Cực và đường đối cực là một công cụ hiệu quả trong chứng minh quan hệ vuông góc trong mặt phẳng. Dưới đây chúng tôi minh họa một số ví dụ về khai thác các tính chất của cực và đường đối cực trong giải bài toán chứng minh vuông góc.
Ví dụ 2.8. [4] Giả sử đường tròn (O) với tâm O và bán kính R. Qua điểm M
nằm trong đường tròn (M khác điểm O) vẽ hai dây cung CD và EF không đi qua tâm O. Hai tiếp tuyến tại C, D của (O) cắt nhau tại điểm A, hai tiếp tuyến tại E, F
của (O) cắt nhau tại điểm B. Chứng minh rằng OM và AB vuông góc với nhau.
. O I A Q B T N P M E C D
Giải. Bài toán có hai tiếp tuyến với đường tròn với yêu cầu chứng minh vuông góc. Điều này giúp ta liên tưởng đến đường đối cực của một điểm đối với một đường tròn. Ta thấy đường đối cực của điểm A là đườngthẳng CD
đi qua M nên đường đối cực của điểm
M sẽ đi qua điểm A (Hình 2.8). Tương tự, đường đối cực của điểm M đi qua
điểm B. Vậy, đường thẳng AB chính là đường đối cực của điểm M. Do đó, AB
vuông góc với OM.
Ví dụ 2.9. [4] Cho tam giác ABC cân tại A. Hai đường thẳng d1, d2 bất kì qua
điểm A. Các đường thẳng đi qua B, C tương ứng vuông góc với d1, d2 cắt nhau tại
D. Đường thẳng đi qua B vuông góc với AB cắt d1 tại E, đường thẳng đi qua C
vuông góc với AC cắt d2 tại F. Chứng minh rằng AD vuông góc với EF.
Giải. Bài toán này không xuất
hiện đường tròn nhưng ta để ý thấy yếu tố “cân” trong tam giác ABC. Vậy, có đường tròn tâm A, bán kính AB đi qua B
và C (Hình 2.9).
Dễ nhận thấy BE, CF lần lượt là các tiếp tuyến của đường tròn (A; AB). Đường đối cực của điểm E sẽ đi qua điểm B và vuông góc với AE hay d3.
Tương tự, đường đối cực của điểm F sẽ đi qua điểm C và vuông góc với CF hay d4. Vậy, cực của đường thẳng EF đối với đường tròn (A; AB) chính là điểm D. từ đó suy ra AD vuông góc với EF.
Hình 2.8
Ví dụ 2.10.[4] Cho tam giác ABC với các đường cao BB’, CC’. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AC, AB. Đường thẳng EF cắt đường thẳng B’C’ tại điểm K. Chứng minh rằng AK vuông góc với đường thẳng Ơle của tam giác ABC.
Giải. Ta xét cực và đường đối cực đối với đường tròn Ơle của tam giác ABC
(đường tròn tâm O9). Gọi I là giao điểm của FB’ và EC’, G là giao điểm của CF và
BE, H là giao điểm của BB’ và CC’. Áp dụng định lý Pa-puýt cho hai bộ ba điểm (F, C’, B) và (E, B’, C) ta suy ra ba điểm H, G, I thẳng hàng (Hình 2.10). Do đó, O9I
là đường thẳng Ơle của tam giác ABC (1)
Hình 2.10
Mặt khác, chú ý E, F, B’, C’ cùng nằm trên đường tròn (O9) nên suy ra AK chính là đường đối cực của điểm I. Vậy, O9I vuông góc với AK (2) Từ (1) và (2) ta suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 2.11. [4] Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Các đường
phân giác trong BE, CF của các góc B, góc C cắt lại (O) lần lượt tại M, N. Đường thẳng qua điểm M vuông góc với BM cắt đường thẳng đi qua N vuông góc với CN
tại điểm S. Chứng minh rằng SO vuông góc với EF.
Giải. Trước hết ta tìm đường đối cực của điểm S đối với đường tròn (O) và
chứng minh rằng nó song song với EF. Các đường thẳng SN, SM cắt lại (O) lần lượt tại L, G. Khi đó, ta dễ thấy C, O, G thẳng hàng và B, O, L thẳng hàng. Tiếp tuyến tại
G và N của (O) cắt nhau tại điểm Q, tiếp tuyến của tại L và M của (O) cắt nhau tại điểm P. Đường thẳng OP cắt LM tại điểm H, đường thẳng OQ cắt NG tại điểm K.
Ta thấy, đường đối cực của điểm Q là đường thẳng GN đi qua S nên đường đối cực của điểm S đi qua điểm Q. Tương tự, đường đối cực của điểm S cũng đi qua điểm P. Do đó, đường đối cực của điểm S là PQ (Hình 2.11).
Ta chứng minh PQ // EF. Thật vậy, ta thấy IE // OP, IF // OQ nên để chứng minh PQ // EF ta chỉ ra góc lượng giác FI FE, (QO QP, )k2 .
Hình 2.11
Mặt khác, ta nhận thấy 2 2
. .
OK OQOG OL OH OP.Từ đó suy ra 5 điểm
Q, K, H, P cùng nằm trên đường tròn và QO QP, (HK HO, ) k 2 .Từ đó suy ra ta cần chỉ ra FI FE, (HK HO, )k 2
(1) Kẻ ID, IV lần lượt vuông góc với AC, AB và chú ý rằng:
sin sin sin sin ID IE IED IFV IV IF IED IFV (vì ID = IV)
sin sin 2 sin sin 2 C A NAC CM OK B MAB BM OH A (định lý hàm số sin) (2) Ta lại có IE // OH, IF // OK nên FI FE, (HK HO, )k2 (3) Từ (2) và (3) suy ra tam giác IEF đồng dạng với tam giác OKH. Do đó, (1) đúng nên suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 2.12. [4] Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (I) và nội tiếp
đường tròn (O). Tiếp điểm của đường tròn (I) trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt là M, N, P, Q. Chứng minh rằng MP vuông góc với NQ.
Giải. Trường hợp tứ giác ABCD có ít nhất một cặp cạnh song song thì đơn
giản. Ta sẽ giải bài toán trong trường hợp còn lại.
Hình 2.12
Xét cực và đường đối cực đối với đường tròn (I) (Hình 2.12). Đường thẳng
AB cắt đường thẳng CD tại điểm E, đường thẳng AD cắt đường thẳng BC tại điểm
F. Ta thấy cực của đường thẳng MP là điểm E, cực của đường thẳng NQ là điểm F. Để giải bài toán ta chỉ cần chứng minh IE và IF vuông góc với nhau. Thật vậy, IE,
IF lần lượt là phân giác của các góc AED, AFB. Gọi giao điểm của IF với AB và
Ví dụ 2.13. [4] Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm (O). Gọi M, N,
P, Q lần lượt là các tiếp điểm trên các cạnh AB, BC, CD, DA với đường tròn. Gọi K
là giao điểm của MQ với NP. Chứng minh rằng OK vuông góc với AC.
Giải. Bài toán xuất hiện các tiếp tuyến từ một điểm đến đường tròn, từ đó ta
dễ dàng nhận thấy đường thẳng AC là đường đối cực của điểm K và đường thẳng
QK là đường đối cực của điểm A. Do đó, gọi E và F là hai giao điểm của AC với đường tròn (O). Hai tiếp tuyến qua E và F với đường tròn (O) cắt nhau tại K’. Dễ dàng chứng minh được rằng các điểm K’, N, P thẳng hàng và K’, M, Q thẳng hàng (Hình 2.13). Từ đó suy ra K’ là giao điểm của MQ với NP hay K’ K. Vậy KE, KF
là hai tiếp tuyến kẻ từ K với đường tròn (O). Từ đó suy ra KO EF hay KO AC.
Hình 2.13
Ví dụ 2.14. [2] Cho tứ giác MNPQ nội tiếp đường tròn (O). Đặt K = QM PN,
L = MN QP, I = MP QN. Chứng minh rằng I là trực tâm của tam giác KOL.
Giải. Phân tích tương tự ví dụ 2.13 ta thấy xuất hiện các cực và đường đối
cực trong bài toán này, do đó sẽ có các điểm cùng nằm trên một đường thẳng.
. B A E M O N F C P D Q K
Kẻ bốn tiếp tuyến đi qua M, N, P, Q với đường tròn (O). Các tiếp tuyến này cắt nhau tại bốn điểm là A, B, C, D. Dễ thấy I là giao điểm của AC với BD.
Mặt khác, ta thấy BD OL nên suy ra D, B, K thẳng hàng. Suy ra KI OL
và LI KO hay I là trực tâm của KOL (Hình 2.14).