Trong phần này ta giới thiệu một vài hàm sinh ra các số đối cân bằng. Cho
n, m là 2 số đối cân bằng bất kì, ta xét các hàm sau:
f(n) = 3n+p8n2 + 8n+ 1 + 1, g(n) = 17n+ 6p8n2 + 8n+ 1 + 8, h(n) = 8n2 + 8n+ 1 + (2n+ 1)p8n2 + 8n+ 1 + 1, t(n, m) = 1 2 h 2(2n+ 1)(2m + 1) + (2n+ 1)p8m2 + 8m+ 1 + (2m+ 1)p8n2 + 8n+ 1 +p8n2 + 8n+ 1p8m2 + 8m+ 1−1 i .
Đầu tiên ta chứng minh rằng các hàm trên luôn sinh ra các số đối cân bằng.
Định lí 2.2.1. Cho n, m là hai số đối cân bằng bất kì thìf(n), g(n), h(n) và
t(n, m) là các số đối cân bằng.
Chứng minh. Giả sửu = f(n). Khi đó n < uvà
n= 3u−p8u2 + 8u+ 1 + 1.
Vì n và u là các số nguyên không âm nên 8u2 + 8u+ 1 phải là một số chính phương và do đóulà một số đối cân bằng.
Vì f(f(n)) = g(n)nên g(n) cũng là một số đối cân bằng.
Ta cũng có thể kiểm tra trực tiếp rằng 8h2(n) + 8h(n) + 1và8t2(n, m) + 8t(n, m) + 1là các số chính phương. Vì vậy h(n)vàt(n, m)là các số đối cân bằng.
Tiếp tục, ta chứng tỏ rằng với nlà số đối cân bằng bất kì thì f(n) không chỉ đơn thuần là một số đối cân bằng mà còn là một số đối cân bằng kế tiếp củan.
Định lí 2.2.2. Nếunlà một số đối cân bằng thì số đối cân bằng kế tiếp củan
là
f(n) = 3n+ p8n2 + 8n+ 1 + 1,
và do vậy số đối cân bằng liền trước củanlà
f(n) = 3n−p8n2 + 8n+ 1 + 1.
Chứng minh. Chứng minh f(n) = 3n + √
8n2 + 8n+ 1 + 1 là số đối cân bằng kế tiếp củanchứng minh giống Định lý1.2.2. Vì f f(n) = nnên suy raf(n) là một số đối cân bằng lớn nhất nhỏ hơnn.
2.3 Một số công thức truy hồi
Cho n = 1,2, . . . và bn là số đối cân bằng thứ n. Ta đặt b1 = 0. Hai số đối cân bằng kế tiếp làb2 = 2và b3 = 14.
Chương trước ta đã quy ước 1 là một số cân bằng và đặt B0 = 1, B1 = 6, . . . và kí hiệu Bn là số cân bằng thứ n. Để chuẩn hóa kí hiệu cho cùng bậc với các số Fibonacci, ta đặt lại các số cân bằng bằng cách đặt B1 = 1, B2 = 6, . . .
Định lý2.2.2nói rằng
bn+1 = 3bn+p8b2
bn−1 = 3bn−p8b2
n+ 8bn+ 1 + 1.
Cộng vế với vế hai phương trình trên ta kết luận rằng số đối cân bằng tuân theo công thức truy hồi tuyến tính bậc hai.
bn+1 = 6bn −bn−1 + 2. (2.4) Từ công thức(2.4)ta thu được định lý sau:
Định lí 2.3.1. Mọi số đối cân bằng là số chẵn.
Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp. Hai số đối cân bằng đầu tiên là
b1 = 0 vàb2 = 2 là các số chẵn. Giả sửbn chẵn vớin ≤ k. Sử dụng (2.4) dễ thấy rằngbk+1 cũng là số chẵn.
Sử dụng công thức truy hồi (2.4), ta suy ra một vài liên hệ thú vị giữa các số đối cân bằng. Định lí 2.3.2. a)(bn −1)2 = 1 +bn−1bn+1; b) Vớin > k ≥ 2thì bn = bk+Bkbn−k+1 −Bk−1bn−k; c) b2n = Bnbn+1−bn(Bn−1 −1); d) b2n+1 = (Bn+1 + 1)bn+1 −Bnbn. Chứng minh. Từ (2.4), ta có bn+1+bn−1 −2 bn = 6. Thaynbằngn−1, ta có bn +bn−2 −2 bn−1 = 6. Suy ra bn+1 +bn−1 −2 bn = bn+ bn−2 −2 bn−1 .
Suy ra
(bn −1)2 −bn−1bn+1 = (bn−1 −1)2 −bn−2bn.
Do đó
(bn −1)2 −bn−1bn+1 = (b2 −1)2 −b1b3 = (2−1)2 −0×14 = 1.
Chứng minh của b) cần mối liên hệ giữa số cân bằng và đối cân bằng được thiết lập trong phần sau. Do đó ta hoãn lại chứng minh b).
Chứng minh của c) suy ra từ b) bằng cách thay n bằng 2n và k bằng n. Tương tự chứng minh của d) suy ra từ b) bằng cách thayn bằng2n+ 1 vàk
bằngn+ 1.
2.4 Hàm sinh
Ở phần trên, ta đã phát triển công thức truy hồibn+1 = 6bn−bn−1+ 2cho các số đối cân bằng. Sử dụng công thức truy hồi này, ta thu được hàm sinh đầu tiên cho các số đối cân bằng và khi đó thiết lập mối liên hệ rất thú vị giữa các số cân bằng và đối cân bằng.
Nhớ lại rằng, hàm sinh thông thường cho dãy {xn}∞n=0 các số thực được định nghĩa là g(s) = ∞ X n=0 xnsn.
Chương 1 ta biết rằng hàm sinh cho các dãy số cân bằng {Bn}∞n=0 là
g(s) =
1
1−6s+ s2.
Để phù hợp với quy ước mới như đề xuất trong phần trước, có thể dễ dàng thấy rằng hàm sinh cho dãy các số cân bằng{Bn}∞n=1 có dạng
g(s) =
1
Định lí 2.4.1. Hàm sinh cho các dãy các số đối cân bằng{bn}∞n=1 là f(s) = 2s2 (1−s)(1−6s+s2) và do đó vớin≥ 2thì bn = 2(B1 +B2 +· · ·+Bn−1).
Chứng minh. Từ (2.4), với n = 1,2, . . . ta có bn+2 −6bn+1 + bn = 2. Nhân hai vế vớisn+2 và lấy tổng từn= 1 tớin= ∞, ta có
∞ X n=1 bn+2sn+2−6s ∞ X n=1 bn+1sn+1 +s2 ∞ X n=1 bnsn = 2s2 ∞ X n=1 sn,
mà các số hạng của f(s) có thể biểu diễn là
(f(s)−2s2)−6sf(s) +s2f(s) = 2s3 1−s. Do đó f(s) = 2s2 (1−s)(1−6s+s2) = 2s 1−s. s 1−6s+s2 = 2s 1−s.g(s) = 2(s+s 2 +. . .)g(s).
Bây giờ cho n ≥ 2, các hệ số của sn trong f(s) có thể thu được bằng cách tập hợp các hệ số của sr từ g(s) và các hệ số củasn−r từ 2(s+ s2 +. . .) với
r = 1,2, . . . , n− 1. Trong khi các hệ số của sr trong g(s) là Br, hệ số của
sn−r trong2(s+s2 +. . .) là 2. Do đó
bn = 2(B1 +B2 +· · ·+Bn−1).
Điều này kết thúc chứng minh.
Hệ quả 2.4.1. Chonlà một số nguyên dương thì Bn = (bn+1 −bn)/2.
Bây giờ chúng ta chứng minh Định lý 2.3.2b): Chứng minh bằng quy nạp trên k. Dễ thấy khẳng định đúng với n > k = 2. Giả sử khẳng định đúng với
n > r ≥ k ≥ 2tức là
bn = br +Brbn−r+1 −Br−1bn−r. (2.5) Ta biết rằng các số cân bằng tuân theo công thức truy hồi
Bn+1 = 6Bn−Bn−1.
Áp dụng công thức này, (2.4)và Hệ quả 2.4.1vào(2.5)ta có
br+1+Br+1bn−r −Brbn−r−1
= br+1 + (6Br −Br−1)bn−r −Br(6bn−r−bn−r−1 + 2) = br+1 −2Br+Brbn−r+1 −Br−1bn−r
= br+ Brbn−r+1 −Br−1bn−r
= bn.
Do đó khẳng định cũng đúng với k = r + 1. Điều này kết thúc chứng minh Định lý2.3.2b).