Phương pháp lặp Mann - (LUẬN văn THẠC sĩ) phương p- 123docz.net

Cho X là không gian định chuẩn, T : X → X là một ánh xạ, phần tử x0 ∈X và {αn}∞n=0 ∈ [0,1]. Dãy {xn}∞n=0 xác định bởi

xn+1 = (1−αn)xn +αnT xn, n = 0,1,2, . . . (2.9) được gọi là phương pháp lặp Mann hay dãy lặp Mann và được ký hiệu bởi Mn(x0, αn, T).

Phương pháp lặp Mann được giới thiệu sớm hơn 2 năm so với phương pháp lặp Krasnoselskij. Nó là tổng quát của các phương pháp lặp sau nó và dạng thông thường của nó thu được bằng cách thay thế λ trong công thức lặp Krasnoselskij (2.6) bởi dãy {αn}.

Nếu đặt

Tn = (1−αn)I +αnT

Nếu dãy αn = λ thì phương pháp lặp Mann trở thành phương pháp lặp Krasnoselskij.

Định lý 2.1.8 Cho H là không gian Hilbert thực và K là một tập con lồi đóng khác rỗng của H. Cho T : K → K là một ánh xạ Lipschitz, giả co suy rộng với hằng số tương ứng L > 1 và r >0. Cho {αn}∞n=0 là một dãy tăng thuộc [0,1] sao cho

∞

n=0

αn = ∞. (2.10)

Khi đó,

(i) T có duy nhất một điểm bất động p trong K;

(ii) Dãy lặp Mann {xn}∞n=0 =Mn(x0, tαn, T) hội tụ mạnh tới p với mọi

x0 ∈ K và với mọi t ∈ (0, a) sao cho

0 ≤ (1−t)2−2t(1−t)r+t2L2 < 1

ở đây a được cho bởi (2.8).

Trên cơ sở tính chất (1.8) của ánh xạ giả co mạnh ta có thể thấy rằng quá trình lặp Mann hội tụ mạnh tới duy nhất điểm bất động của ánh xạ Lipschitz và giả co mạnh.

Định lý 2.1.9 Cho X là một không gian Banach và K là một tập con bị chặn và lồi đóng khác rỗng của X. Nếu T : K → K là một ánh xạ Lipschitz, giả co mạnh sao cho tập điểm bất động Fix(T) của T khác rỗng, thì dãy lặp Mann {xn} ⊂ K tạo bởi (2.9) hội tụ mạnh tới điểm bất động duy nhất của T, ở đây dãy {αn} ⊂ [0,1] thỏa mãn các điều kiện sau: (i) ∞ P n=1 αn = ∞; (ii) αn → 0 khi n → ∞.

Chứng minh. Giả sử p là một điểm bất động của T. Vì T là ánh xạ

giả co mạnh nên I − T là một ánh xạ J-đơn điệu mạnh, nghĩa là bất đẳng thức (1.8) thỏa mãn với bất kỳ x, y ∈ K và r > 0. Cho L > 0 là

hằng số Lipschitz. Từ định nghĩa của {xn} ta có: xn+1 = (1−αn)xn+αnT xn, n = 1,2, . . . (2.11) và vì thế, ta có xn = xn+1 +αnxn −αnT xn = (1 +αn)xn+1 +αn(I −T −kI)xn+1 −(2−k)αnxn+1+αnxn+αn(T xn+1−T xn) = (1 +αn)xn+1 +αn(I −T −kI)xn+1 −(2−k)αn[(1−αn)xn +αnT xn] +αnxn+αn(T xn+1 −T xn) = (1 +αn)xn+1 +αn(I −T −kI)xn+1 −(1−k)αnxn + (2−k)αn2(xn −T xn) +αn(T xn+1−T xn). Vì T p =p nên xn−p = (1 +αn)(xn+1−p) +αn(I −T −kI)(xn+1−p) −(1−k)αn(xn−p) + (2−k)αn2(xn−T xn) +αn(T xn+1−T xn). Sử dụng bất đẳng thức (1.8) ta nhận được kxn−pk ≥ (1 +αn)kxn+1−pk −(1−k)αnkxn−pk −(2−k)αn2kxn−T xnk −αnkT xn+1−T xnk.

Vì T liên tục Lipshitz, nên

kT xn+1−T xnk ≤Lkxn+1−xnk ≤L(L+ 1)αnkxn−pk,

và

kxn−pk ≥ (1 +αn)kxn+1−pk −(1−k)αnkxn−pk

Suy ra kxn+1−pk ≤[1 + (1−k)αn](1 +αn)−1kxn−pk + (2−k)α2n(1 +αn)−1kxn−T xnk +L(L+ 1)α2n(1 +αn)−1kxn−pk ≤ [1 + (1−k)αn](1−αn+αn2)kxn−T xnk +L(L+ 1)αn2kxn−pk, (2.12) và do đó ta nhận được kxn+1−pk ≤(1−kαn)kxn−pk+M αn2,

với hằng số M >0. Sử dụng phần (ii) của Định lý 2.1.8, thì dãy {xn} hội tụ mạnh tới điểm bất động p duy nhất của T.

Định lý 2.1.10 Cho X là không gian Banach lồi đều, K là một tập con lồi đóng của X, T : K → K là một ánh xạ thỏa mãn điều kiện trong Định lý 2.1.3. Khi đó, dãy lặp Mann {xn} xác định bởi (2.9) với

{αn} thỏa mãn các điều kiện: (i) α1 = 1;

(ii) 0 ≤ αn <1 với n > 1;

(iii) P∞n=1αn(1−αn) = ∞,

hội tụ tới điểm bất động của T.

Chứng minh. Định lý 2.1.3 khẳng định rằng T có một điểm bất động

duy nhất trong K, ta ký hiệu là p. Với bất kỳ x1 ∈ K, từ công thức xác định dãy lặp Mann, ta có:

kxn+1−pk ≤(1−αn)kxn−pk+αnkT xn −pk.

Từ giả thiết về ánh xạ T, suy ra

kT xn−pk ≤ kxn−pk chứng tỏ rằng dãy {kxn −pk} là giảm. Ta cũng có

Ta giả thiết rằng tồn tại một số a > 0 sao cho k xn− p k≥ a với mọi

n. Giả sử dãy {k xn−T xn k}n≥1 không hội tụ tới 0. Khi đó có 2 khả năng xảy ra: tồn tại một số ε > 0 sao cho k xn−T xn k≥ ε với mọi n

hoặc

lim inf

n→∞ k xn−T xn k= 0.

Trong trường hợp thứ nhất, sử dụng bổ đề của Babu [4] với b = 2δ

(ε/k x0 −p k) ta có:

k xn+1−p k ≤(1−αn(1−αn)b) k xn−p k

≤ kxn−1 −pk −αn−1(1−αn−1)bkxn −pk −bαn(1−αn)k(xn−p)k

≤ kxn−1 −pk −b[αn−1(1−αn−1) +αn(1−αn)]k(xn−p)k.

Bằng phép quy nạp thu được

a ≤ kxn+1−pk ≤ kx0−pk −b n X k=1 αk(1−αk)kxn−pk. Vì thế a+b n X k=1 αk(1−αk)kxn−pk ≤ kx0 −pk

điều này mâu thuẫn với (iii).

Trong trường hợp thứ hai, tồn tại dãy con {xnk} sao cho

lim

k→∞kxnk −T xnkk = 0. (2.13) Nếu xnk, xnl thỏa mãn điều kiện (C1) trong Định lý 2.1.3, nghĩa là

kT xnk −T xnlk ≤ αkxnk −xnlk,

thì

và suy ra

kT xnk −T xnlk ≤α(1−α)−1[kxnk −T xnkk+kT xnl −xnlk],

và nếu xnk, xnl thỏa mãn điều kiện (C2) thì

kT xnk −T xnlk ≤β[kxnk −T xnkk+kxnl −T xnlk],

và nếu xnk, xnl thỏa mãn điều kiện (C3) thì

kT xnk −T xnlk ≤γ[kxnk −T xnlk +kxnl −T xnkk],

suy ra

kT xnk −T xnlk ≤γ(1−2γ)−1[kxnk −T xnkk+kxnl −T xnlk].

Do đó, trong mọi trường hợp {T xnk} là một dãy Cauchy và suy ra nó hội tụ. Giả sử dãy này hội tụ tới u. Từ (2.13) ta có:

lim

k→∞xnk = lim

k→∞T xnk = u.

Hơn nữa,

ku−T uk ≤ ku−xnkk+kxnk −T xnkk+kT xnk −T uk.

Ta sẽ chứng tỏ rằng u = T u, tức là u là điểm bất động của T. Thậy vậy, nếu xnk, u thỏa mãn (C1) thì

kT xnk −T uk ≤ αkxnk −uk.

Nếu xnk, u thỏa mãn (C2) thì

kT xnk −T uk ≤β[kxnk −T xnkk+ku−T uk].

dẫn đến

và cuối cùng, nếu xnk, u thỏa mãn (C3) thì kT xnk −T uk ≤ γ[kxnk −T uk+ku−T xnkk]

≤ γ[kxnk −T xnkk+kT xnk −T uk+ku−T xnkk],

hoặc

kT xnk −T uk ≤γ(1−γ)−1[kxnk −T xnkk+ku−T xnkk].

Suy ra u = T u. Vì p là điểm bất động duy nhất của T, suy ra p = u

và hai điều kiện lim

nk→∞xnk = u(= p) và {kxn −pk} là dãy giảm theo n

suy ra lim

n→∞xn =p.

2.2 So sánh tốc độ hội tụ của lặp Krasnoselskij và Mann trong không gian Hilbert

Trong mục này, ta quan tâm đến tốc độ của sự hội tụ đến điểm bất động của phương pháp lặp Krasnoselskij và phương pháp lặp Mann cho lớp ánh xạ Lipschitz và giả co suy rộng trong không gian Hilbert. Định nghĩa 2.2.1 Cho {an}∞n=0, {bn}∞n=0 là hai dãy số thực hội tụ tương ứng tới a và b. Giả sử tồn tại

l = lim

n→∞

| an−a| | bn−b|.

(a) Nếu l = 0 thì ta nói rằng dãy {an}∞n=0 hội tụ tới a nhanh hơn dãy {bn}∞n=0 hội tụ tới b;

(b) Nếu 0 < l < ∞ thì ta nói rằng dãy {an}n∞=0 và dãy {bn}∞n=0 có cùng tốc độ hội tụ;

Định nghĩa 2.2.2 Cho hai dãy {un}∞

n=0 và {vn}∞

n=0 cùng hội tụ tới điểm p sao cho các bất đẳng thức sau đây thỏa mãn:

và

k vn−p k≤bn, n = 0,1,2, . . . (2.15) ở đây {an}∞n=0 và {bn}∞n=0 là hai dãy số dương (cùng hội tụ tới 0). Khi đó, nếu dãy {an}∞n=0 hội tụ nhanh hơn dãy {bn}∞n=0 thì ta nói dãy {un}∞n=0 hội tụ nhanh hơn {vn}∞n=0 hoặc đơn giản, dãy {un}∞n=0 tốt hơn dãy {vn}∞

n=0.

Chú ý 2.2.3 Dãy {un}∞n=0 tốt hơn {vn}∞n=0 nếu kun−pk ≤ kvn−pk, ∀n.

Ví dụ 2.2.4 Cho p = 0, un = n+11 và vn = n1, n ≥ 1, thì dãy {un} tốt hơn dãy {vn} theo định nghĩa này, nghĩa là

kun−pk ≤ kvn−pk, ∀n,

mặc dù dãy {un} và {vn} có cùng tốc độ hội tụ theo Định nghĩa 2.2.1, vì lim

n→∞ un vn = 1.

Ví dụ 2.2.5 Cho T : [0,1] → [0,1] là một ánh xạ xác định bởi T(0) =

T(1) = 0 và T x = 1 với 0 < x < 1. Khi đó, FixT = {0} và phương pháp lặp Mann Mn(x1, αn, T) với 0 < x1 < 1 và αn = n1, n ≥ 1 hội tụ tới 1, nhưng 1 không là điểm bất động của ánh xạ T.

2.2.1 Sự hội tụ với ánh xạ Lipschitz, giả co suy rộng

Định lý sau đây chứng tỏ rằng phương pháp lặp Krasnoselskij là phù hợp hơn phương pháp lặp Mann cho xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ Lipschitz và ánh xạ giả co suy rộng.

Định lý 2.2.6 Cho H là không gian Hilbert thực và K là tập con lồi đóng không rỗng của H. Cho T : K → K là một ánh xạ Lipshitz, giả co suy rộng tương ứng với hằng số L ≥ 1 và 0 < r < 1. Khi đó,

(1) T có một điểm bất động duy nhất p trong K;

(2) Với mỗi x0 ∈ K và λ ∈ (0, a) với a được cho bởi (2.8), dãy lặp Krasnoselskij {xn}∞n=0 = Kn(x0, λ, T) xác định bởi (2.6) hội tụ mạnh

tới p;

(3) Với mỗi y0 ∈ K và {αn}∞n=0 ∈ [0,1] thỏa mãn (2.10), dãy lặp Mann

{yn}∞n=0 xác định bởi (2.9) hội tụ mạnh tới p;

(4) Với bất kỳ dãy lặp Mann hội tụ tới p, với 0 ≤ αn ≤ b < 1, tồn tại một dãy lặp Krasnoselskij hội tụ nhanh hơn tới p.

Chứng minh. (1)-(2) Với mọi λ ∈ [0,1], xét ánh xạ Tλ trên K cho

bởi

Tλx= (1−λ)x+λT x, x∈ K. (2.16) Vì K là tập lồi, nên Tλ(K) ⊂ K với mọi λ ∈ [0,1]. Từ điều kiện giả co suy rộng và điều kiện Lipschitz của T và

kTλx−Tλyk2 =k(1−λ)(x−y) +λ(T x−T y)k2 = (1−λ)2kx−yk2 + 2λ(1−λ)hT x −T y, x −yi +λ2kT x−T yk2, ta tìm được kTλx−Tλyk2 ≤ [(1−λ)2 + 2λ(1−λ)r+λ2L2]kx−yk2, do đó, kTλx−Tλyk ≤θ· kx−yk, ∀x, y ∈ K, (2.17) ở đây 0 < θ = [(1−λ)2 + 2λ(1−λ)r +λ2L2]1/2 < 1 khi λ < a. Vì K

là tập con lồi đóng của không gian Hilbert, K là không gian mêtric đủ. Sử dụng nguyên lý ánh xạ co Banach, Tλ có duy nhất một điểm bất động q ∈ K và dãy lặp Picard ứng với ánh xạ Tλ,

xn+1 = Tλxn, n ≥ 0 (2.18) hội tụ mạnh tới q với mỗi x0 ∈K.

Bây giờ, sử dụng {xn}∞n=0 được cho bởi (2.18), nó là dãy lặp Kras- noselskij (2.6) với ánh xạ T, đồng thời Fix(T) = Fix(Tλ) với mọi

λ ∈ (0,1), suy ra p = q là điểm bất động duy nhất của T. Suy ra, ta có (1) và (2). (3) Cho {yn}∞ n=0 là lặp Mann với {αn}∞ n=0 ⊂ [0,1] thỏa mãn điều kiện ∞ X n=0 αn = ∞.

Ta đưa ra t với 0 < t < 1, và ký hiệu an = 1tαn với n = 0,1,2, . . . thì dãy lặp Mann được cho bởi

yn+1 = (1−tan)yn+tanT yn, n = 0,1,2, . . . Ta có kyn+1−pk = k(1−an)yn +an[(1−t)yn +tT yn]−pk ≤ (1−an)kyn−pk +ank(1−t)(yn −p) +t(T yn−T p)k. (2.19) Sử dụng các tính chất của T, ta nhận được kt(T yn−T p) + (1−t)(yn −p)k2 = (1−t)2kyn−pk2 +t2kT yn −pk2 + 2t(1−t)hT yn −p, yn−pi. (2.20) Từ (2.19) và (2.20) ta được kyn+1−pk ≤ {1−an+an[(1−t)2+ 2t(1−t)r+t2L2] 1 2 }kyn−pk = (1−(1−θ)an)kyn−pk ≤ n Y k=1 (1−(1−θ)ak)kyk −pk, (2.21) ở đây 0 ≤ θ = [(1−t)2 + 2t(1−t)r +t2L2]1/2 < 1

với mọi t sao cho 0 < t <2(1−r)/(1−2r+L2). Vì chuỗi ∞ P n=0 αn phân kỳ, suy ra chuỗi ∞ P n=0

an cũng phân kỳ và với θ < 1 ta nhận được

lim n→∞ n Y k=1 (1−(1−θ)ak) = 0,

kết hợp với (2.21) suy ra {yn} hội tụ mạnh tới p.

(4) Lấy x :=xn, y := xn−1 ta được

kxn+1−xnk ≤θkxn −xn−1k bằng phương pháp quy nạp suy ra

kxn+1−xnk ≤θnkx1 −x0k và sử dụng quy tắc tam giác ta được

kxn+p −xnk ≤ θn(1 +θ+· · ·+θp−1)kx1−x0k (2.22) với mọi n, p∈ N∗.

Cho p → ∞ trong (2.22) và sử dụng phần (2) của định lý, ta được kxn −x∗k = θ

1−θkx1 −x0k. (2.23) Do đó, theo (2.21) và (2.23), để so sánh lặp Mann và Krasnoselskij, ta so sánh θn và n Y k=1 [1−(1−θ)ak].

Giả sử {yn}∞n=0 là dãy lặp Mann đã biết hội tụ tới p với dãy {αn}∞n=0 thỏa mãn 0 ≤ αn ≤ b < 1. Thì ak ≤ b/t và với mỗi m,0 < m < 1, ta tìm được θ ∈ (0,1) sao cho:

b < 1−(θ/m) 1−θ .

Thậy vậy, từ bất đẳng thức này suy ra θ < m(1−b) 1−bm . Sử dụng ak ≤ b, ta được θ 1−(1−θ)ak ≤ m <1, điều đó chứng tỏ rằng lim n→∞ θ n Q k=1 [1−(1−θ)ak] ≤ lim n→∞mn = 0.

Do đó, phương pháp lặp Krasnoselskij hội tụ nhanh hơn với điều kiện của phương pháp lặp Mann.

Chú ý 2.2.7

(1) Phần (4) trong Định lý 2.2.6 chỉ ra rằng, để xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ giả co và Lipschitz T, sẽ thuận tiện hơn khi ta sử dụng phương pháp lặp Krasnoselskij (2.6) với λ ∈ (0, a) và a được cho bởi (2.8).

(2) Hơn nữa, trong tập hợp dãy lặp Krasnoselskij {xn}∞n=0, tồn tại một dãy lặp hội tụ nhanh nhất theo nghĩa trong Định nghĩa 2.2.2.

Định lý 2.2.8 Giả sử các giả thiết trong Định lý 2.1.10 là thỏa mãn. Khi đó, dãy lặp {xn}∞n=0 hội tụ nhanh nhất trong họ (2.6) với λ ∈ (0, a)

nhận được với

λmin = (1−r)/(1−2r +L). (2.24)

Chứng minh. Ta phải tìm cực tiểu của hàm bậc 2:

đối với x, nghĩa là tìm cực tiểu của hàm

f(x) = (1−r+L2)x2−2(1−r)x+ 1, x∈ (0, a)

với a được cho bởi

a= 2(1−r)/(1−2r +L2).

Ta có

1−2r +L2 ≥ (1−r)2 >0,

và do đó f đạt cực tiểu tại

x= λmin

với λmin được cho bởi (2.24). Giá trị cực tiểu của f(x) là

fmin = (L2−r2)/(1−2r +L2).

Chứng tỏ rằng giá trị cực tiểu θ là

θ = [(L2 −r2)/(1−2r+L2)].

Đây là điều phải chứng minh.

2.2.2 Ví dụ

Trong mục này, tác giả đưa ra một ví dụ số (viết trên ngôn ngữ Matlab được chạy trên máy tính Asus với bộ vi xử lý Core i3 2.4 GHz, RAM 2GB, hệ điều hành Window 7 Ultimate) để minh họa cho tốc độ hội tụ của phương pháp lặp Krasnoselskij và phương pháp lặp Mann. Cho K = [0,1] và T : K → K là ánh xạ được xác định bởi T x = (1 − x)10. Xét bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ T. Sử dụng phương pháp lặp Krasnoselskij và phương pháp lặp Mann ta nhận được kết quả sau đây.

• Phương pháp lặp Krasnoselskij: chọn điểm ban đầu x0 = 1 ∈ K và

k xk T(xk) 1 0.5000 9.7656.10−4 2 0.2505 0.0559 4 0.1714 0.1526 6 0.1664 0.1620 8 0.1653 0.1642 10 0.1650 0.1648 12 0.1649 0.1649 15 0.1649 0.1649

• Phương pháp lặp Mann: chọn điểm ban đầu x0 = 1 ∈ K, αn = 1/(n+ 1)∈ [0,1]. Ta nhận được kết quả tính toán cho trong bảng sau:

k xk T(xk) 1 0.5000 9.7656.10−4 2 0.3337 0.0173 4 0.2142 0.0897 6 0.1825 0.1333 10 0.1690 0.1571 20 0.1654 0.1639 30 0.1651 0.1646 40 0.1650 0.1648 50 0.1650 0.1649 55 0.1649 0.1649 60 0.1649 0.1649

• Đồ thị so sánh tốc độ hội tụ của phương pháp lặp Krasnoselskij và phương pháp lặp Mann

Ví dụ số này cho thấy phương pháp lặp Krasnoselskij hội tụ nhanh hơn phương pháp lặp Mann.

Kết luận

Luận văn đã trình bày lại có hệ thống một vài phương pháp lặp như phương pháp lặp Picard, phương pháp lặp Krasnoselskij, phương pháp lặp Mann và bài toán điểm bất động. Cụ thể là:

(1) Trình bày các khái niệm về không gian định chuẩn, không gian Hilbert, không gian Banach và bài toán điểm bất động.

(2) Giới thiệu các phương pháp lặp Picard, phương pháp lặp Krasnosel- skij, phương pháp lặp Mann tìm điểm bất động của một ánh xạ. (3) So sánh tốc độ hội tụ của phương pháp lặp Krasnoselskij và Mann

trong không gian Hilbert và trình bày ví dụ số (viết trên ngôn ngữ Matlab) để minh họa cho tốc độ hội tụ của hai phương pháp này. Trong đó kết quả chính của luận văn này là nghiên cứu sự hội tụ và so sánh tốc độ hội tụ của phương pháp Krasnoselskij và phương pháp lặp Mann tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn.

Việc cải tiến các phương pháp lặp nhằm gia tăng hiệu quả của nó cho bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn, điểm bất động chung của họ ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert và không