Phương pháp vị tri sai và phương pháp vị trí sai kép có nguồn gốc từ toán học Babilon (thế kỉ XVII trước công nguyên), toán học Ai Cập và toán học
Trung Quốc. Kĩ thuật này cũng được các nhà toán học Ấn Độ và Ả Rập sử dụng. Đến nay phương pháp này vẫn còn được dùng trong giải phương trình và hệ phương trình.
Nguồn gốc của phương pháp này có thể tìm thấy trong sách toán giấy cói (papyrus Rhind, 1700 TCN). Tác giả của nó Ahmes, đã sử dụng phương pháp này để giải phương trình dạng x+ 1nx = b, với n và b là các số nguyên dương và x ∈ E trong đó E là tập các số (theo người Egyptians) nguyên dương và phân số 23 và các phân số dạng n1 với n là số nguyên dương. Thí dụ, bài toán 24 trong bảng đất sét là:
Bài 2.3.1. Tìm số nếu tăng thêm 17 số đó thì được 19.
Dưới ngôn ngữ hiện đại, ta phải giải phương trình x+ 17x = 19. Ahmes đã giải bài toán này như sau:
Bước 1. Lấy vị trí sai x = 7, khi ấy ta được
7 + 1
77 = 8< 19.
Bước 2.Chia 19 cho 8 và nhân với 7, tức là tínhxtheo tỉ lệ thức19 : 8 = x: 7. Suy ra x = 19·7 8 = 16·8 + 5 8 = 16 + 4 + 1 8 = 16 + 1 2 + 1 8.
Việc sử dụng quy tắc vị trí sai kép sớm nhất là do người Trung Quốc sử dụng. Họ thường bắt đầu với hai dự đoán, một dự đoán lớn và một dự đoán nhỏ. Đó là lý do tại sao họ gọi phương pháp của họ là ying bu-tsu, theo nghĩa đen là "thừa không đủ", thường được dịch là thừa và thiếu.
Một văn bản toán học sớm nhất Trung Quốc còn tồn tại tên là Cửu chương toán thuật, có niên đại từ thời nhà Hán khoảng 200 TCN và được Liu Hui biên tập, bổ sung vào năm 263. Chương 7 của sách với tiêu đề dịch thành “thừa không đủ” được dành toàn bộ cho hai mươi bài toán thừa và thiếu này.
Bài toán đầu tiên trong Chương 7 của Cửu chương toán thuật là bài toán một thừa một thiếu được phát biểu như sau.
Bài 2.3.2. Có một số người cùng mua hàng. Nếu mỗi người trả 8 (đ), thì thừa 3 (đ). Nếu mỗi người trả 7 (đ), thì thiếu 4 (đ). Hỏi có bao nhiêu người mua hàng, giá hàng là bao nhiêu?
Trong các sách toán viết bằng chữ Hán và chữ Nôm của Việt Nam có khá nhiều bài toán dạng doanh bất túc. Dưới đây là một số ví dụ.
Bài 2.3.3. (Ý trai toán pháp nhất đắc lục, Nguyễn Hữu Thận, 1829). Giả sử có người chia tiền, chỉ biết rằng mỗi người 7 lượng thì thừa 4 lượng, mỗi người 9 lượng thì thiếu 8 lượng. Hỏi ban đầu, số tiền và số người mỗi thứ là bao nhiêu? Bài 2.3.4. (Ý trai toán pháp nhất đắc lục, Nguyễn Hữu Thận, 1829). Giả sử có người chia tiền, chia cho 4 người được 3 lượng thì thừa 6 lượng, chia cho 6 người 9 lượng thì thiếu 3 lượng, hỏi số người và số tiền mỗi thứ là bao nhiêu? Trong thời Trung cổ, đó là thế giới Ả Rập vốn nổi tiếng trong khoa học và toán học. Trong thực tế, từ "đại số" của chúng ta xuất phát từ tiêu đề của một bản văn tiếng Ả Rập quan trọng, His¯ab al-jabr wa-l-muq¯abala, được viết bởi nhà toán học al-Khow¯arizm¯i ở Baghdad khoảng năm 825 SCN.
Al-Khow¯arizm¯i giải một số bài toán trong cuốn sách của ông bằng cách sử dụng quy tắc vị trí sai kép, có thể mượn từ việc đọc bản dịch của các tác phẩm toán học trước đó từ Trung Quốc, Ấn Độ hoặc Ai Cập. Trong tiếng Ả Rập, phương pháp này được gọi là al-khat¯a’ayn có nghĩa là “hai lần sai”, một lần nữa bởi vì nó được dựa trên việc dùng hai dự đoán có khả năng là không chính xác. Một học trò của Al-Khow¯arizm¯a tên là Ab¯u K¯amil, được gọi là “máy tính Ai Cập”, đã viết một cuốn sách chỉ về việc sử dụng al-khat¯a’ayn.
Nhiều tiến bộ toán học Ả Rập, bao gồm số học của chữ số Ả Rập gồm 10 chữ số và đặc biệt là đại số của Ab¯u K¯amil, được giới thiệu ở châu Âu vào những năm 1200 bởi Leonardo Fibonacci từ thị trấn Pisa, Italy. Vào thời điểm đó, Ý đã nổi lên là khu vực tư bản đầu tiên trên thế giới và cần có các kỹ thuật toán học mới để áp dụng vào thực tế đổi hàng, ngoại thương, định giá, lợi nhuận, lãi suất, trao đổi tiền tệ, trọng lượng, thừa kế và các vấn đề tài chính khác. Người Ý đã phát minh ra một số kỹ thuật của riêng họ (như kế toán
kép), và họ mượn nhiều kiến thức toán học từ người Ả Rập. Ví dụ, Fibonacci đã học cách sử dụng chữ số Ả Rập khi còn là một cậu bé, làm việc trong công sở nơi cha anh là một quan chức hải quan trên bờ biển của Algeria. Ông đã chọn các kỹ thuật Ả Rập khác trong những chuyến du hành sau này đến Ai Cập, Syria và những nơi khác.
Tại thị trấn Pisa của Fibonacci có rất nhiều chim bồ câu và rất nhiều tháp (trên thực tế, tháp nghiêng Pisa nổi tiếng được thiết kế bởi một trong những người đương thời của ông). Dưới đây là một bài toán trong cuốn sách của Fibonacci, được viết vào năm 1202. Ông dịch quy tắc là "quy tắc elchatayn", bản dịch trực tiếp của ông về al-khat¯a’ayn của Ab¯u K¯amil.
Bài 2.3.5. Hai con chim bắt đầu bay từ đỉnh của hai tòa tháp cách nhau 50 feet, một tháp cao 40 feet, tháp còn lại cao 30 feet, bắt đầu cùng lúc và bay cùng tốc độ, và tới trung tâm của một đài phun nước giữa hai tòa tháp cùng một lúc. Tính khoảng cách từ đài phun nước tới mỗi tháp?
Để giải bài toán này, trước tiên ta thấy rằng, vì hai con chim có cùng tốc độ bay nên khoảng cách chúng bay được là bằng nhau. Ta sử dụng kết quả này để đưa ra các dự đoán. Gọi khoảng cách từ đài phun nước tới tháp cao là x0, khoảng cách từ đài phun nước tới tháp thấp là x1, c0 là khoảng cách từ đài phu nước tới đỉnh của tháp cao, c1 là khoảng cách từ đài phu nước tới đỉnh của tháp thấp. Ta lập bảng dự đoán bằng cách dự đoán khoảng cách x0 hai lần, sử dụng thực tế hai tháp cách nhau 50 feet để tính cột thứ hai, sử dụng định lý Pytago để điền cột 3 và cột 4, cột 5 là hiệu của cột 3 và cột 4.
x0 x1 c20 c21 c20−c21
30 20 2500 1300 1200
20 30 2000 1800 200
Sử dụng quy tắc vị trí sai kép, khoảng cách từ đài phun nước tới tháp cao sẽ là
30·200−20·1200
200−1200 = 18 (feet).
Suy ra khoảng cách từ đài phun nước tới tháp thấp sẽ là 32 feet.
Bằng chứng đầu tiên về việc sử dụng quy tắc vị trí sai kép ở Ấn Độ thế kỷ 12 được tìm thấy trong một cuốn sách Latin không có tên tác giả, Liber Augmenti và Diminutionis, có nghĩa là ’Sách Tăng và Giảm’. Quyển sách chữ Latin này được dịch từ của quyển sách Ả Rập về quy tắc al-khat¯a’ayn để giải phương trình tuyến tính.
Vào năm 1484, Chuquet đã hoàn thành một bản thảo ba phần có tên là “Triparty”. Trong phần cuối của phần đầu của “Triparty”, Chuquet đã mô tả quy tắc về vị trí sai kép mà ông gọi là “the rule of two false positions”. Có lẽ đây là sự khởi đầu của việc đặt tên tiếng Anh phát triển thành tên “Rule of Double False Position”.
Quy tắc vị trí sai kép ban đầu được định nghĩa cho các phương trình tuyến tính nhưng cũng được sử dụng, theo cách không lặp, để thu được các nghiệm gần đúng cho phương trình bậc hai. Năm 1540, Frisius tuyên bố rằng ông là người đầu tiên áp dụng quy tắc vị trí sai kép cho phương trình bậc hai dạng ax2 =b.
Năm 1545, Cardano trong cuốn sách Artis Magnae của mình, đã chứng minh rằng quy tắc của vị trí sai kép có thể được sử dụng như một quá trình lặp. Ông đã mô tả quy tắc như là một quá trình lặp, trong đó nhiều bước phải được thực hiện để cải thiện xấp xỉ. Ông đã giải các phương trình bậc hai và bậc ba bằng cách sử dụng quy tắc và giải thích về cách ông giải quyết các vấn đề bằng cách sử dụng quy tắc với các minh họa hình học phức tạp. Bây giờ
chúng ta có phương pháp dây cung cho một phương trình phi tuyến. Cardano gọi nó là “De Regula Liberae Positionis”.
Chúng tôi tổng hợp sự phát triển của tên phương pháp vị trí sai kép trong bảng sau.
Đất nước Thế kỉ Tên gọi
Ai Cập 18 TCN - Babylonia 18 TCN - Trung Quốc 2 TCN yíng bu zú
Ả Rập 9 al-khat¯a’ayn Châu Âu 11 elchataym (two errors) Châu Phi 13 method of scales Châu Âu 15,16 rule of two false positions
Mĩ 20 rule of double false position
Kết luận
Luận văn trình bày một số phương pháp giải gần đúng phương trình phi tuyến, trong đó đặc biệt quan tâm trình bày phương pháp vị trí sai và phương pháp vị trí sai kép, cũng như lịch sử phát triển của hai phương pháp này.
Hy vọng luận văn sẽ được các giáo viên trung học phổ thông tham khảo trong giảng dạy phương pháp giải gần đúng phương trình và lịch sử toán học.
Tài liệu tham khảo
Tiếng Anh
[1] E. D. P. Malisani (2006), The Concept of Variable in the Passage from the Arithmetical Language to the Algebraic Language in Different Semiotic Contexts, Ph. D. Thesis, Comenius University Bratislava, 2006.
[2] S. Kangshen, J. N. Crossley and A. W. C. Lun (1999), The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companions and Commentary, Oxford Univer- sity Press and Science Press, Beijing, New York.
[3] I. Klikovac and M. Riedinger (2011), “A Classroom note on: An Alterna- tive Method for Solving Linear Equations”, Mathematics and Computer Education Journal, No 1, pp. 1–7.
[4] M. Pal (2007), Numerical Analysis for Scientists and Engineers: Theory and C Program, Alpha Science International LtHousd., Oxford, U. K. [5] J. M. Papakonstantinou (2009), Historical Development of the BFGS Se-
cant Method and Its Characterization Properties, Ph. D. Thesis, Rice Uni- versity, Houston, Texas, USA.
[6] S. Ree (2012), “Meaning of the Method of Exess and Deficit”, in Conference History and Pedagogy of Mathematics 2012 16 July - 20 July, 2012, DCC, Daejeon, Korea, pp. 785–791.
[7] B. Sendov, A. Andreev and N. Kjurkchiev (1994), “Numerical Solutions of Polynomial Equations”, in Serie Handbook of Numerical Analysis, Vol. III, Elsevier Science, North-Holland.