phần tử trờn đƣờng chộo chớnh của là cỏc giỏ trị riờng của Sw, cũn cỏc phần tử khỏc đều bằng 0.
- k là hạng của Sw.
- Q1 chứa cỏc vector riờng của Sw tƣơng ứng với k giỏ trị riờng dƣơng. Khi đú ma trận giả nghịch đảo của Sw là:
+ 1
w 1 1
T
S Q Q (19)
Cuối cựng, cỏc vector riờng của + w
S ứng với cỏc giỏ trị riờng dƣơng chớnh là cỏc vector cột của ma trận biến đổi W.
Hỡnh 2.7 là một số ảnh sau khi biến đổi theo phƣơng phỏp phõn lớp tuyến tớnh.
52
Số hoỏ bởi Trung tõm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
Hỡnh 2.7. Ảnh sau khi biến đổi theo LDA