Chứng minh. Gọi P là giao điểm của đường tiếp tuyến tại D với đường tròn ngoại tiếp tứ giác điều hòa ABCD với cạnh AC (xem Hình 1.15).
Vì tam giác P DC và P AC đồng dạng, ta có P D P A = P C P D = DC AD. (1.19) Từ hệ thức (1.19), ta được P A P C = AD2 DC2. (1.20)
Hệ thức trên chỉ ra(C, A, K, P) = −1, nên DP là đường đối trung ngoài từ D của tam giác ADC.
Tương tự, nếu ta ký hiệu P0 là giao của tiếp tuyến tại B của đường tròn ngoại tiếp với cạnh AC, ta được
P0A P0C =
BA2
BC2. (1.21)
Từ (1.20) và (1.21), và cũng từ tính chất của tứ giác điều hòa, ta biết rằng AB
BC = AD DC, điều này có nghĩa
P A P C =
P0A P0C hay P =P0.
Tương tự, ta chứng minh được tiếp tuyến tại A và C giao nhau tại điểm Q trên đường chéo BD.
Nhận xét 1.2.14. Từ mệnh đề trên ta suy ra ngay được định lý đảo của Định lý 1.2.2, tức là nếu ABCD là tứ giác điều hòa thì tiếp tuyến tại A, tiếp tuyến tại C và BD đồng quy tại một điểm.
Mệnh đề 1.2.15 ([9]). Cho ABCD là tứ giác điều hòa nội tiếp trong đường tròn tâm O và gọi P là giao điểm của các tiếp tuyến tại B và D, và Q giao điểm của các tiếp tuyến tại A và C của đường tròn ngoại tiếp tứ giác. Nếu K
là giao điểm của AC với BD, thì trực tâm của tam giác P KQ là O.
Chứng minh. Từ các tính chất của tiếp tuyến từ một điểm của đường tròn, ta kết luận P O ⊥ BD và QO ⊥ AC. Các hệ thức này chỉ ra trong tam giác P KQ, P O và QO là các đường cao nên O là trực tâm của tam giác.
Mệnh đề 1.2.16 ([9]). Trong tứ giác điều hòa, các đường tròn Apollonius tương ứng với các đỉnh của đường chéo ứng với hai tam giác xác định bởi các đỉnh này và đường chéo còn lại là trùng nhau.
Mệnh đề 1.2.17 ([12]). Giả sử ABCD là tứ giác điều hòa và O là điểm bất kỳ trên đường tròn ngoại tiếp tứ giác. Khi đó OA, OB, OC, OD là chùm điều hòa.
Chứng minh. Xét phép nghịch đảo I(O, r2) tâm O, tỉ số r2 (xem định nghĩa phép nghịch đảo trong [8]). Tính chất của phép đảo ngược đó là đoạn bất kỳP Q
dưới phép đảo ngượcI biến thành đoạnP0Q0 sao choP0Q0 = r
2
OP ·OQP Q.Xét phép đảo ngược I (và vì tâm phép đảo ngược nằm trên đường tròn) bốn điểm đồng viên A, B, C, D sẽ được biến thành bốn điểm thẳng hàng A0, B0, C0, D0 sao cho các đoạn tuân theo hệ thức trên. Vì tứ giác ABCD điều hòa, ta có
BA BC = DA DC. Do đó B0A0 B0C0 = D0A0 D0C0 ⇔ r2 OB·OABA r2 OB·OCBC = r2 OD·OADA r2 OD·OCDC ⇔ BA BC = DA DC. Suy ra OA, OB, OC, OD là chùm điều hòa.
Chương 2
Một số ứng dụng của tứ giác điều hòa
Trong chương này, chúng tôi áp dụng các tính chất của tứ giác điều hòa vào giải một số dạng toán trong hình học phẳng như: chứng minh ba điểm thẳng hàng, chứng minh đồng quy, chứng minh đường thẳng đi qua điểm cố định, chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau và một số bài toán khác. Nội dung của chương sẽ tham khảo từ các tài liệu [2, 3, 4, 5, 9, 10] và các tài liệu khác trên các diễn đàn toán học.
2.1 Chứng minh ba điểm thẳng hàng
Bài toán 2.1.1 ([2]). Cho đường tròn (O). Lấy một điểmA ngoài đường tròn (O). Từ A ta kẻ hai tiếp tuyến AK, AN và một cát tuyến ACD bất kì đối với đường tròn trên. Hai tiếp tuyến qua C và D cắt nhau tại M. Khi đó, ta có K, M, N thẳng hàng (Hình 2.1).
Lời giải. Áp dụng Định lý 1.2.2 cho điểm A với hai tiếp tuyến AK, AN và cát tuyến ACD suy ra KCN D là tứ giác điều hòa. Suy ra N K, M D, M C đồng