Fibonacci tổng quát
Phần này sẽ trình bày các kết quả về việc biểu diễn một số tự nhiên thành tổng của các số Fibonacci tổng quát. Đây là nội dung chính của luận văn và được trình bày dựa vào các kết quả của D. E. Daykin (xem [2], [3]).
Cặp dãy các số tự nhiên (an),(kn) được gọi là thỏa mãn tính chất P
nếu thỏa mãn điều kiện sau: Mỗi số tự nhiên N tồn tại duy nhất các số tự nhiêni1,i2, . . . ,id sao cho
N =ai1+ai2+· · ·+aidvà iv+1>iv+kv, 16v<d.
Nếu dãy (kn) là dãy (1,1, . . . thì điều kiện iv+1 6iv+kv có thể thay bởi
iv 6=it với 16 v<t 6d. Mặt khác nếu (kn) 6= (1,1, . . .) thì phải có giả thiết a1 <a2< . . .. Trong Định lí 2.2.3 chỉ ra giả thiết dãy(an) phải tăng thực sự mới tồn tại dãy (kn) để cặp dãy(an),(kn) thỏa mãn tính chất P là dãy Fibonacci (vn)bậc (h,k):
Định nghĩa 2.2.1. Giả sửh, klà các số tự nhiên sao choh6k6h+1. Ta định nghĩa dãy dãy số Fibonacci {vn}bậc (h,k) xác định như sau
vn =n với16n6k, vn =un−1+un−h vớik<n<k+h, vn =un−1+un−h+ (k−h) vớin>k+h. (2.8)
Nhận xét 2.2.2. Dãy số Fibonacci (un)n trong Định nghĩa 1.1.1 ở Chương 1, là dãy Fibonacci bậc(2,2).
Zeckendorf (xem 1.7) đã chứng minh được mọi số nguyên dươngN có duy nhất biểu diễn dưới dạng
N =ui1+ui2+· · ·+uid, trong đó
i1≥1 và iν+1−iν ≥2 vớii≤ν <d, (2.9) Chúng tôi sẽ trình bày kết quả mở rộng của Định lí Zeckendorf như sau:
Định lí 2.2.3. Giả sử(vn)n là dãy Fibonacci bậc(h,k)). Khi đó với mỗi số tự nhiên N, tồn tại duy nhất bộ sối1,i2, . . . ,id thỏa mãn
N=vi1+vi2+· · ·+vid vớii2>i1+hnếu d>1 vàiv+1>iv+kvới26v<d. (2.10)
Ngoài ra,vid 6N <vid+1.
Để chứng minh Định lí 2.2.3 ta xét bổ đề sau:
Bổ đề 2.2.4. Giả sử t là số nguyên dương bất kỳ. Với mọi số tự nhiên N
thỏa mãnvt6N <vt+1, thìN có biểu diễn dạng (2.10) vớiid =t; hơn nữa biểu diễn này là duy nhất.
Chứng minh Bổ đề:Ta sẽ chứng minh quy nạp theot. Vì k số hạng đầu tiên của dãy (vn) là 1,2, . . . ,k và k <vk+1 <vk+2 < · · ·, nên bổ đề đúng với mọit <k.
Xétmlà số nguyên bất kỳ,m>k. Giả sử bổ đề đúng vớit <m.Vậy, từ giả thiết quy nạp, nếu vm 6N <vm+1 thìN không thể biểu diễn như dạng (2.10) với id <t. Hơn nữa, vì vm+1 <vm+2 <· · ·, nên N không thể biểu diễn như dạng (2.10) với id >t. Vì vậy đề N có biểu diễn dạng (2.10) cần phải cóid =t. Vì
06N =vm<vm+1−vm6vm,
nên tồn tại ít nhất một biểu diễn củaN−vm. Do đó tồn tại ít nhật một biểu diễn của N. Đặt M=N−vm. Do m>k nên ta có
06M <vm+1−vm= vm+1−h nếum+1<h+k vm+1−k+k−h nếum+1>h+k Ta có các trường hợp sau 1. NếuM =0 thìN =vm.
2. NếuM >0 thì
(a) nếu m+1<h+kthì0<M <vm+1−h và vìm+1−h<k, nên ta có vm+1−h=m+1−h. Hơn nữaM=vM, vì vậyN =vM+vm với
m−M>m−(m+1−h) =h−1, nghĩa là m−M>h.
(b) nếu m+1>h+k thì 0< M <vm+1−k+k−h và ta có k−h=
0hoặc =1.
i. M =vm+1−k, khi đó k−h=1, và N =vm+1−k+vm với m−
(m+1−k) =k−1=h.
ii. M <vm+1−k. Khi đó theo giả thiết quy nạp tồn tại biểu diễn củaM như dạng (2.10), tức làM =vi1+vi2+· · ·+vid vớiid <
m+1−k. Vì vậy, từ m>id+kta có
N =vi1+vi2+· · ·+vid +vm.
Như vậy, vì1=v1 <v2 < . . . nên với mọi số tự nhiênN, tồn tạit ∈N
sao cho vt ≤N ≤vt+1 và N =vi1+vi2+. . .+vid và biểu diễn này là duy nhất, nên định lý được chứng minh.
Định lí 2.2.5. Nếu(an),(kn)là cặp dãy số tự nhiên với tính chấtP, và(an)
là dãy tăng, thì
k1 6k26k1+1, kn=k2 vớin>3
và dãy (an)là dãy Fibonacci bậc(h,k)với h=k1,k=k2.
Xét (an),(kn) là cặp dãy số tự nhiên với tính chất P. Giả sử dãy (an) sau khi được sắp xếp theo thự tự tăng dần ta được dãy số(bn). Trong chứng minh Định lí 2.2.5 sử dụng các kết quả sau:
Bổ đề 2.2.6. Với r 62 ta cóbr =r. Nếur >2thì br là số nhỏ nhất không có biểu diễn (2.10)với các số hạngb1,b2, . . . ,br−1.
Chứng minh. Rõ ràng b1 =1 và b2 =2 suy ra từ tình biễu diễn duy nhất của 1 và 2. Giả sử r >2. Khi đó nếu br có biểu diễn dạng (2.10) chỉ sử dụng các số hạng b1, . . . ,br−1 thì từ tính duy nhất của biểu diễn của br
ta suy ra điều mâu thuẫn. Hơn nữa, nếu tồn tại số tự nhiên N <br biểu diễn bằng các số hạng b1, . . . ,br−1 thì N không thể biểu diễn qua tất cả
a1, . . . ,ar.
Giả sửa1<a2<· · ·. Khi đó từ Bổ đề 2.2.6 ta có ngay kết quả sau
Bổ đề 2.2.7. Giả sử(kn) là dãy số tự nhiên, khi đó tồn tại nhiều nhất một dãy tăng(an) sao cho cặp dãy số tự nhiên(an),(kn) có tính chấtP.
Tiếp theo, để trình bày về biểu diễn số tự nhiên bằng các số Fibonacci tổng quát thứ 2(xem Định lí 2.2.11)ta sẽ dùng các ký hiệu sau đây:
• {. . .}là dãy số nguyên.
• (. . .) là một vector có các tọa độ nguyên.
• [. . .]là các ma trận mà phần tử là các số nguyên.
• V là tập hợp bao gồm các vector có dạng(i1,i2, . . . ,id) vớid >1, các thành phần iν là các số nguyên với1≤i1 ≤i2 ≤. . .id. Thông thường ta sẽ viếtI thay cho (i1,i2, . . . ,id).
• M là ma trận thay cho[uµ ν].
Dãy{an}là dãy số tự nhiên, tăng thực sự với số hạng đầu tiên là 1, tức là,
a1<a2< . . . <an< . . . .
Ký hiệua(I) hoặca(i1,i2, . . . ,id) thay cho số
a(I) =a(i1,i2, . . . ,id) =ai1+ai2+. . .+aid.
Chú ý: dãy số Fibonacci{un}được định nghĩa bằng nhiều cách, chẳng hạn như
. . . ,0,0,0,0,0,0,0,0,1,2,3,5,8,13, . . . . . . ,0,0,0,0,0,0,0,1,1,2,3,5,8,13, . . . ,
và
. . . ,−8,5,−3,2,−1,1,0,1,1,2,3,5,8,13, . . . .
Trong Định lí 1.7 là kết quả mở rộng của Định lí Zeckendorf khi thay hằng số 2 trong Định lí 2.10 bằng dãy (kn). Kết quả mở rộng tiếp theo bằng cách thay dãy (kn) bằng ma trận vô hạn M = [mµv] với m,v>1 và
mµv là các số tự nhiên, được mô tả trong định nghĩa dưới đây.
Định nghĩa 2.2.8. Dãy {an} và ma trận M được gọi là biểu diễn các số nguyên, nếu với mỗi số nguyên dương N tồn tại một và chỉ một vector
I ∈V sao cho N =a(I) và
iµ −iν >mµ−ν,ν với16ν <µ 6d. (2.11)
Định nghĩa 2.2.9. Xét dãy {an}và tập hợpw vớiW ⊆V. Ta nói {an},W
là biểu diễn nguyên nếu với mỗi số nguyên dương N tồn tại duy nhất một vectorI ∈W sao cho N =a(I).
Tiên đề 1. Nếu (i1,i2, . . . ,id)∈V, (ji, j2, . . . , je)∈W với16d 6e và iν+1−iν > jν+1−jν với16ν <d thì (i1,i2, . . . ,id)∈W. Từ Tiên đề 1 ta có nhận xét quan trọng sau:
Nhận xét 2.2.10.
(i1,i2, . . . ,id)∈W ⇔(i1+1,i2+1, . . . ,id+1) ∈W và i1>1, và(i1,i2, . . . ,id−1,id)∈W ⇒(i1,i2, . . . ,id−1,id+1)∈W.
(2.12) Nếu M = [mµ,ν] là một ma trận bất kỳ, và W là tập tất cả các vector
I = (i1,i2, . . . ,id) thỏa mãn (2.11), khi đó rõ ràng Tiên đề 1 thỏa mãn với
W. Do đó Định nghĩa 2.2.9 với Tiên đề 1 là tổng quát hơn Định nghĩa 2.2.8. Tiếp theo, chúng tôi trình bày kết quả mở rộng thứ 2 về biển diễn số nguyên bằng các số Fibonacci tổng quát (xem [3]).
Định lí 2.2.11. Cho {an}, W là biểu diễn các số nguyên,W ⊆V. Khi đó vớit =1,2,3, . . ., số nguyên N thỏa mãn at 6N <at+1 có một biểu diễn
N =a(I) vớiI = (i1,i2, . . . ,id)⊂W vàid =t. Từ Định lí 2.2.11, ta có: nếu
(i1,i2, . . . ,id)∈W vớii6e6d. và
thì
(iν1,iν2, . . . ,iνe)∈W.
Giả sử W thỏa mãn Tiên đề 1. Khi đó rõ ràng (1,p) ∈W, tồn tại ít nhất một số nguyên p sao cho (1,p)∈W, và có số nguyên lớn nhất q sao cho vector q q thành phân (1,1, . . . ,1) ⊂W. Một trong các số p và q là 1 và một số còn lại lớn hơn1.
Bổ đề 2.2.12. Nếu N là một số nguyên, N >1, và các biểu diễn củaN và
N+1 là N =a(i1,i2, . . . ,id) và N+1=a(ji, j2, . . . , je) thì 16a(j1+1, j2+1, . . . , je+1)−a(i1+1,i2+1, . . . ,id+1)6q+1. Chú ý mối quan hệ giữa (2.12) với kết quả này. Hơn nữa kết quả cho phép chúng ta đưa ra các cận với tốc độ tăng trưởng của {an}, và những cận này cần thiết cho phép chứng minh.
LấyN =at−1do đó N+1=at =a(t), ta tìm
16at+1−a(i1+1,i2+1, . . . ,id+1)6q+1.
Ta có thể nói nhiều hơn về các điều trên, và ta minh họa bằng cách xây dựng cặp{an},W theo con đường quy nạp.
Ta cóa1=1, và vector (1)thuộcW. Ta có(1,1)thuộcW hoặc không. Giả sử ta chọn là không có. Khi đó ta có (1,2) thuộcW hoặc không. Giả sử không. Khi đó ta có (1,3) thuộcW hoặc không. Giả sử là có. Phép xây dựng ta tiến hành trong hình minh họa sau đây:
Hình 2.1: Xây dựng cặp {an},W khiq=3
Trong Hình 2.2, một biểu diễn là xoay vòng nếu ở một công đoạn thích hợp, ta thừa nhận hoặc từ chối. Một biểu diễn là bị gạch chéo nếu và chỉ nếu nó không được thừa nhận. Một biểu diễn tại đầu một mũi tên phải được thừa nhận hoặc không phải là trường hợp có thể được, bởi (2.12) hoặc Tiên đề 1, bởi vì biểu diễn ở đuôi của mũi tên đã được chấp nhận hoặc không. Chú ý rằng ta không lấy tự do các giá trị của a5 hoặc a8. Cũng như vậy, biểu diễn1+3+12phải được thừa nhận mặc dù nó không bị kiểm soát bởi (2.12). Nếu1+3+12bị từ chối, thìa7=16và ta có17=a(1,7) =a(4,6) mâu thuẫn với tính duy nhất của các biểu diễn. Tổng quát, với p>1, khi ta có thể lấy tùy ý giá trị củaat nếu ta chọn giá trị ít nhất củaat, ta sẽ chọn tùy ý được giá trị của at+1. Mặt khác, nếu ta chọn giá trị at là lớn, ta sẽ không được chọn tùy ý được giá trị củaat+1,at+2, . . . ,at+p−2.
Một kiểu xây dựng điển hình vớiq>1được xây dựng trong Hình 2.2 sau đây:
Hình 2.2: Xây dựng cặp {an},W khiq=3
0<m1<m2 <m3 < . . ., có thể hữu hạn hoặc vô hạn, sao cho nếu ta đặt
an =0 vớin60, (2.13)
thì ta có đồng nhất thức
an+1 =1+an+an−m1+an−m2+... vớin>0. (2.14) Sau đó bằng cách trừ phương trình (2.14) trong các cặp mà các số hạng cao trong{an}thỏa mãn một quan hệ truy hồi. Ví dụ, tiếp tục xây dựng sơ
đồ trong Hình 2.2, ta hãy sử dụng cách chọn tùy ý các cột 3, 4, 5 theo mẫu : chấp nhận, không chọn, từ chối, chấp nhận, không chọn, từ chối, . . . Khi đó {mn}= 2,5,8,11,14, . . . là một cấp số cộng số học với công sai là 3,
và dãy(an) được cho bởi an =0vớin60, a1 =1, a2 =2, a3 =3, an+1=an+an−2+an−2−an−3 vớin≥3. (2.15)
Kết luận
Luận văn“Việc biểu diễn một số tự nhiện thành tổng các số Fibonacci tổng quát” tập trung trình bày các kết quả trong các tài liệu chính của tác giả Daykin, Fern và một số tác giả khác (xem [2]-[8]). Cụ thể luận văn đã trình bày các kết quả sau:
1. Trình bày một số sự kiện sơ cấp nhất của dãy số Fibonacci và một số bài toán liên quan;
2. Trình bày các kết quả về việc biểu diễn một số tự nhiên thành tổng của các số Fibonacci phân biệt và tổng quát. Mở rộng kết quả của Zeckendorf.
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] Hà Huy Khoái (2004), Số học - Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán trung học phổ thông, NXB Giáo dục.
Tiếng Anh
[2] D. E. Daykin (1960), “Representation of natural numbers as sums of generalized Fibonacci numbers”, Journal of the London Mathemati- cal Society, 35, pp. 143–161.
[3] D. E. Daykin (1969), “Representation of natural numbers as sum of generalized Fibonacci numbers - II”,The Fibonacci Quarterly, 7, pp.
494–510.
[4] H. H. Ferns (1965), “On the representation of integers as sums of distinct Fibonacci numbers”,The Fibonacci Quarterly, 3, pp. 21–30.
[5] P. Lafer (1964), “Exploring the Fibonacci representation of integers”,
The Fibonacci Quarterly, p. 114.
[6] Nivolai N. Vorobiev (1992), Fibonacci Numbers, Springer.
[7] J. L. Brown, JR (1961), ”Zeckendorf’s Theorem and Some applica- tions", New York, pp. 163–168.
[8] V. E. Hoggatt, JR (1961), ”Generalized Zeckendorf Theorem", New York, pp. 89–92.